04逻辑代数的公式和运算法则
逻辑代数基本公式及定律.
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AC BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
(完整版)逻辑代数的运算规则
逻辑代数的运算规则逻辑代数的基本定律逻辑代数的三个规则1、代入规则在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。
2、反演规则已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。
这就是逻辑函数的反演规则。
3、对偶规则已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。
其对偶与原函数具有如下特点：1.原函数与对偶函数互为对偶函数；2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。
这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。
逻辑运算的常用公式逻辑代数的总结基本逻辑运算：与（或称“积”）---符号（&、?、无、∧、∩）或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）非（或称“反”）---符号（! 、）1、基本运算法则：0-1律：0?A=0 0＋A=11?A=A 1＋A=A同一律：A?A=A A＋A=A互补律：A?A=0 A＋A=0反演律A?B =A＋B A＋B=A?B还原律A =A√⊕⊙？?＋A=02、常用公式交换律：A?B=B?A A+B=B+A结合律：A?(A?B)=(A?B)?C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：A?(A＋B)=A?B＋A?C A＋(A?B)=(A＋B)?(A＋C) 吸收律：A?(A+B)=AB A+(A?B)=ABA?B+(A?B)=A (A+B)?(A+B)=A。
逻辑代数运算法则
辑 【量例，1.3得.3到】的已Y结=知A果B就+C是+CD。 Y Y，求(A+B。C)(C+D)
代
数
Y=AC BC AD BCD
运 算
Y AC BC AD
法 3.对偶定理：若两个逻辑表达式相等，则他们的对偶式也相等。 则
对偶式就是指：对于任何一个表达式Y，若将其中的“·”
换成“+”， “+”换成“·”，0换成Y1,1换成0，得到一
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逻之 辑代数运算法则
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学习导 入
逻辑代数有什 么法则呢？
本次课主要内容
逻辑代 数基本 运算规
则
第一点
逻辑代 数的基 本定律
第二点
逻辑代 数的基 本定理
第三点
主 一、逻辑代数的运算 题 规则
1.基本公理：
逻 （1）1=0 ；0=1 （2）1·1=1；0+0=0
主 一、逻辑代数的运算 题 规则
（4）0 1 律1·A=A ；A+0=A ；0·A=0 ；
（5）互补律 A A 0; AA A+11=1
逻
辑 （6）重叠律 A ·A = A ； A + A =A
代
数 （7）还原律A A
运 算
（8）反演律—摩根定A律B A B; A B A B
法
则 证明：反演律—摩根定
个新的表达式 。
A B C=(A B) (A+C)
A (B+C) AB+AC
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AB AC ABC ABC
( AB ABC) ( AC ABC)
逻辑代数运算法则
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
主 二、逻辑代数的基本定律
题
（1）原变量吸收公式 AABA
逻 辑
（2）反变量吸收公式 AABAB
代
数 运
（3）冗余律
A B + A C + B C D = A B + A C
算
法
则
证明：
ABACBCABACBC(AA)
ABACABC ABC
(ABAB)C(ACABC)
运 算
Y AC BC AD
法 3.对偶定理：若两个逻辑表达式相等，则他们的对偶式也相等。 则
对偶式就是指：对于任何一个表达式Y，若将其中的“·”换成“+”， “+”
换成“·”，0换成1,1换成0，得到一个新的表达式 Y 。
A B C = ( A B )( A + C )
A(B+C) AB+AC
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ABAC
主 三、逻辑代数的基本定理
题
1.代入定理：在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑表达式代入
式中所有A的位置，则等式依然成立。
逻
辑 代
将摩根定理推广为三变量的应用情况：
数
运
AB=A+B
算
法 则
现将 B C 代入等式左边B的位置，于是得到
A ( B C ) A ( B C ) A + B + C
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逻辑代数运算法则
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布尔代数,逻辑运算公式
逻辑代数或称布尔代数。
它虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“ 1〞和“ 0〞两种，所谓逻辑“ 1〞和逻辑“ 0〞，代表两种相反的逻辑状态。
在逻辑代数中只有逻辑乘〔“与〞运算〕，逻辑加〔“或“运算〕和求反〔〞非“运算〕三种根本运算。
