几类不同增长的函数模型教案

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【原创】高中数学人教A版必修一第三章3.2.1 几类不同增长的函数模型教学设计

“几种不同增长的函数模型”教学设计一、教材分析（一）、教学内容本节课的内容是高中数学必修1第三章《函数的应用》的第二节“几种不同增长的函数模型”第一课时，根据课程设置要求，“几种不同增长的函数模型”需用2个课时，因此我把教材中的例题1和例题2作为第一课时。

（二）教材的地位和作用本节课要求学生通过实例分析，体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义及其在实际生活中的应用。

它既是第二章基本初等函数知识的延续，又为函数模型的应用打下了基础，起着承前起后的作用。

（三）、教学目标和要求1、知识目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数增长的含义。

2、能力目标：通过对几种不同增长的函数模型的分析，体会它们间的差异，培养学生利用图表分析问题的能力和数据处理能力；了解函数模型的广泛应用；培养学习数学的兴趣。

3、情感目标：通过对几种不同增长的函数模型的探究，体验指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。

（四）、教学重难点：重点: 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长；应用函数模型解决简单问题。

难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的认识还很少所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难；如何选择适当的函数模型分析解决实际问题是另一个困难。

二、教学方法：问题探究和启发式相结合的教学方法．三、教学工具：电脑多媒体四、教学过程1、复习、引入：在《基本初等函数》中我们学习了哪几种函数？ 2、创设问题情境一：（展示细胞生长故事的课件）12222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是。

第一次第二次第三次第四次引导学生观察，思考，回答问题。

3、创设问题情境二：（展示问题情境课件）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

几类不同增长的函数模型(教案)

几类不同增长的函数模型（第一课时）一、三维目标（一）知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(二)过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用．(三)情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识.二、教学重点将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．三、教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．四、教具准备多媒体课件、与教材内容相关的资料五、教学方法启发式与探究式相结合七、教学过程（一）创设情境：（视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于08年元旦开张，生意蒸蒸日上。

第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万. 试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？设计意图：通过卡通视屏引出话题，增加学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围. （二）组织探究：问题1：你觉得第三个月的营业额是多少？设计意图：学会将实际问题转化为数学模型.分析其中的数量关系，得出所要寻找的是过点()()5.1111，、，且在*∈N x 上单调递增的函数模型问题2：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在*∈N x 上单调递增？设计意图：比较自然地引导学生给出一次函数，指数函数，对数函数，幂函数.问题3：上述函数模型是否满足过点()()5.1111，、，？设计意图：引导学生思考，通过讨论。

老师对所给出的函数进行结构上的优化，从而建立符合题意的函数模型.问题4：结合excel 表格，你能分析出个模型增长的差异吗？月份 y=a x+by=ma x +by=ax α+b y=mlog a x+b 1 1 1 1.000 1.000 2 1.5 1.5 1.500 1.500 3 2 2.5 2.857 1.792 4 2.5 4.5 5.500 2.000 5 3 8.5 9.857 2.161 6 3.5 16.5 16.357 2.292 7432.525.4292.4048 4.5 64.5 37.500 2.5009 5 128.5 53.000 2.58510 5.5 256.5 72.357 2.66111 6 512.5 96.000 2.73012 6.5 1024.5 124.357 2.79213 7 2048.5 157.857 2.850设计意图：通过现场操作电子表格和绘制散点图，使学生初步感受直线上升，指数爆炸及幂函数，对数函数增长的特点.体会信息技术在数学课堂中的作用.（三）探索研究（视屏片段二）：若第10个月的营业额不超过500万，且在08年内，一月份到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过50万，那么所列的模型中哪个符合要求?设计意图：借助先前的表格，引导学生分析三种函数的不同增长情况对模型选择的影响，使学生明确问题的实质就是比较所列模型的增长情况.（四）巩固反思；通过一个课堂小游戏：让学生想象把30张纸叠在一起和把一张足够大的纸折叠30次，这两者的高度各是多少？设计意图：通过这个震撼的对比，让学生更进一步的理解直线上升和指数爆炸在增长上的差异。

3.2.1 几类不同增长的函数模型优秀教案

增长）
入，引导
问题 7：这三个函数图象有什么共同点?（都是一群离散的点.）
发现。通
因为这里的自变量为天数，即 x∈N*.
过提问，
函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线来连接这把学生逐
些离散的点.
步引入问
从每天所得回报看，在第 1～4 天，方案一最多；在第 5～8 天，方案题情景
二最多；第 9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 中，最终
景类不同增长的函数模型）
世界”息
息相关
时，学习
通常会更
主动
【例 1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，创设问题
互这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报 40 元；
动
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
情境，以问题引入能激起学
交
方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番.
较发现它们的增长趋势. （ 3）情感态度与价值观：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 【教学重点】：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. 【教学难点】：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 【课前准备】：多媒体课件、投影仪、计数器.
增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些
实际问题.

