3.备课资料(2.1 几类不同增长的函数模型)
几类不同增长的函数模型教学设计范文整理
几类不同增长的函数模型教学设计教学设计2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题．．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排课时教学过程第1课时林大华导入新思路1．一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g＝10n，f≈105，g＝2.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2．请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新新知探究提出问题如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．分别用表格、图象表示上述函数．指出它们属于哪种函数模型．讨论它们的单调性．比较它们的增长差异．另外还有哪种函数模型与对数函数相关．活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．总价等于单价与数量的积．面积等于边长的平方．由特殊到一般，先求出经过1年、2年…列表画出函数图象．引导学生回忆学过的函数模型．结合函数表格与图象讨论它们的单调性．让学生自己比较并体会．其他与对数函数有关的函数模型．讨论结果：y＝x.y＝x2.y＝x.如下表x123456y＝x123456y＝x2149162536y＝x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1，图2，图3.图1图2图3它们分别属于：y＝x＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ax＋b．从表格和图象得出它们都为增函数．在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；元；10以后每天比前一天多回报元，10天回报方案二：方案三：天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40进行描述；方案二可以用函数y＝10x进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1进行描述．三个模型中，个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元0100.400XX0.80.40030101.60.840040103.21.640050106.43.2400601012.86.4400701025.612.8400801051.225.64009010102.451.2040010010204.8102.4…………………040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象．图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11 天以上，则应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样的结论．答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数．②让我们体会每天回报数的增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用“神者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么写出y1、y2与x之间的函数关系式；在同一直角坐标系中画出两函数的图象；求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据．全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；可利用方程组求解，也可以根据图象回答；求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．解：y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x．图象如图5所示．图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同．当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．另解：当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝10003.显然375＞10003，∴选用“全球通”更合算．点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随着利润x的增加而增加，现有25%.同时奖金不超过利润的万元，5但奖金总数不超过．三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象．图6观察函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．图7令f＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f的图象，由函数图象可知它是递减的，因此 f＜f≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1000]时，log7x＋1x＜0.25.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%，元，统计其销售a．目前，该商品定价为x%销售数量就减少．数量为b个．当＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时的取值范围．解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y＝a?b＝ab10000[－x2＋100x＋10000]．取＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，所以x＝50，即商品价格上涨50%，y最大为98ab.因为y＝ab10000[－x2＋100x＋10000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x＝50，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x ＞0}的一个子集内增大时，y也增大．所以50＞0，解得0＜＜1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过x块玻璃以后强度为y.写出y关于x的函数关系式；通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．解：光线经过1块玻璃后强度为＝0.9；光线经过2块玻璃后强度为?0.9＝0.92；光线经过3块玻璃后强度为?0.92＝0.93；光线经过x块玻璃后强度为0.9x.∴y＝0.9x．由题意：0.9x＜3.∴0.9x＜13.两边取以10为底的对数，xlg0.9＜lg13.∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xin＝11.∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302；③野生水葫芦从42蔓延到122只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22、32、62所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图8解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝ax．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：建立函数模型；利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3.2A组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．第2课时张建国导入新思路1．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．思路2．我们知道，对数函数y＝logax，指数函数y＝ax与幂函数y＝xn在区间上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．推进新新知探究提出问题在区间上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．见下表与图9.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…图9从图象看出y＝log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y＝2x的图象与y＝x2的图象有交点．不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是和∪．我们在更大的范围内列表作函数图象，x012345678…y＝2x1248163264128256…y＝xXX91625364964…图10容易看出：y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点和，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示．x01020304050607080…y＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…y＝xXX040090016002500360049006400…图11一般地，对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn，通过探索可以发现，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.在区，xn＝y和幂函数logax＝y对于对数函数同样地，间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax 可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.综上所述，尽管对数函数y＝logax，指数函数y＝ax与幂函数y＝xn在区间上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn的增长速度，而y ＝logax的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.虽然幂函数y＝xn增长快于对数函数y＝logax增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．