对面积的曲面积分
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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
对面积的曲面积分
z x, y在Dxy上偏导数连续， z
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
用平行于坐标轴的直线网 dS M
将 Dxy分割为若干小区域， o
任取一个小矩形 d x
相应地上有小曲面块dS,
Dxy
y
(x, y)
d
T为 上过 M( x, y, z( x, y))的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于z 轴的
小柱面，截曲面 为 dS；
z
对面积的曲面积分(或第一型曲面积分) 若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分
记为 f (x, y, z)dS
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分
f ( x, y, z)dS
x, y, z 在上变化 曲面面积元素
？
一、曲面的面积
设曲面 : z z x, y， x, y Dxy
Dxy是有界闭区域，
1 2 3
2 1
O Dxy
1
3
x
4
1
y
在4上：z 1 x y,
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
3d
又 4 在xoy面上的投影区域 Dxy
z
是由 x 0, y 0, x y 1 1
4
围成的三角形.
Dxy : 0 y 1 x,0 x 1
1
x
O Dxy
1
y
x y 1
在4上：z 1 x y,
x,
y
z
2 y
x,
y
d
对面积的曲面积分的计算公式为
f x, y, zdS
f x, y, z x, y
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
化为二重积分
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
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对面积的曲面积分
第四节对面积的曲面积分
学习目标
了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.
内容提要
1.定义设函数 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n小块 （ 也表示第 小块曲面的面积），在 上任取一点 ，作乘积 （ ），并作和 ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲面的任一分法和点 的任意取法，当 时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
解：假设 在曲面 上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块 ，设 使曲面块 内的一点，则由曲面块 很小， 的连续性可知，曲面块 的质量近似等于 ，这部分质量可近似看作集中在点 上，该点到 轴的距离等于 ，于是曲面对于 轴的转动惯量为： ，所以转动惯量为：
2．按对面积的曲面积分的定义证明公式
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
设球壳的质心坐标为 ，由对称性知， ．
，
其中 为上半球面 ， ，
于是球壳的质量为
其中 为 在 面上的投影域： ．利用极坐标计算上述二重积分，得
而
故 ，于是半球壳的质心坐标为 ．
教材习题解答
1.有一个分布着质量的曲面 ，在点 处它的面密度 ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 轴转动惯量。
【分析】]根据积分曲面 的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元 ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．
解设 , 为锥面 , ，在 上，
= ，
图4-1
为 上 部分，在 上， ，
在 面的投影区域为 ，所以
+
.
例5计算 ，其中 为 介于 之间的部分.
【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面 关于 面， 面对称，被积函数是偶函数，则有 = ，故可利用对称性解之.
解设 ,其在 面的投影域为 ，
= =4 .
图4-2
【注】该题不能将积分曲面 向 面作投影，因为投影为曲线，不是区域.
基本题型II：对面积的曲面积分的应用
例6求物质曲面 的质量，其面密度 .
解 在 平面上的投影区域 .
于是，所求质量为
例7试求半径为 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离．
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面Biblioteka 分的计算设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
，其中 由 和 组成
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ．
解因为曲面是上半球面， 关于 面对称且被积函数 ， 都是变量 的奇函数，于是 ．类似地， 关于 面对称且 是变量 的奇函数，于是 ．而 ，故应选（C）．事实上，由对称性， ， ，（C）正确．
【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：
（1）利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5.计算 ，其中 是：
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
．
4.对面积的曲面积分的应用
设曲面 上任意一点 处的面密度是 ，则
①曲面的质量
．
②曲面的质心
， ．
③曲面的转动惯量
， ，
， ．
典型例题与方法
基本题型I：计算对面积的曲面积分
例1填空题
设 ，则 ．
解由积分区域的对称性知 ，于是
．
而积分在 上进行， ，代入上式得，
故应填
例2选择题
设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有（）
解 ，
（4） ，其中 为锥面 被柱面 所截得的有限部分.
解
7.求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .
解 ，
8.求面密度为 的均匀球壳 对于 轴的转动惯量.
解由公式
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
（2）锥面 被平面 和 所截部分。
解（1）设 中属于锥面部分为 ，上底面部分为 ，而 与 在 面上的投影区域均为
，所以
=
（2）所截的锥面为： ，
所以
6.计算下列对面积的曲面积分：
（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（2） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（3） ，其中 为球面 上 的部分.
第四节对面积的曲面积分
学习目标
了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.
内容提要
1.定义设函数 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n小块 （ 也表示第 小块曲面的面积），在 上任取一点 ，作乘积 （ ），并作和 ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲面的任一分法和点 的任意取法，当 时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
解：假设 在曲面 上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块 ，设 使曲面块 内的一点，则由曲面块 很小， 的连续性可知，曲面块 的质量近似等于 ，这部分质量可近似看作集中在点 上，该点到 轴的距离等于 ，于是曲面对于 轴的转动惯量为： ，所以转动惯量为：
2．按对面积的曲面积分的定义证明公式
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
设球壳的质心坐标为 ，由对称性知， ．
，
其中 为上半球面 ， ，
于是球壳的质量为
其中 为 在 面上的投影域： ．利用极坐标计算上述二重积分，得
而
故 ，于是半球壳的质心坐标为 ．
教材习题解答
1.有一个分布着质量的曲面 ，在点 处它的面密度 ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 轴转动惯量。
【分析】]根据积分曲面 的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元 ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．
解设 , 为锥面 , ，在 上，
= ，
图4-1
为 上 部分，在 上， ，
在 面的投影区域为 ，所以
+
.
例5计算 ，其中 为 介于 之间的部分.
【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面 关于 面， 面对称，被积函数是偶函数，则有 = ，故可利用对称性解之.
解设 ,其在 面的投影域为 ，
= =4 .
图4-2
【注】该题不能将积分曲面 向 面作投影，因为投影为曲线，不是区域.
基本题型II：对面积的曲面积分的应用
例6求物质曲面 的质量，其面密度 .
解 在 平面上的投影区域 .
于是，所求质量为
例7试求半径为 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离．
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面Biblioteka 分的计算设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
，其中 由 和 组成
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ．
解因为曲面是上半球面， 关于 面对称且被积函数 ， 都是变量 的奇函数，于是 ．类似地， 关于 面对称且 是变量 的奇函数，于是 ．而 ，故应选（C）．事实上，由对称性， ， ，（C）正确．
【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：
（1）利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5.计算 ，其中 是：
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
．
4.对面积的曲面积分的应用
设曲面 上任意一点 处的面密度是 ，则
①曲面的质量
．
②曲面的质心
， ．
③曲面的转动惯量
， ，
， ．
典型例题与方法
基本题型I：计算对面积的曲面积分
例1填空题
设 ，则 ．
解由积分区域的对称性知 ，于是
．
而积分在 上进行， ，代入上式得，
故应填
例2选择题
设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有（）
解 ，
（4） ，其中 为锥面 被柱面 所截得的有限部分.
解
7.求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .
解 ，
8.求面密度为 的均匀球壳 对于 轴的转动惯量.
解由公式
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
（2）锥面 被平面 和 所截部分。
解（1）设 中属于锥面部分为 ，上底面部分为 ，而 与 在 面上的投影区域均为
，所以
=
（2）所截的锥面为： ，
所以
6.计算下列对面积的曲面积分：
（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（2） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分.
解 ，
（3） ，其中 为球面 上 的部分.