高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案

高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案【课型】新授课【教学目标】结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.【教学重点、难点】1. 教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.【学法与教学用具】1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.【教学过程】（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2. 教学用具：多媒体【教学过程】（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。

几类不同增长的函数模型教学设计【DOC范文整理】

几类不同增长的函数模型教学设计教学设计2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的.通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异..恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题..让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣.重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点：应用函数模型解决简单问题.课时安排课时教学过程第1课时林大华导入新思路1.一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c , 请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n= 20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f = 0.01 ?2n, n块砖的厚度：g=10n , f 〜105, g= 2.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异.推进新新知探究提出问题如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y 元，把y 表示为x的函数.正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.分别用表格、图象表示上述函数.指出它们属于哪种函数模型.讨论它们的单调性.比较它们的增长差异.另外还有哪种函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.总价等于单价与数量的积.面积等于边长的平方.由特殊到一般，先求出经过1年、2年…列表画出函数图象.引导学生回忆学过的函数模型.结合函数表格与图象讨论它们的单调性.让学生自己比较并体会.其他与对数函数有关的函数模型.讨论结果：y = x.y = x2.y = x.如下表X123456y=X123456y=X2149162536y = x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1,图2，图3.图1图2图3它们分别属于：y = x+ b, y = ax2 + bx + c, y= ax + b.从表格和图象得出它们都为增函数.在不同区间增长速度不同，随着x的增大y = x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y= logax + b，我们把它叫做对数型函数.应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三：天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y =40进行描述；方案二可以用函数y = 10x进行描述；方案三可以用函数y = 0.4 x 2x- 1进行描述.三个模型中，个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元0100.400XX0.80.40030101.60.840040103.21.640050106.43.2400601012.86.4400701025.612.8400801051.225.64009010102.451.2040010010204.8102.4040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象.图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1〜3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5〜8天，方案二最多；第9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8〜10天，应选择方案二；投资11 天以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样的结论.答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数的增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元;“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么写出y1、y2与x之间的函数关系式；在同一直角坐标系中画出两函数的图象；求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；可利用方程组求解，也可以根据图象回答；求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：y1 = 50 + 0.4x , y2 = 0.6x .图象如图5所示.图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当yi = 200 时有0.4x + 50= 200 ,••• x1 = 375;当y2 = 200 时有0.6x = 200, x2 = 10003.显然375 > 10003,•••选用“全球通”更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随着利润x的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x , y = Iog7x + 1, y= 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y = 0.25x , y = Iog7x+ 1 , y = 1.002x 的图象.图6观察函数的图象，在区间［10,1000］上，模型y = 0.25x , y = 1.002x的图象都有一部分在直线y = 5的上方，只有模型y = Iog7x + 1的图象始终在y = 5的下方，这说明只有按模型y = Iog7x + 1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y = 0.25x，它在区间［10,1000］上递增，而且当x = 20时，y = 5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y = 1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间内有一个点x0满足1.002x0 = 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5,所以该模型也不符合要求；对于模型y = Iog7x + 1,它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y = Iog71000 + 1〜4.55 V5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y = Iog7x + 1奖励时，奖金是否不超过利润的25% 即当x € [10,1000]时，是否有yx = Iog7x + 1x< 0.25成立.图7令f = Iog7x + 1-0.25x , x € [10,1000].利用计算器或计算机作出函数f的图象，由函数图象可知它是递减的，因此f V f 〜一0.3167 V 0,即卩Iog7x + 1V 0.25x.所以当x € [10,1000]时，Iog7x + 1x V 0.25.说明按模型y = Iog7x + 1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y = Iog7x + 1确实能符合公司的要求. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%销售数量就减少X%.目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b 个.当=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时的取值范围.解：依题意，价格上涨x%后,销售总金额为y = a?b= ab10000[ - x2 + 100x + 10000].取=12, y = ab10000- 12x2 + 50x + 10000,所以x = 50,即商品价格上涨50% y最大为98ab.因为y = ab10000[ - x2 + 100x + 10000],此二次函数的开口向下，对称轴为x = 50,在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x > 0}的一个子集内增大时，y也增大.所以50>0,解得0vv 1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过x块玻璃以后强度为y.写出y关于x的函数关系式；通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.解：光线经过1块玻璃后强度为=0.9 ;光线经过2块玻璃后强度为？0.9 = 0.92 ;光线经过3块玻璃后强度为？0.92 = 0.93 ;光线经过x块玻璃后强度为0.9x.••• y = 0.9x .由题意：0.9x v 3. •- 0.9x v 13.两边取以10为底的对数，xlg0.9 v lg13.••• Ig0.9 v 0,「. x> lg13lg0.9.•/ Ig13lg0.9 = lg31 - 2lg3 〜10.4 , • xin = 11.•••通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象.假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2;②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302 ;③野生水葫芦从42蔓延到122只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22、32、62所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1 +12 = t3 ;⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.哪些说法是正确的？图8解：①说法正确.•••关系为指数函数，「•可设y = ax .二由图知2= a1.••• a= 2,即底数为2.②••• 25= 32 > 30 ,•••说法正确.③•••指数函数增长速度越来越快，•••说法不正确.④t1 = 1, t2 = Iog23 , t3 = Iog26 ,「.说法正确.⑤•••指数函数增长速度越来越快，.••说法不正确.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案：建立函数模型；利用函数图象性质分析问题、解决问题.作业课本习题3.2A组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材.第2课时张建国导入新思路1.国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了 .