对面积的曲面积分教案设计
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G第一型曲面积分PPT教案
交线为
设S1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy
(x, y)
x2
y2
1 2
a2
, 则
I S1 (x2 y2) d S
第12页/共36页
13
I S1 (x2 y2) d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
Dxy a y x
S
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
第8页/共36页
9
思考: 若 S 是球面 出的上下两部分, 则
dS
S
z
(
0
)
dS
S
z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
G第一型曲面积分
1
第1节 第一型曲面积分
(或：对面积的曲面积分)
本节内容： 一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
第22章
第1页/共36页
2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“分割---大化小, 近似代替---常代变, 求近似和, 取极限”
的方法, 可得
n
M
பைடு நூலகம்
o
对面积的曲面积分教案设计
解： ，
在 平面的投影区域
例3求 ，
解：把曲面 分为 和 ， ： ,
曲面 在 平面的投影
课程总结分析
首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。
本章思考题
1.对面积曲面积分存在的条件是什么？
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授（板书）
教学内容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分 ，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？
主要参考资料
1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.
备注
如果是闭曲面，积分号写成
2.存在条件： 在光滑曲面 上连续。
3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
在 平面的投影区域
例3求 ，
解：把曲面 分为 和 ， ： ,
曲面 在 平面的投影
课程总结分析
首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。
本章思考题
1.对面积曲面积分存在的条件是什么？
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授（板书）
教学内容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分 ，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？
主要参考资料
1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.
备注
如果是闭曲面，积分号写成
2.存在条件： 在光滑曲面 上连续。
3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
对面积的曲面积分
Σ 在 xOy 面上的投影区域
2 2 2
-0.5 -1 -1 -0.5 ≤ a − h .
2
面积元素 dS =
1 + z + z dxdy =
2 x 2 y
a a2 − x2 − y2
1
dxdy ，
极坐标 dS P 217 1 a a ∫∫ z ====D a2 − x2 − y2 ⋅ a2 − x2 − y2 dxdy = ⋯ = 2πa ln h . 公式( 2 ) ∫∫ Σ xy 9
6 ∫∫ (1 + x )d xd y .
D xy
14
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
∫∫
D yz
f ( x ( y , z ), y , z ) 1 + x 2 + x z2 dydz . y
(2)若Σ : y = y ( x , z ), Σ 在 xoz 面上的投影区域为 D xz ,
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
Σ 1 :x =0
Σ 2 : y =0
Σ 3 :z = 0
Σ 4 : z = 1− x − y
= 0+0+ 0+
Σ 4 : z = 1− x − y
xyzd ∫∫ xyzdS
= ∫∫ xy(1 − x − y) 1 + (−1)2 + (−1)2 dxdy
=
Dxy
D xy :0≤ y ≤1− x , 0≤ x ≤1.
∫∫
3 xy(1 − x − y )dxdy
1− x
= 3 ∫ xdx ∫
0
1
0
3 . y(1 − x − y )dy = 120
对面积的曲面积分
, k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y 1 z x 2 ( k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
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主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
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思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
D11_4对面积曲面积分
2 4 2 2 2 I ( x y z ) d S ( x y z ) d S 3 3 ( xd S yd S zd S ) 利用质心公式: x d S 4 xd S 4 x d S x d S
f ( x, y, z) dS 存在, 且有 f ( x , y , z ( x, y ) ) Dxy
注: 向另外两个坐标面投影有类似的公式.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《高等数学》电子教案
第十一章 曲线积分与曲面积分
例1. 计算 在第一挂限部分.
例5. 计算 之间的圆柱面
其中 是介于平面
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
z
H
z
1
2 2
dz
则这一小带的质量为 所以 I
H
R z
2 R d z
0
H 2 arctan R R2 z 2
目 录 上一页
2 R d z
o x
下一页 返 回
y
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
结 束
《高等数学》电子教案
第十一章 曲线积分与曲面积分
例6. 设 : x y z a
2
2
2
2
z
o x
2 2
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
Dx y
2
y
解: 锥面 z x y 交线为
2
2 与上半球面 z
《高等数学》电子教案
第四节对面积的曲面积分11-421页PPT
• 线性性质.
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
一对面积的曲面积分的概念与性质省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面面积)， 设(xi, hi, zi )是
Si上任意取定一点， 作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作
n
和 f(xi, hi, zi )Si．
M f (x, y, z)dS S
另首先，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上
投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上含有连续偏导数，则光滑曲 面S质量M也可用元素法来求：
S上任意点(x, y, z)处面积元素为
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
，
质量元素为 dM
(x, y, z)dS (x, y, z)dS (x, y, z)dS ．
S1 S2
S1
S2
z 对面积曲面积分性质：
由对面积曲面积分定义 可知，它含有与对弧长曲线积 类似性质，这里不再赘述．
S1
S2
O x
y
第5页
二、对面积曲面积分计算
前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)光滑曲面S质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积曲面积分:
z
(xi, hi, zi )
i 1
S
Si
O x
y
第2页
一、对面积曲面积分概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀曲面形金属构件S面密度，则以下定 义曲面积分过程能够看成是求曲面形金属构件质量过程。
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
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对面积的曲面积分教案
设计
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对面积的曲面积分教案设计
课
题
对面积的曲面积分
课
时
1课时
教
学
目
的
和
要
求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。
基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。
将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重
点
难
点
对面积的曲面积分的计算
教
学
方
法
讲授（板书）
教
学
内
容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分()
,
L
x y ds
ρ
⎰，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数()
,,
x y z
ρ，求它的质量。
解：“分割”：用网格线分割曲面∑为
12
,,,
n
S S S
∆∆∆,
“近似”：(),,i i i i S
ρξηζ∈∆;
“求和”：(),
1
,
n
i i i i
i
S
ρξηζ
=
∆
∑;
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
可分为分片光滑的曲面
()
=⎰⎰
f x y z dS
,,
2
21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =⎰⎰
例3 求2z dS ∑⎰⎰
xy
D ⎰⎰222xy
D a a x =-⎰⎰。