几种不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
几种常见函数的增长情况
几种常见函数的增长情况在计算机科学中，我们经常要分析和比较不同函数的增长情况，以便了解算法的效率和性能。
这种分析涉及到函数的增长率、渐近上界和下界，以及最坏情况运行时间等概念。
以下是几种常见的函数增长情况：1.常数增长（O(1)）：当一个算法的运行时间与输入规模无关时，我们称之为常数增长。
无论输入是多少，算法的运行时间都保持不变。
例如，访问数组中一个固定位置的元素，向集合中插入一个新元素，删除一个元素等，这些操作通常都是常数时间。
2. 对数增长（O(log n)）：对数增长是指当输入规模逐渐增加时，算法的运行时间也逐渐增加，但是增长速率缓慢。
这种增长通常出现在二分算法、树和图的遍历等情况下。
对数增长的算法具有较好的时间复杂度。
3.线性增长（O(N)）：线性增长的算法时间复杂度与输入规模成线性关系，即当输入规模翻倍时，运行时间也翻倍。
例如，在一个包含N个元素的列表中进行线性，需要遍历全部元素来找到目标元素。
4. 线性对数增长（O(N log N)）：线性对数增长是指当输入规模逐渐增加时，算法的运行时间增长速度介于线性增长和对数增长之间。
这种增长模式常常出现在排序算法中，比如快速排序和归并排序。
5.平方增长（O(N^2)）：平方增长意味着算法的运行时间与输入规模的平方成正比。
这通常发生在使用两层嵌套循环的算法中，比如冒泡排序和选择排序。
随着输入规模的增加，平方增长的算法运行时间迅速增加，所以应该尽量避免使用这种算法。
6.指数增长（O(2^N)）：指数增长是指算法运行时间随着输入规模的增加呈指数级增长。
这种增长模式常常出现在在解决组合问题的算法中，例如穷举。
以上只是常见的几种函数增长情况，实际上还有其他复杂度如立方增长（O(N^3)）、指数对数增长（O(2^N log N)）等。
了解算法的增长情况能够帮助我们选择最合适的算法，并预测算法在不同输入规模下的运行时间。
在设计算法时，我们应该尽量选择时间复杂度较低的算法来提高效率。
高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型提高
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xy a a =>(0)y x αα=>()0,+∞αa x x a x αx a x α0x 0x x >xa >x αlog a y x =x x log a x x αlog a x x α0x 0x x >log a x x α<()0,+∞(1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>x (1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>0x 0x x >log .xa x x a α<<(0)y kx b k =+>(0)y kx b k =+<2(0)y ax bx c a =++<．（3）指数函数模型（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较，，的大小．【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x ＜0.587774756时，；2(0)y ax bx c a =++>()x f x ab c =+1b >01b <<()log a f x m x n =+1a >01a <<(0)ky k x=≠0k >(),0-∞()0,+∞0k <(),0-∞()0,+∞12log x 12x 12x⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =12y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212log x x =12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当x=0.587774756时，；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，；当x=0.64118574时，；当x ＞0.64118574时，．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较、、的大小．【答案】【解析】分别画出的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足，其中，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以，解得a ＝1，b ＝8.所以，其中.令f (n )＝8A ，得，解得，即，所以n ＝9.11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13x⎛⎫⎪⎝⎭13x 13log (1)x x >13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x>13131(,,log 3xy y x y x ===9()nAf n a bt=+232t -=99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩9()18n A f n t =+⨯223t =-9818nA A t =+⨯164nt =62122364n --==答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50．又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则，即，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值．当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这10022(01)()(12)t S t t ≤≤=⎪+<≤⎪⎩23000(100)(11003000100xx -⨯+≥⨯23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线，将B 、C 两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．故．将C 、D 两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】12()h x ax b =+()(0)f x kx b k =+≠(2)2 1.2f k b =+=(3)3 1.3f k b =+=()0.11f x x =+2()(0)g x ax bx c a =++≠12()h x ax b =+(2) 1.2h b =+=12()0.480.52h x x =+(3)0.480.52 1.35h =+≈【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x 年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x ∈（5，6]时f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12③当x ∈（6，7]时f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），a (110.4%)a +2(110.4%)a +(110.4%)xa +1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330【解析】（1）设每年还款x 元，则，即，解得，；（2）设每年还款y 元，则，即，则．【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 510 1.510450.05x x ⨯=+⋅105 1.512245()12.25x ⨯=≈元5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元(1r)xy a =+(10080)(110%)(20) 1.1nnn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润．（2）令，即，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令，即，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S 成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：总的淋雨量为：，即（Ⅱ）①当即时120n n y y ++-≥(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥120n n y y ++-≥12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥v c -11012325(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩10v =min 3202y c =-v c =min 50y c=131||1022v c ⨯-+10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦5(103)c y v -∴=5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩1030,c ->1003c <≤在上单调递减时，最小，．②当即时在上单调递减，在上单调递增．当时，最小，．答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．y (]0,10v ∈10v ∴=y min 3202y c =-1030,c -<1053c <≤y (0,)v c ∈(,10)v c ∈v c =y min 50y c=1003c <≤10v =min 3202y c =-1053c <≤v c =min 50y c=。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
高考数学复习知识点讲义课件30---不同函数增长的差异
[方法技巧] 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数 模型是一次函数模型．
解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确． 答案：③④⑤
一、在典题训练中内化学科素养 高考在本节考查的重点是三类函数模型增长趋势的比较，应用函数模型解决
简单问题，体现的核心素养是数据分析、数学运算与数学建模．
近年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨，因此，国家为保民 生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在近 四个月的市场平均价格f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
年份
2017 2018 2019
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2020 年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2020年 实际销售123万斤，超额完成预定目标．
(1)将2017、2018、2019、2020年分别定义为第1年、第2年、 第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．请你通 过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量 y与第x年的关系；
[典例] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
函数增长速度比较总结
函数增长速度比较总结函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。
而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。
在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。
本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。
一、常数函数常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。
它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。
因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。
二、线性函数线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。
线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。
三、对数函数对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。
对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。
通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。
四、指数函数指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。
指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。
因此，指数函数的增长速度被称为指数增长，记作O(base^n)。
五、多项式函数多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一个指数幂。
多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。
在多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。
多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。
尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。
常数函数和线性函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。
对数函数的增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。
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y
数模型比线性函数模型增长速度 要快得多,从中体会“指数爆炸” 的含义.