其实数字逻辑中会学到，其他课程中都会涉及，概率论也有提到1．逻辑加逻辑表达式：F=A＋B运算规那么：0＋0=0, 0 ＋1=1, 1 ＋0=1, 1 ＋1=1.2．逻辑乘逻辑表达式：F=A・B运算规那么：0・0=0, 0 •仁0, 1 • 0=0, 1 •I =1.3．逻辑反逻辑表达式：F=A运算规那么：1=0, 0=1.4．与非逻辑表达式：F=A- B运算规那么：略5．或非逻辑表达式：F=A+B运算规那么：略6．与或非逻辑表达式：F=A- B+C・ D运算规那么：略7．异或逻辑表达式：F=A- B+A- B 运算规那么：略8．异或非逻辑表达式：F=A・ B+A・ B运算规那么：略公式：⑴交换律：A+ B=B^ A ,A • B=B- A(2) 结合律：A＋( B＋C) =( A＋B)＋CA-( BC = (AB)・C⑶分配律：A-( B+ C =AB+ AC (乘对加分配) A+( BC = (A+ B)( A+ C)(加对乘分配)(4) 吸收律：A+ AB=AA(A+ B)=A(5) 0-1 律：A+ 1=1A+ 0=AA- 0=0A •仁A(6) 互补律：A+ A=1A- A=0(7) 重叠律：A+ A=AA- A=A(8) 对合律：A = A(9) 反演律：A+B=A BA- B=A+B。
逻辑代数的基本公式和常用公式
逻辑代数的基本公式和常用公式一．基本定义与运算代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。
——这些都是大家耳熟能详的概念。
如或；当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数——这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。
逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的。
在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。
在其诞生100多年后才发现其应用和价值。
其规定：1．所有可能出现的数只有0和1两个。
2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。
与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（为与运算符，后用代替）00＝0 01＝0 10＝0 11＝1 或00＝0 01＝0 10＝0 11＝1或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（为或运算符，后用＋代替）00＝0 01＝1 10＝1 11＝1 或0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1非运算（取反）定义为：至此布尔代数宣告诞生。
二、基本公式如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：A A＝A A+A=AA0＝0 A+0=AA1＝A A+1=1=+=上述公式的证明可用穷举法。
如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。
现以=+为例进行证明。
对A、B两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11四种（不可能有第五种情况）列表如下：由此可知：=+成立。
用上述方法读者很容易证明：三、常用公式1．左边＝＝右边2．左边＝＝右边例题：将下列函数化为最简与或表达式。
（公式1：）= (公式2：)（）练习题：3．异或运算和同或运算（放到最小项卡诺图中讲）四、逻辑函数1．定义：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。
逻辑代数基本运算
逻辑代数基本运算逻辑代数是一门研究命题逻辑中命题间的逻辑关系的数学分支学科。
在逻辑代数中，有一些基本的运算规则和定理，通过这些运算规则可以简化逻辑表达式、证明命题的等价关系等。
本文将介绍逻辑代数中的基本运算，包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、异或、同或等运算。
首先，逻辑与运算是逻辑代数中最基本的运算之一。
逻辑与运算表示为“∧”，当且仅当所有参与运算的命题均为真时，逻辑与运算的结果才为真。
例如，命题P∧Q的真值表如下：P | Q | P∧Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | FF | F | F其次，逻辑或运算也是逻辑代数中的重要运算。
逻辑或运算表示为“∨”，当参与运算的命题中至少有一个为真时，逻辑或运算的结果为真。
例如，命题P∨Q的真值表如下：P | Q | P∨Q---|---|---T | T | TT | F | TF | T | T逻辑非运算是一元运算，表示为“¬”，其作用是对命题的真值取反。
例如，对于命题P，逻辑非运算的结果为非P。
真值表如下：P | ¬P---|---T | FF | T逻辑异或运算表示为“⊕”，当参与运算的命题真值不相同时，逻辑异或运算的结果为真。
例如，命题P⊕Q的真值表如下：P | Q | P⊕Q---|---|---T | T | FT | F | TF | T | TF | F | F最后，逻辑同或运算表示为“⊻”，当参与运算的命题真值相同时，逻辑同或运算的结果为真。
例如，命题P⊻Q的真值表如下：P | Q | P⊻Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | F逻辑代数中的基本运算对于逻辑推理和命题等价的判断具有重要的作用。
通过熟练运用逻辑代数的基本运算规则，可以简化逻辑表达式、证明逻辑关系等，提高逻辑思维能力和解题效率。
逻辑代数的基本运算规则是逻辑推理和逻辑思维的基础，对于逻辑学习和应用都具有重要的意义。
逻辑代数的运算规则
解法一：
F A B C D E A B CDE F A(B CDE) AB ACDE
解法二：
F A B C D E A B(C D E) A(B C D E) A(B CDE) AB ACDE
【例3-6】 证明函数 F ( A C)B A(B C) 是一自对偶函数。
证明：
F* (AC B)(A BC) (A B)(C B)(A B)(A C) (A B)(B C)(A C) A(B C)(A C) B(B C)(A C) (B C)(A AC) (B BC)(A C) A(B C) B(A C) F
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逻辑代数的运算规则
1.1 逻辑代数基本公理
公理1： 设A为逻辑变量，若A≠0，则A＝1；若A≠l，则A＝0。这个公理