而每月所获利润＝卖报收入的总价－付给报社的总价．卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20×0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10×0.05×．付给报社的总价为30×0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×－30×0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．图12例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线．写出服药后y与t之间的函数关系式；据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间效果最佳？≤1<t，203＋23t，－1≤t≤0，6t＝y解：依题意，得10.设第二次服药时在次服药后t1小时，则－23t1＋203＝4，t1＝4.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有－23t2＋203－23＋203＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在次后t3小时，则此时次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，－23＋203－23＋203＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f表示学生接受概念的能力[f的值愈大，表示接受的能力愈强]，x表示提出和讲授概念的时间，可有以下的公式：开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：当0＜x≤10时，f＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.12＋59.9，知当x＝10时，[f]ax＝f＝59；当10＜x≤16时，f＝59；当16＜x≤30时，f＝－3x＋107，知f＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．∵f＝－0.1×2＋59.9＝53.5，f＝－3×20＋107＝47＜53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强．点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13的抛物线段表示．写出图13表示的市场售价与时间的函数关系P＝f；写出图13表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g；认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？图13活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正．解：由图13可得市场售价与时间的函数关系为f＝300－t，0≤t≤200，2t－300，200<t≤300.由图13可得种植成本与时间的函数关系为g＝1XX＋100,0≤t≤300.设t时刻的纯收益为h，则由题意得h＝f－g．即h＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t －10252，200<t≤300.当0≤t≤200时，配方整理，得h＝－1XX＋100，所以当t＝50时，h取得区间[0,200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理，得h＝－1XX＋100，所以当t＝300时，h取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式．②分段函数解析式的求法．③函数应用中的最大值、最小值问题．举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14、图14、图14所示．其中图14的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图14的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．图14分别写出国外市场的日销售量f、国内市场的日销售量g 与批产品A上市时间t的关系式；批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元？分析：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．．在t∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．．回忆函数最值的求法．解：f＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30<t≤40，g＝－320t2＋6t．40.≤20<t，60，20≤t≤0，3t＝h产品销售利润A每件该公司的日销售利润当0≤t≤20时，F＝3t，先判断其单调性．设0≤t1＜t2≤20，则F－F＝3t1－3t2＜0.∴F在区间[0,20]上为增函数．∴Fax＝F＝6000＜6300.当20＜t≤30时，令60＞6300，则703＜t＜30；当30＜t≤40时，F＝60＜60＝6300，故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6300万元．点评：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．．在t∈[0,40]上，有几个分界点，t＝20，t＝30两点把区间分为三段．．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．作业课本习题3.2A组3,4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料【备选例题】【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－11602＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－1591602＋1192万元．问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？，知每年100＋11602＝－P解：在实施规划前，由题设只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为1＝100×10＝1000．实施规划后的前5年中，由题设P＝－11602＋100，知每年投入30万元时，有最大利润Pax＝7958．前5年的利润和为7958×5＝39758．设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的万元用于外地区的销售投资，则其总利润为＝－11602＋100×5＋－159160x2＋1192x×5＝－52＋4950.当x＝30时，ax＝4950．从而10年的总利润为39758＋4950．∵39758＋4950＞1000，∴该规划方案有极大实施价值．。
几类不同增长的函数模型(教案)
几类不同增长的函数模型（第一课时）一、三维目标（一）知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(二)过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用．(三)情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识.二、教学重点将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．三、教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．四、教具准备多媒体课件、与教材内容相关的资料五、教学方法启发式与探究式相结合七、教学过程（一）创设情境： （视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于08年元旦开张，生意蒸蒸日上。
第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万. 试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？设计意图：通过卡通视屏引出话题，增加学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围. （二）组织探究：问题1：你觉得第三个月的营业额是多少？设计意图：学会将实际问题转化为数学模型.分析其中的数量关系，得出所要寻找的是过点()()5.1111，、，且在*∈N x 上单调递增的函数模型问题2：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在*∈N x 上单调递增？ 设计意图：比较自然地引导学生给出一次函数，指数函数，对数函数，幂函数.问题3：上述函数模型是否满足过点()()5.1111，、，？ 设计意图：引导学生思考，通过讨论。
老师对所给出的函数进行结构上的优化，从而建立符合题意的函数模型.问题4：结合excel 表格，你能分析出个模型增长的差异吗？月份 y=a x+by=ma x +by=ax α+b y=mlog a x+b 1 1 1 1.000 1.000 2 1.5 1.5 1.500 1.500 3 2 2.5 2.857 1.792 4 2.5 4.5 5.500 2.000 5 3 8.5 9.857 2.161 6 3.5 16.5 16.357 2.292 7432.525.4292.4048 4.5 64.5 37.500 2.5009 5 128.5 53.000 2.58510 5.5 256.5 72.357 2.66111 6 512.5 96.000 2.73012 6.5 1024.5 124.357 2.79213 7 2048.5 157.857 2.850设计意图：通过现场操作电子表格和绘制散点图，使学生初步感受直线上升，指数爆炸及幂函数，对数函数增长的特点.体会信息技术在数学课堂中的作用.（三）探索研究（视屏片段二）：若第10个月的营业额不超过500万，且在08年内，一月份到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过50万，那么所列的模型中哪个符合要求?设计意图：借助先前的表格，引导学生分析三种函数的不同增长情况对模型选择的影响，使学生明确问题的实质就是比较所列模型的增长情况.（四）巩固反思；通过一个课堂小游戏：让学生想象把30张纸叠在一起和把一张足够大的纸折叠30次，这两者的高度各是多少？设计意图：通过这个震撼的对比，让学生更进一步的理解直线上升和指数爆炸在增长上的差异。
课件5：3.2.1 几类不同增长的函数模型
解得：a＝2100，b＝－32，c＝4225. 所以 Q 与 t 的关系为：Q＝2100t2－32t＋4225.
