对面积曲面积分的计算法
合集下载
高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
高等数学对面积曲面积分
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1
O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
9.4 第一类曲面(对面积的)积分
M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记 当积分曲面是封闭曲面时 常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种： 按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知： 解 依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称， 关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片 当曲面 为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在 续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积 以下恒设此 条 上必可积,以下恒设此 以下恒设此2条 上连 续时 在 件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略 第一类曲面积分有如定积分类似的性质 从略. (3)第一类曲面积分的物理意义 曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量 第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
对面积的曲面积分
M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面 个小曲面 块的直径的最大值。 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 、 定义8.3.1 设曲面 是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上 设曲面Σ是光滑的 函数f 是光滑的， 定义 在 上 有界。 任意分成n小块 同时也代表第i小 有界 。 把 Σ任意分成 小块 ⊿ Si （ 同时也代表第 小 任意分成 小块⊿ 块的面积） 设 上任意取定的一点， 块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点， 是 作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和 ， ， ， ， ，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)， 一代” 代入被积函数f 一代 代入被积函数 ， 得f [x,y,z(x,y)]； ； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式： 二换 换成相应的曲面面积元素的表达式 如Σ：z=z(x,y)，则 ： ，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr
曲面积分1
Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS
2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例 求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】 两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
机动 目录 上页 下页
返回
4. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 转化 二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D
x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极 坐 标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则
曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数
对面积的曲面积分
2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解 曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x
z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二 对重 称积 性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若 可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则
f ( x , y , z )d S
1
f ( x , y , z )d S
2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的 曲面Σ 关于yOz面对称,
则
f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I
( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)
对面积的曲面积分
P158 题4(1).
在 xoy 面上的投影域为
2
z
dS
1 z x z y d xd y
2
2
D xy o
y
2
x
S d S
x y
D
1 4( x y ) d x d y
2 2
这是 的面积 !
2. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0的表
1 1 1 z
1
1 x
1 (1 x y ) dx
2
dy
1 (1 x ) 1 (1 y )
2 2
0 d z 0
1 z
dy
3 2
3
( 3 1) ln 2
练 习 题
一 、填 空题: 1 、 已 知 曲 面 的 面 积为 a , 则 10 ds _ _ _ _ _ _ _ ；
D yz
2
2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中
2
为平面