假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2.我们知道，对数函数y = logax ,指数函数y = ax与幕函数y = xn在区间上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新新知探究提出问题在区间上判断y = Iog2x , y = 2x , y= x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式Iog2x v 2x v x2和Iog2xv x2 v 2x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间上函数y = Iog2x , y = 2x , y= x2均为增函数.见下表与图9.X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4 …y = 2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556 …y = x20.040.3611.963.244.846.76911.56 …y = Iog2x — 2.322 —0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766 …图9从图象看出y = Iog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y = 2x的图象与y =x2的图象有交点.不等式Iog2x v 2x v x2和Iog2x v x2v 2x成立的自变量x的取值范围分别是和U.我们在更大的范围内列表作函数图象，X012345678…y=2x1248163264128256 …y = XXX91625364964…图10容易看出：y = 2x的图象与y = x2的图象有两个交点和，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x vx2，有时x2 v 2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y = 2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示.X01020304050607080 …y = 2x110241.05E + 061.07E + 091.10E + 121.13E + 151.15E + 181.18E + 211.21E + 24 …y = XXX040090016002500360049006400 …图11一般地，对于指数函数y = ax和幕函数y = xn，通过探索可以发现，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax >xn.同样地，对于对数函数y = logax和幕函数y = xn ,在区间上，随着x 的增大，logax 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样.尽管在x 的一定变化范围内，logax 可能会大于xn ，但由于logax 的增长慢于xn 的增长，因此总存在一个 x0，当x >x0时，就会有logax v xn.综上所述，尽管对数函数y = logax ,指数函数y = ax 与幕函数y = xn 在区间上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着速度越来越快，会超过并远远大于=logax 的增长速度则会越来越慢.当x > x0时，就会有logax v xn v ax.虽然幕函数y = xn 增长快于对数函数 y = logax 增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份 0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月里，有 20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导:x 的增大，y = ax 的增长 y = xn 的增长速度，而y 因此，总会存在一个x0,设摊主每天从报社买进x份，显然当x € [250,400]时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价-付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20 X 0.30x ;②可卖出250份的10天里，收入为10X 0.30 X 250:③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10 X 0.05 X.付给报社的总价为30 X 0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x €[250,400]时，每月所获利润才能最大. 于是每月所获利润y 为y = 20 X 0.30x + 10 X 0.30 X 250 + 10 X 0.05 X- 30 X 0.20x = 0.5x + 625, x € [250,400].因函数y在[250,400]上为增函数，故当x = 400时，y 有最大值825元.图12例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t 之间近似满足如图12所示的曲线.写出服药后y与t之间的函数关系式；据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中次服药时间为上午7：00,问一天中怎样安排服药的时间效果最佳？解：依题意，得y = 6t , 0< t < 1 , - 23t + 203, 1<t <10.设第二次服药时在次服药后t1 小时，则一23t1 + 203 = 4, t1 = 4.因而第二次服药应在11: 00;设第三次服药在次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有一23t2 + 203 - 23 + 203 = 4,解得t2 = 9,故第三次服药应在16: 00;设第四次服药在次后t3小时，则此时次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，- 23 + 203 -23 + 203= 4,解得t3 = 13.5，故第四次服药应在20: 30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f表示学生接受概念的能力［f的值愈大，表示接受的能力愈强］,x表示提出和讲授概念的时间，可有以下的公式:开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?解：当0v x< 10 时，f =- 0.1x2 + 2.6x + 43=- 0.12+ 59.9 ,知当x = 10 时，[f]ax = f = 59;当10v x< 16 时，f = 59;当16v x< 30 时，f = - 3x + 107,知f v—3X 16+ 107= 59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.••• f = - 0.1 X 2 + 59.9 = 53.5 , f = - 3X 20 + 107 = 47v 53.5 ,•••开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13的抛物线段表示.写出图13表示的市场售价与时间的函数关系P= f ;写出图13表示的种植成本与时间的函数关系式Q= g;认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？图13活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正.解：由图13可得市场售价与时间的函数关系为 f = 300-1，0<t <200 , 2t - 300, 200<t <300.由图13可得种植成本与时间的函数关系为g= 1XX+ 100,0 < t < 300.设t时刻的纯收益为h,则由题意得h= f - g.即h=- 1200t2 + 12t + 1752, 0< t < 200, - 1200t2 + 72t - 10252, 200<t < 300.当0W t < 200时，配方整理，得h = - 1XX+ 100,所以当t = 50时，h取得区间［0,200］上的最大值100;当200<t < 300 时，配方整理，得h=- 1XX+ 100,所以当t = 300时，h取得区间［200,300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时t = 50,即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14、图14、图14所示.其中图14的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图14的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图14分别写出国外市场的日销售量f、国内市场的日销售量g与批产品A上市时间t的关系式；批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元？分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式..在t € [0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段..回忆函数最值的求法.解：f = 2t , 0< t < 30,- 6t + 240 , 30<t < 40,g=- 320t2 + 6t .每件A产品销售利润h= 3t , 0< t < 20, 60, 20<t < 40.该公司的日销售利润当O W t < 20时，F = 3t，先判断其单调性.设O W t1 v t2 W 20,贝y F—F= 3t1 - 3t2 v 0.••• F在区间［0,20］上为增函数.Fax = F = 6000 v 6300.当20v t W 30 时，令60>6300,则703 v t v 30;当30v t W 40 时，F= 60v 60 = 6300,故在第24,25,26,27,28,29 天日销售利润超过6300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点..在t € ［0,40］上，有几个分界点，t = 20, t = 30两点把区间分为三段..二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幕函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本习题3.2A组3,4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.备课资料【备选例题】【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P=- 11602+ 100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30 万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q=- 1591602 + 1192 万元.问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？解：在实施规划前，由题设P=- 11602 + 100,知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.贝y 10年的总利润为1 = loo x 10= iooo.实施规划后的前5年中，由题设P=—11602 + 100,知每年投入30万元时，有最大利润Pax= 7958.前5年的利润和为7958 x 5 = 39758 .设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的万元用于外地区的销售投资，贝U其总利润为=—11602 + 100x 5+—159160x2 + 1192x x 5=—52 + 4950.当x = 30 时，ax = 4950.从而10年的总利润为39758 + 4950.••• 39758 + 4950 > 1000,•••该规划方案有极大实施价值.。

