D对面积曲面积分
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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
高斯公式
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
应用: (1) 计算曲面积分
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
∂P ∂Q ∂R + + =0 ∂x ∂ y ∂z
作业
273页 16（2）（6） 274页 (B) 6
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
z = − 1 − x 2 − y 2 的上侧 计算 的上侧, 例5. 设∑为下半球面
解 :设
∑
∑1 : z = 0, x 2 + y 2 ≤ 1
z
,取上侧
I = ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx
y
− z dxdy
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
y
− z dxdy
=0
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
x
= ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx − z dxdy
y
∑
∴ I = I1 + ∫∫ ( − 6 z )dxdy
1 x
内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y ∂P ∂Q ∂R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + Ω ∂x ∂ y ∂z
= ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
(Gauss 公式 公式)
应用: (1) 计算曲面积分
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
∂P ∂Q ∂R + + =0 ∂x ∂ y ∂z
作业
273页 16（2）（6） 274页 (B) 6
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
z = − 1 − x 2 − y 2 的上侧 计算 的上侧, 例5. 设∑为下半球面
解 :设
∑
∑1 : z = 0, x 2 + y 2 ≤ 1
z
,取上侧
I = ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx
y
− z dxdy
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
y
− z dxdy
=0
∑1
′ P′ + Q′ + Rz = 0 x y
x
= ∫∫ x sin 2 (1 − z )dydz + y cos 2 (1 − z )dzdx − z dxdy
y
∑
∴ I = I1 + ∫∫ ( − 6 z )dxdy
1 x
内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y ∂P ∂Q ∂R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + Ω ∂x ∂ y ∂z
= ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
(Gauss 公式 公式)
对面积的曲面积分习题解析
15 15
曲面上任一点的坐标满足曲面方程
（6） x2 dS ，其中 Σ 为球面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ；
答案： 4 a4 3
解 析： 本 题中 Σ 为 球 面 x2 y2 z2 a2 (a 0) ， 在 xOy 面 的投影 区域 为
Dx y {(x, y) | x2 y2 a2} . 可将球面方程化为 : z a2 x2 y2 . 如图 9 所示，球面 : x2 y2 z2 a2 对称地
答案： a(a2 h2 )
解析： 本题中 Σ 为 球面 z a2 x2 y2
上 z h (0 h a) 的部分，如图 4 所示.
此时 z
x
， z
y
，
x a2 x2 y2 y a2 x2 y2
图4
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dx y {(x, y) | x2 y2 a2 h2 }，
其中，
2 cos2 d
1
，
0
22
a 3
d 1 a
3
d
0 a2 2
a 0 1 ( )2
a
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
2 cosn xd x 2 sinn xd x
0
0
n 1 n 3
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
.
4 2 1 (n为奇数)
图 11
根据曲面积分的性质可知 dS S ，即此曲面积分等于积分曲面的面积. 本题中的旋
转抛物面 z 2 (x2 y2 ) 在 xOy 面上方四个卦限里是对称的，因此，只需求出第一卦限里
的面积，再乘以 4.
记
曲面积分
函数z=f(x，y)在Dxy上具有一阶 o 连续偏导数，被积函数R(x，y， D xy z)在Σ上连续。 x 一代、二投、三定向
y
R( x, y, z) d x d y D
(S ) xy
说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y
若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y )
A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
2
2
2 d
0
2
0
rdr 1 r cos
2
1 r
2
4
d 1 r2
cos 2 1 r 2 0
4 tan 1
例8 计算
其中Σ为平面x+y+z=1，与三坐标 平面所围
( x 1)dydz ydzdx dxdy,
4
立体的表面，取外侧
解：
z
I
o x Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
Dx y
f ( x, y ,
)
一代、二换、三投影 化为二重积分计算
Dx y
f ( x, y,
)
一代、二换、三投影, 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(x，y)代入被积函数f (x，y，z)， 得f [x，y，z(x，y)]； “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 2 如Σ：z=z(x，y)，则 dS 1 z x z 2 dxdy y “三投影”：认清Σ在xOy平面上的投影区域Dxy，二 重积分是在区域上Dxy进行的。 说明: 如果曲面方程为
y
R( x, y, z) d x d y D
(S ) xy
说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y
若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y )
A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
2
2
2 d
0
2
0
rdr 1 r cos
2
1 r
2
4
d 1 r2
cos 2 1 r 2 0
4 tan 1
例8 计算
其中Σ为平面x+y+z=1，与三坐标 平面所围
( x 1)dydz ydzdx dxdy,
4
立体的表面，取外侧
解：
z
I
o x Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
Dx y
f ( x, y ,
)
一代、二换、三投影 化为二重积分计算
Dx y
f ( x, y,
)
一代、二换、三投影, 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(x，y)代入被积函数f (x，y，z)， 得f [x，y，z(x，y)]； “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 2 如Σ：z=z(x，y)，则 dS 1 z x z 2 dxdy y “三投影”：认清Σ在xOy平面上的投影区域Dxy，二 重积分是在区域上Dxy进行的。 说明: 如果曲面方程为
对面积的曲面积分
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
5-6第二类曲面面积分
n
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
1
2.