y z 5被柱面 x
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解
积分曲面
：z 5 y ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x 2 y 2 25 }
dS
2 1 z x z 2 dx dy y
4
2、
1 (
x y
) (
2
x z
) ；
2
4、
111 10
；
5、
1 2
2
.
2、
64 15 2a .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3
dS 计算 ∫∫ 2 2 2 ，其中 Σ 为圆柱面 x +y +z Σ
x 2 + y 2 = R 2 介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一
卦限的部分。 解 由于 Σ 不能表示成z=z(x,y)的形式
2 2 现写成 x = R y ，这样就需投影到yoz面上，
投影区域D为矩形 0 ≤ y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H
2 f x ( y, z ) , y, z 1 + x y + xz2 dσ
∫∫
∑
∫
Dyz
∑ : y = y ( x, z )
∫∫
∑
f ( x, y, z )ds =
∫
Dxz
2 f x, y ( x, z ) , z 1 + y x + y z2 dσ
例1
1 dS ，其中 Σ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 计算 ∫∫ z Σ
第五节 对面积曲面积分的计算法
几何形体上的积分 重积分
∫ f ( P )dg
G
∫∫
D
f ( x , y )dσ ;
∫∫∫ f ( x , y, z )dv
对弧长的曲线积分
∫
L
f ( x , y )ds;
∫
Γ
f ( x , y , z )ds
f ( x , y , z ) 在 Σ上 连 续 ，
有
当G为一光滑曲面 Σ ， 被积函数 为一光滑曲面
例2 计算 ∫∫ xyzdS ，其中 Σ 是三个坐标面和
Σ
平面 x + y + z = 1 围成的四面体的整个边界曲面。
z
1
O
Dxy
1
y
1
x
解 边界曲面 Σ 由四块组成：Σ = Σ1 + Σ 2 + Σ3 + Σ 4 他们的表达式分别是 x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 于是
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS
曲面面积元素 积分曲面
称 为 函 数 f ( x , y , z ) 在 曲 面 Σ上 的
对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 曲面积分
计算对面积的曲面积分 ——化为二重积分 化为二重积分
∫∫ f ( x, y, z )dS
所以
1 ∫∫ z dS Σ = ∫∫
D
1 a x y
2 2 2
a a x y
2 2 2
dσ （极坐标）
= ∫∫
D
a a dσ = ∫∫ 2 2 rdrdθ a2 x2 y 2 a r D
2π a2 h2 0 0
＝a ∫ dθ ∫
r 1 a 2 2 a 2 h2 dr = 2π a[ ln(a r )]0 = 2π a ln 2 2 a r 2 h
Σ
？
( x , y , z ) 在 Σ上 变 化
∫∫ f ( x , y, z )dS
Σ
用切平面小块 dA 来代替dS ，而
曲面积分元素为
dσ dA = cos γ
dA
γ
dσቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dσ ds = = 1 + z x 2 ( x , y ) + z y 2 ( x, y ) d σ cos γ
第一型曲面积分化为二重积分的公式为
被平面 z = h(0 < h < a) 截出的顶部。
z
a
∑
h
O
Dxy
a
y
a
x
解 Σ 的方程为 z = a 2 x 2 y 2 ，它在xoy面上的
2 2 2 2 投影区域D为 x + y ≤ a h ， Σ 的曲面面积元素
为
dS = 1 + z x 2 + z y 2 dσ = a a2 x2 y 2 dσ
又 Σ 4 在xoy面上的投影区域D为 x = 0, y = 0, x + y = 1 围成的三角形
所以
∫∫ xyzdS
Σ
= ∫∫ xyzdS = ∫∫ xy (1 x y ) 3dσ
Σ4 D 1 1 x
= 3 ∫ xdx ∫
0 1
0
y (1 x y )dy
y 2 y 3 1 x = 3 ∫ x[(1 x) ]0 dx 0 2 3 3 1 (1 x ) = 3∫ x dx 0 6 3 1 = ( x 3 x 2 + 3 x3 x 4 )dx 6 ∫0 3 = 120
∫∫
Σ
f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z ( x, y )) 1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y )dσ
D
如果曲面 Σ 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出， 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz 面上的二重积分。
∑ : x = x ( y, z ) f ( x, y, z )ds =
又 xy = 有 于是
y R y
2 2
, xz = 0
2
dS = 1 + z x + z y dydz =
2
R R y
2
2
2
dydz
dS 1 = ∫∫ 2 ∫∫ x2 + y 2 + z 2 D R + z 2 Σ = ∫∫
D
R R y
2
dydz
R R2 y2 R R2 y2
R
dy ∫
H
0
1 dz 2 2 R +z
=∫
R
0
1 Z H arctan |0 dy R R 1 R y
2 2
H = arctan R
∫
0
dy
而
∫
R
1 R2 y 2
0
dy = lim R1 π = R 2
R1 > R 0
∫
R1
1 R2 y2
dy
（R1 <R ）
= lim arcsin
R1 > R
所以
dS π H ∫∫ x 2 + y 2 + z 2 = 2 arctan R Σ
∫∫ xyzdS = ∫∫
Σ Σ1
+ ∫∫ + ∫∫
Σ2 Σ3
∫∫
Σ4
Σ Σ 由于在 Σ1 ，2 ，3 上 f ( x, y, z ) = xyz 均为零，
所以
∫∫
Σ1
= ∫∫ = ∫∫ = 0
Σ2 Σ3
Σ 4 上 z = 1 x y dS = 1 + z x 2 + z y 2 dσ = 3dσ， 在 ，