y 0.4 2 x1
160 120 80 40 y= 10x
y=40
o
２ ４ ６ ８ 10 12 x
下面再看累计的回报数：
回报/ 元 方案 天 数
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一 二 三
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8
思考2:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况 是如何变化的？
思考3:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn? 思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如 何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
方案三 y/元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 … 增加量 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 …
0 0
0 0 0 0 0 … 0
10 214748364.8 107374182.4
我们看到，底为2的指数函 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：
新课导入
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模 型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。 例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
澳大利亚兔子数“爆炸”
一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是 这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有 人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的 牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量 达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只 兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的 载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲 口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法 消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学
x
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在 探究 3 x的一定变化范围内，ax 会小于xn ，但是由于ax 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个 x0 ，当x> n, x 一般幂、指、对函数模型（ y=x y=a ,y= logax ） x n x0时，就会有a > x . 的差异. 思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?
通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依 据.
从表格中获取信 息，体会三种函数的增 我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 长差异。
x/天 1 2 3 4 5 6 7 8 … 30
方案一 y/元 40 40 40 40 40 40 40 40 … 40 增加量
方案二 y/元 增加量 10 20 10 30 10 40 50 60 70 80 … 300 10 10 10 10 10 …
其中哪个模型能符合公司的要求？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002
x
我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到 对数增长
y8
7 6 5 4 3 2 1
y=0.25x
模型比较适合于 初步结论：按对数模型 描述增长速度平 进行奖励时符合公司的 缓的变化规律。 要求。 y=5
家采用毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人 才算松了一口气．
想一想： 这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？
在理想条件（食物或养料充足，空间条件充 裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时 期内的增长大致符合“J”型曲线； 在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食 者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长， 曲线呈“S”型．
V
0
H
h
3.向高为 H的水瓶中注水，注满为止 .如果注水 量 V与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水 瓶的形状是 ( B )
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一
天多回报10元. 方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
探究1
（1）涉及哪些数量关系？
（2）如何用函数描述这些数量关系？ 分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：
y = 40(x N ), y = 10x(x N ), y = 0.4 2x-1 (x N* )
2.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开 始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间， 则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( D )
d d d d
0
A
t
0
B
t
0Ct0D Nhomakorabeat
2.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次 （一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个 可繁殖成( B ) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案； 投资7天，应该选择方案一或方案二；投资8－10天， 应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上， 应选择第三种投资方案.
例2涉及了哪几类 例2 某公司为了实现 1000万元利润的目标，准 函数模型？本例的实质 备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 是什么？ 利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元） 的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时 奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
y
y=xn
y=logax o
1
x
在区间(0,+∞)上，随着x的增大， logax增长 得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样， 尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ， 但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一 个x0 ，当x> x0时，就会有logax > xn 思考5:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0， 使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？ logax<xn <ax
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对 数函数描述后期增长的.
前期
后期
实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函 数模型来刻画呢？
3.2.1
几类不同增长 的函数模型
x y=a y=ax+b y=lnx
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资
方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元.
课堂小结
确定函数模型 图象讨论模型 利用数据表格、函数
体会直线上升、指数
爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.
课堂练习
1.购买收集“全球通”卡，使用需付基本月租 费50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打 出和接听的标准相同）；购买“神州行”卡，使用 时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为 0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在 市内用手机，并且每月手机费预算为120元，在不 考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的＿＿ “神州行”卡 ＿＿更合算.
对数函数，指数函数和幂函数在 在[10，1000]上总是 (0,+∞)上都是 增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体 小于0. 情况是怎么样的呢？
y = log7 x +1- 0.25x
思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增 长的快慢情况如何？
y
y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4
y 1.002x
y log7 x 1
o
200 400 600 800 1000 1200
x
问题:当 x 10,1000时,奖金是否不超过利润的 25%呢?
我们来看函数 y = log7 x +1- 0.25x 的图象:
y o
10
x
综上所述:模型 y = log7 x +1 确实符合公司要求.