P ( x , y, z )dydz P ( x , y, z )dydz
Q( x , y, z )dzdx Q( x , y, z )dzdx
R( x , y, z )dxdy R( x , y, z )dxdy
o
Dxy
y
x
(s) xy
R( x, y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0 i 1
n
取上侧, cos 0, 又 i z ( i , i )
n
( Si ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
解
x
1
把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2 1
xy 1 x y dxdy xy( 1 x y )dxdy
第六节 第二类曲面积分
• • • • • • 一、曲面的侧 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分的联系 六、小结 思考题
一、曲面的侧
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
面积分及高斯公式2010
上一页 下一页
对称性
例5
计算
( x 3 x 2 y z )dS , 其中Σ为球面
z a 2 x 2 y 2 之位于平面 z h (0 h a )
上方的部分.
z
解 曲面Σ 的方程
Σ
z a2 x2 y2
Σ在xOy面上的投影域
x
O
y
Dxy : x 2 y 2 a 2 h2
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
2 2 dS 1 z x z y dxdy
2dxdy
D
xy
上一页
下一页
例2 计算 | xyz |为抛物面z x y (0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x y
2 2
z
关于xOz面、yOz面均对称； 被积函数 | xyz |
求
H dS ,
: x y z 1
答案
4 6 ai 5 i 1
上一页
下一页
例11.计算曲面积分
重心公式
中是球面x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I ( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
曲面积分的计算及证明
1.对面积的曲面积分的计算
（１）用公式直接计算
（２）用对称性
（３）两类面积分间的联系.
上一页
下一页
对面积的曲面积分时,首先应根据 曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素; 最后将曲面方程代入被积函数, 化为二
重积分进行计算.
对称性
例5
计算
( x 3 x 2 y z )dS , 其中Σ为球面
z a 2 x 2 y 2 之位于平面 z h (0 h a )
上方的部分.
z
解 曲面Σ 的方程
Σ
z a2 x2 y2
Σ在xOy面上的投影域
x
O
y
Dxy : x 2 y 2 a 2 h2
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
2 2 dS 1 z x z y dxdy
2dxdy
D
xy
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例2 计算 | xyz |为抛物面z x y (0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x y
2 2
z
关于xOz面、yOz面均对称； 被积函数 | xyz |
求
H dS ,
: x y z 1
答案
4 6 ai 5 i 1
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例11.计算曲面积分
重心公式
中是球面x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I ( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
曲面积分的计算及证明
1.对面积的曲面积分的计算
（１）用公式直接计算
（２）用对称性
（３）两类面积分间的联系.
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对面积的曲面积分时,首先应根据 曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素; 最后将曲面方程代入被积函数, 化为二
重积分进行计算.
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
对面积的曲面积分的几何意义
对面积的曲面积分的几何意义一、引言曲面积分是向量分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
而对于曲面积分的几何意义，是我们在学习和应用曲面积分时必须深刻理解的。
二、曲面积分的定义在数学中，曲面积分是对一个向量场在给定曲面上的积分。
具体来说，如果我们有一个向量场F(x,y,z)=(P,Q,R)，并且有一个参数化的曲面S，那么F在S上的曲面积分就可以表示为：∫∫S F·dS其中，“·”表示向量点乘，“dS”表示曲面元素。
三、曲面元素为了更好地理解曲面积分的几何意义，我们需要先了解一下什么是曲面元素。
对于任意给定点P(x,y,z)处定义一个切平面T，并且令dS为该平面上与z轴正方向夹角为θ（θ∈[0,π]）时z轴投影区域dA，则dS=dA/cosθ。
这个定义可以帮助我们计算出曲面上每个点处与该点相关联的小区域。
四、曲线与流量在理解了曲面元素的概念后，我们可以更好地理解曲面积分的几何意义。
曲面积分实际上是将向量场F投影到曲面S上，然后计算在这个投影下的流量。
具体来说，我们可以将曲面S看作是一个容器，向量场F看作是液体流入该容器内部的速度场。
那么，在单位时间内流入该容器内部的液体体积就等于F在S上的曲面积分。
五、对比一般积分与一般积分不同的是，在一般积分中，我们对函数f(x)在一个区间[a,b]上进行求和或平均值计算。
而在曲面积分中，我们对向量场F在一个参数化的曲面S上进行求和或平均值计算。
因此，曲面积分更加复杂和抽象。
六、实际应用曲面积分在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，我们可以利用曲面积分来计算电荷产生的电场强度；在流体力学中，我们可以利用曲面积分来计算涡旋流线等物理量；在机械工程中，我们可以利用曲面积分来计算物体的质心和转动惯量等。
七、总结在本文中，我们介绍了曲面积分的定义、曲面元素的概念以及曲面积分的几何意义。
通过对曲面积分的深入理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
对面积的曲面积分的可代入性和对称性
对面积的曲面积分的可代入性和对称性第十二章 曲面积分一、对面积的曲面积分的可代入性对面积的曲面积分中被积函数可代入性：是指可以将曲面的表达式代入被积函数。
所以x , y , z 满足曲面的方程.是定义在曲(,,)f x y z面 上的，也就是说以 f (x , y , z ) 的自变量x , y , z 为坐标的点P 就是曲面Σ上,比如：设 f (x , y , z )=xyz 是定义在曲面Σ：z = x 2 + y 2 上，从而 f (x ,y ,z ) 就可以写成 xy (x 2+y 2)，即f (x ,y ,z ) = xy (x 2+y 2).因为 f 中的x , y , z 是约定在曲面之上的，所以 z 的取值为x 2 + y 2 , 而点的坐标必须满足曲面的方程，而二重积分计算时则不能把边界曲线的表达式代入被积函数，满足的关系式通过不等式描述，一般含有“≤”或“≥”。