(2)当 t＝－2－201320＝150 天时，西红柿种植成本最低为
Q＝2100·1502－32×150＋4225＝100(元/100 kg)．
是增函数， 二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间：_－__2b_a，__＋__∞__上
是增函数，
结合它们的图象可知，存在实数x0，当x>x0时就有： __g_(x_0_)>__f(_x_0)__.
一次函数模型的应用 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移 动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡” 与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分) 与通话费y(元)的关系如下图所示．
跟踪训练
1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成
绩的员工实行奖励，奖励金额(元)是f(n)＝k(n)(n－5000)(其中n
为年销售额)，而k(n)＝
0.03 0.04
5000≤n≤10000
10000＜n＜20000 ，一员工获得400
0.05 20000≥n
元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )
80 10
＝5log223＝ 15 m/s.
一、选择填空题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面 一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )
x 1.99 3
4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
3.2.1几类不同增长的函数模型
§3.2.1几类不同增长的函数模型教案【教学目标】1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.【教学重难点】教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。
（三）典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.解析：我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。
高中数学优质教案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型●三维目标1．知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．2．过程与方法(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．3．情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．二、重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y ＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝a x(a＞1)、对数函数y＝log a x(a＞1)、幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，a x＞x n＞log a x，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．【问题导思】函数y＝2x，y＝log2x及y＝x2的图象如图所示.1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝x2.2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝2x.3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？【提示】存在．1．三种函数模型的性质(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x.【思路探究】解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．【自主解答】分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e x0－2＝x20－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)<x2－1<0.5e x－2.规律方法1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．2．三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．变式训练三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2【解析】通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】 C，例B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)的大小．【思路探究】根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2012>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．规律方法1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．互动探究本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．【解】a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.例3案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】作出函数图象→观察图象得到结论【自主解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x 的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．规律方法不同的函数增长模型描述增长速度的差异：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．变式训练某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，C B ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B【解析】 A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100×⎝⎛⎭⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元． 【答案】 B数形结合思想在函数中的应用典例 (12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )图3－2－2(1)若通话时间为2小时，则按方案A ，B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．【规范解答】 由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500，168)，MN ∥CD .1分 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )， 则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 310x ＋x ，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 310x ＋x 3分(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分 (2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝0.3(n >500)，6分所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分 (3)由图可知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x )． 当x >500时，f A (x )>f B (x ).9分当60<x ≤500时，168＝310x ＋80，解得x ＝8803.当60<x <8803时，f B (x )>f A (x )；当8803≤x ≤500时，f A (x )>f B (x ).11分即当通话时间在⎝⎛⎭⎫8803，＋∞时，方案B 才会比方案A 优惠.12分 思维启迪1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．课堂小结1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．2．函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．当堂检测1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1 B ．y ＝x C ．y ＝3xD ．y ＝log 3x【解析】 结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝log 3x 的图象可知，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x .【答案】 C2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】y24．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．图3－2－3(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).课后检测一、选择题1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.【答案】 D2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是()图3－2－4A．310元B．300元C．290 D．280元【解析】由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，∴当x＝0时，y＝300.【答案】 B3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()【解析】 观察图象A ，体温逐渐降低，不合题意；图象B 不能反映“下午体温又开始上升”；图象D 不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.【答案】 C4．