对面积曲面积分
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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
对面积的曲面积分
2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
对面积的曲面积分
P158 题4(1).
在 xoy 面上的投影域为
2
z
dS
1 z x z y d xd y
2
2
D xy o
y
2
x
S d S
x y
D
1 4( x y ) d x d y
2 2
这是 的面积 !
2. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0的表
1 1 1 z
1
1 x
1 (1 x y ) dx
2
dy
1 (1 x ) 1 (1 y )
2 2
0 d z 0
1 z
dy
3 2
3
( 3 1) ln 2
练 习 题
一 、填 空题: 1 、 已 知 曲 面 的 面 积为 a , 则 10 ds _ _ _ _ _ _ _ ；
D yz
2
2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中
2
为平面
y z 5被柱面 x
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解
积分曲面
：z 5 y ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x 2 y 2 25 }
dS
2 1 z x z 2 dx dy y
4
2、
1 (
x y
) (
2
x z
) ；
2
4、
111 10
；
5、
1 2
2
.
2、
64 15 2a .
对面积的曲面积分.
k 1
o
y
x
2.定义:
设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面.其中, 表示 n 小块曲面的直径 的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
(7) 积分中值定理
若f (x, y, z)在光滑曲面 上连续,则至少存在一点
( ,, ) ,使得
f (x, y, z)dS f (,, )S
(8) 对称性
若积分曲面 具有某种对称性 ,而被积函数 f (x, y, z)对于
该对称性是奇函数，则 f (x, y, z)dS 0.
例如：若关于xoy面是对称的，则当 f (x, y, z)对于变量
二重积分.
例33.1.计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
o
y
x
2.定义:
设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面.其中, 表示 n 小块曲面的直径 的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
(7) 积分中值定理
若f (x, y, z)在光滑曲面 上连续,则至少存在一点
( ,, ) ,使得
f (x, y, z)dS f (,, )S
(8) 对称性
若积分曲面 具有某种对称性 ,而被积函数 f (x, y, z)对于
该对称性是奇函数，则 f (x, y, z)dS 0.
例如：若关于xoy面是对称的，则当 f (x, y, z)对于变量
二重积分.
例33.1.计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
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x
dS
y
1 M
y
dS
z
1 M
z
dS
形心： C
x
1 S
x
dS
y
1 S
y
dS
z
4)转动惯量：
Ix ( y2 z2 ) dS
Iy
Iz
4
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
面, 计算
z1
解: 在四面体的四个面上
平面方程
dS
1 o 1y 投影域 x
z 1 x y 3dx dy Dxy : 0 x 1, 0 y 1 x
同上
y0
dz dx Dz x : 0 z 1, 0 x 1 z
12
I (
3 1)
1
d
0
x
2
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
3 1 4 ( x2 y2 ) d xdy
Dx y
2
3 d
2
r
1 4r2 dr
0
0
6 1 2 1 4 r 2 d(1 4 r 2 ) 13 80
11
例3：设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0的表
解: 锥面 z x2 y2 与上半球面 z
交线为
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
14
I (x2 y2 ) d S 1
(B) ydS 41 xdS ; (C) zdS 41 xdS ;
1为 在第
10
例2：. 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xoy 面上的投影为 Dx y : x2 y2 2 , 故
M d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2 d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
思考: 若例3 中被积函数改为
z 1 x o Dx y y
计算结果如何 ?
15
例5. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为
的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
7
例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y (k ,k , k )
f (x, y, Dxy
)
证明: 由定义知
n
lim
0 k 1 5
而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
3
应用：
1)曲面的面积：S dS
2)曲面构件的质量：M (x, y, z)dS
3)曲面构件的重心：
x
1 M
第一型曲面积分
(对面积的曲面积分)
1
一. 第一型曲面积分的背景与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“分割,, 近似和n , 取极限”的方法,
可得 M
k 1
( x, y, z)d S
o
y
x
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值.
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxd y
6
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
1 x
1
0 (1 x
y)2
dy
1
d
0
z
1 z 0
(1
1 x)2
dx
z1
1
dz
0
1 z 0
(1
1 y)2
dy
3 3 ( 3 1) ln 2 2
1 o 1y x
13
例4. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球坐标
z R cos d S R2 sin d d
R3
2
d
2 sin cos d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
aLeabharlann 1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
8
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
9
例：设
一卦限中的部分, 则有( C ).