因为被积函数中的x , y 是平面区域D 内部的点对应的x , y ，此时x , y +≤+⎰⎰22221()d ,x y x y x y σ比如：中的取值限定在圆内，满足的是x 2 + y 2 ≤ 1，所以22221()d x y x y σ+≤+⎰⎰+≤≠⎰⎰2211d .x y σ二、对面积的曲面积分的对称性定义1设曲面∑上任取一点P(x, y, z)，若(x, y, – z)对应的点Q也在∑上，或者说：将∑的关系式中“z”换成“–z”，而关系式不变，则称曲面∑关于xOy面对称.【曲面还可以关于yOz面对称或zOx面对称。
】例如： Σ的关系式为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将z改成-z，则关系式变成了： x2 + y2 +(-z)2= a2 (-z ≥0),即x2 + y2 + z2= a2 (z ≤ 0),关系式发生了变化，即曲面发生了变化，所以曲面不关于xOy面对称。
当然，如果大家把x改成-x,则关系式不变，所以曲面关于yOz面对称。
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第2页/共26页
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y
f (x, y, Dx y
证明: 由定义知
)
n
lim
0 k 1
第3页/共26页
而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
曲面面积为
第1页/共26页
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性.若是分片光滑的, 例如分成
两片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
定义:设为光滑曲面, f(x,y,z)是定义在上的一 个有界函数, 若对做任意分割和局部区域任意取点
“乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积 函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为M (x, y, z) d S
解: 锥面 z x2 y2与上半球面z a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分, 它在xoy面
上的投影域为
Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
第9页/共26页
I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
用球坐标 z R cos d S R2 sin d d
R3
2 d
2 sin cos d
0
0
R 2 d
2 sin d
0
0
思考题: 例3是否可用球面坐标计算?
第11页/共26页
例5.计算 解:取球面坐标系,则
: x2 y2 z2 R2.
2
d
R2 sin R cos
d
00
2
R
d( R cos R cos
z = y下方那部分柱面的侧面积S.
解: S dS
取 dS zds
L z ds L y ds
3
5 4cos2 t dcos t
0
z oz y
L ds x
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例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
x o Dx y y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
思考: 若例3中被积函数改为
z 1 x o Dx y y
计算结果如何?
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例4. 求半径为R的均匀半球壳的重心.
解: 设的方程为
利用对称性可知重心的坐标 x y 0 , 而
0
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思考: 若是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面z =±h截
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示在平面 1
上的部分,则 o
原式= 1 2 3 4 xyz dS
(地球半径R=6400km)
z
解: 建立坐标系如图覆, 盖曲面的
Rh
半顶角为, 利用球坐标系, 则
d S R2 sin d d
卫星覆盖面积为
A d S
R
2
2
0
sin
d
0
d
2 R2 (1 cos ) 2 R2 h
Rh
o
R
y
x
cos R
Rh
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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
)
0
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例6. 计算
其中是球面 x2 y2
z2 2(x y z).
解: 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(
x
2
y
2
z2)dS
4 3
(x
y z) d S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1
z
2 x
(k
,
k
)
z
y
2
(
k
,
k
)
x xd S d S
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例7. 计算
其中是介于平面
之间的圆柱面
分析: 若将曲面分为前后(或左右) z
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H 2 R dz
0 R2 z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
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例8. 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
A
4 R2
h 2( R h)
36 106 2(36 6.4) 106
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z
2 x
z
2 y
h o
Dxy a y x
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
(
k
)
x
y
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
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说明: 1)如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y(x, z), (x, z) Dxz 可有类似的公式. 2)若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式, 也可将对面积的曲面积分转化为对参数 的二重积分. (见本节后面的例4, 例5)