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x【解析】 如图所示，由图可知当x ∈(0,1)时，2x >x 12>lg x .【答案】 A5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110x2＋2xC．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 【解析】取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．【答案】 C二、填空题6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．【解析】如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．【答案】 37．若a>1，n>0，那么当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是________．【解析】由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有log a x<x n<a x.【答案】log a x<x n<a x8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3－2－5所示．现给出下列说法：图3－2－5①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】②④三、解答题9．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．【解】 函数f (x )与g (x )的图象如下．根据图象易得：当0≤x <4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．10．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图3－2－6(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)图3－2－6(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．【解】 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12. ∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)． (2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623. 当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜； 当x >9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 11．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】 设工厂生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000，∵y 1<y 2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000，y 2＝108 000，∵y 1>y 2，∴应选择方案一处理污水.。
(13)第13讲：几类不同增长的函数模型
第13讲 几种不同增长的函数模型教学内容1、几类函数模型2、三种重要的增长模型教学过程典型例题例1：据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律，设2000年的湖水量为m ，从2000年起，过x 年之后湖水量y 与x 的函数关系式为（ ）A.509.0xy = B.m y x )1.01(50-= C. m y x 509.0= D.m y x )1.01(50-=例2：某种商品，甲的进货价比正常进货价便宜8%,而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的%x 增加到)%,10(+x 则=x .例3：用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的43，要使残留污垢不超过1%，则至少要洗 次.挑战过关1.某种动物的繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系式为)1(log 2+=x a y ,设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到（ ）A.300只B.400只C.500只D.600只2.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数)(x f y =的图像大致为（ ）3.某企业产值连续三年持续增长，这三年增长率分别为321,,P P P ,则这三年的年平均增长率为（ ） A.)(31321P P P ++ B.3321P P P C.3321)1)(1)(1(P P P +++ D.)(311321P P P +++ 4.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂鼓励销售商订购，决定一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)5.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.400,800004000,21400)(2＞，x x x x x R (1) 求将利润表示为月产量的函数);(x f(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）6.通过研究学生的学习行为发现，学生注意力随着老师讲课时间的变化而变化，设)(t f 表示学生注意力随时间 t (分钟)的变化规律[)(t f 越大，表明学生注意力越集中],经过实验分析得知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤++-=4520,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f ＜＜＜ (1) 讲课开始5分钟和讲课开始25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2) 讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？(3) 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到280，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？7.某企业生产的新产品必须靠广告打开销路，该产品广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场的抽样调查发现：每付出100万元的广告费，所得的销售额为1000万元，问该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应？是不是广告做得越大越好？8.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的标价成为无效价格，已知无效价格为每件300元。
3.示范教案(2.1几类不同增长的函数模型第1课时)
要求，就是依据这个模型进行奖励时， 奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，
由于公司总的利润目标为 1000 万元， 所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润
.于是只
需在区间［ 10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可 .不妨先作出函数图象，通过
观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果
.
思路 2.(直接导入 )
请同学们回忆指数函数、 对数函数以及幂函数的图象性质， 本节我们通过实例比较它们的增
长差异 .
推进新课
新知探究
提出问题
①如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克，需要支付 y 元，把 y 表示为 x 的函数 .
②正方形的边长为 x，面积为 y,把 y 表示为 x 的函数 .
费，神州行的费用应为通话费用； (2) 运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；
(3) 可
利用方程组求解，也可以根据图象回答； (4) 寻求出当函数值为 200 元时，哪个函数所对应
的自变量的值较大 .
解： (1)y1=50＋ 0.4x(x ≥，0)y2=0.6x(x ≥ 0).
(2) 图象如图 (3-2-1-5) 所示 .
二
10 30 60 100 150 210 180 360 450
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4
因此，投资 1～ 6 天，应选择方案一；投资 7 天，应选择方案一或方案二；投资
应选择方案二；投资 11 天 (含 11 天 )以上，则应选择方案三 .
针对上例可以思考下面问题：
③某保护区有 1 单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
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［备选例题］
【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P=1601
-(x-40)2+100万元.当地政府拟
在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q=160159
-(60-x)2+2119
(60-x)万元.问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
解：在实施规划前，由题设P=1601
-
(x-40)2
+100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1 000(万元).
实施规划后的前5年中，由题设P=1601-
(x-40)2+100,知每年投入30万元时，有最大利润P max =8795
(万元).
前5年的利润和为8795
×5=83975
(万元).
设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W 2=［1601
-(x-40)2+100］×5+(160159
-x 2+2119
x)×5=-5(x-30)2+4 950.
当x=30时，(W 2)max =4 950(万元).
从而10年的总利润为
83975+4950(万元). ∵83975
+4 950>1000，∴该规划方案有极大实施价值.
(设计者：张建国)。