决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数 值的0和1，而是代表两种逻辑状态。 公理2：
0 0 0； 11 1 。式中点表示逻辑与，在用文字表述
时常省略；加号表示逻辑或。 公理3：
1.2 逻辑代数的基本定律
（12）包含律： AB AC BCD AB AC
证明：AB AC BCD AB AC BCD(A A) AB AC ABCD ABCD (AB ABCD) (AC ABCD) AB(1 CD) AC(1 CD) AB AC
1.3 摩根定理
证明：
A AB A（1 B） AB A AB AB A B（A A） A B
1.2 逻辑代数的基本定律
（11）反演律（摩根定理） A B A B； A B AB
采用真值表法证明，反演律成立。
A
B
A ·B
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2011-7-23
9
常用公式
需记忆
2011-7-23
10
3. 运算规则 （1）代入规则 在任何一个逻辑等式（如 F＝W ）中，如果将等 ＝ 理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑 式两端的某个变量（如 B ）都以一个逻辑函数（如 变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将 Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规 则。 逻辑函数作为一个逻辑变量对待。
1.3
逻辑函数及其化简
结束 放映
1.3.3 逻辑代数的公式和运算法则
1. 基本公式 2. 常用公式 3. 运算规则
2011-7-23
1
复习
举例说明什么是“与”逻辑？ 逻辑代数有哪三种基本运算？ 分别对应的开关电路图？真值表？ 逻辑表达式？ 逻辑图？ Y = A⊕B 实现怎样的逻辑功能？ ⊕ 什么是逻辑函数？有哪些表示方法？
2011-7-23 3
1. 基本公式 （1）常量之间的关系 与 0·0=0 0+0=0 或 0·1=0 1·0=0 1·1=1 0=1 0+1=1 1+0=1 1+1=1 1=0 这些常量之间的关 系，同时也体现了逻辑 代数中的基本运算规则， 也叫做公理，它是人为 规定的，这样规定，既 与逻辑思维的推理一致， 又与人们已经习惯了的 普通代数的运算规则相 似。
推广
2011-7-23
利用代入规则可以扩大公式的应用范围。
11
（2）反演规则 对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的 反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换： “﹒”→“﹢” “﹢”→“﹒” “0” → “1” “1” →“0”， 原变量→反变量 反变量→原变量
Y = A + B + CD + 0 Y = A ⋅ B ⋅ (C + D) ⋅1
2011-7-23 13
Y = A B + A(C + 0) Y ′ = ( A + B )( A + C ⋅1)
对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y ˊ=Wˊ也成立。 利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目 减少一半。
2011-7-23
互为对偶式
14
作业题
1、1-9单 2、1-10单
2011-7-23
请特别注意 与普通代数 不同之处
2011-7-23
4
（2）常量与变量之间的关系
普通代数结 果如何？ 果如何？
（3）与普通代数相似的定理
交换律 结合律 分配律
2011-7-23
A·B = B·A A·（B·C）=（A·B）·C （ ） （ ） A·（B+C）=A·B + A·C （ ）
A+B =B+A A +(B+C)=(A+B)+C A+(BC)=(A+B)(A+C)
2011-7-23
2
1.3.3 逻辑代数的公式和运算法则
A B Y A B W 逻辑函数的相等： 0 0 0 0 0 1 已知 Y = F1 (A、B、C、D……) 、 、 、 0 1 0 0 1 0 W= F20(A、B、C、D……) 0 、 、 1 、 0 1 0 问： Y = W 的条件？ 1 1 1 的条件？ 1 1 1
仅当A、B、C、D……的任一组取值所对应的 、 、 、 的任一组取值所对应的Y 的任一组取值所对应的 和W都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， 都 Y=W。 等号“＝”不表示两边数值相等，仅表示一种 等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数 的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。 结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。
5
（4）特殊的定理
De · morgen 定理
表1-16 反演律(摩根定理)真值表 反演律(摩根定理)
2011-7-23
6
表1-15 逻辑代数的基本公式
2011-7-23
7
2. 常用公式
A：公因子
B：互补
A是AB的因子 AB的因子
2011-7-23 8
A的反函数 是因子 添加项
与互补变量A 与互补变量A相与的 B、C是第三项
Y = A+ B+C + D+ E Y = A⋅ B ⋅C ⋅ D ⋅ E Y = A ⋅ (B + C + D + E )
运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先 括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。
2011-7-23 12
（3）对偶规则 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶 式Yˊ。 对偶变换： “﹒”→“﹢” “﹢”→“﹒” “0” → “1” “1” →“0” 运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序， 必要