人教版高中数学教案 3.2.2几类不同增长的函数模型

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习引入深题①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答.以旧引新导入课题实例分析例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？师生合作探究解答过程例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y= 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y= 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y= 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1 402 40 03 40 04 40 05 40 06 40 07 40 0将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过58 40 09 40 010 40 0………30 40 0x/天方案二y/元增加量/元1 102 20 103 30 104 40 105 50 106 60 107 70 108 80 109 90 1010 100 10………30 300 10x/天方案三y/元增加量/元1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1–0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表x0 5 10 15y1 5 130 505 1130y2 5 94.478 1785.2 33733y3 5 30 55 80y4 5 2.3107 1.4295 1.1407x20 25 30y1 2005 3130 45051．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，依题意有a5=10×204=160.答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.动手尝试提升解题能力y2 6.37×1051.2×1072.28×108y3105 130 155y4 1.0461 1.0151 1.005关于x呈指数型函数变化的变量是.2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？归纳总结2．中学数学建模的主要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的师生合作反思⇒归纳⇒总结⇒完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.[解析]设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.[评析]实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a21x + b ，y =ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[解析]本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2 + bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.[评析]本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。

几类不同增长的函数模型精品公开课教案

3.2 函数模型及其应用【课题】：3.2.1 几类不同增长的函数模型【设计与执教者】：广州市第三中学黄盛************************【学情分析】：【教学目标】：（1）知识与技能：1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题.（2）过程与方法：1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型.2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势.（3）情感态度与价值观：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情.【教学重点】：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义.【教学难点】：怎样选择数学模型分析解决实际问题.【课前准备】：多媒体课件、投影仪、计数器.【教学过程设计】：实例运用，巩固提高【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？师：本例涉及了哪几类函数模型（一次函数、对数函数、指数函数的模型）?其实质是什么？这里实际上问的是哪个模型能符合公司的要求，即依据这个模型进行奖励时，应满足所给定的条件，这些条件有哪些？生：（1）奖金总数不超过5万元；（2）奖金不超过利润的25%.师：这样我们就必须知道这个公司的销售利润应是多少，根据实际问题的实际意义，要使得奖励方案生效，销售部门利润必须达到10万元.同时，该公司是为了实现1000万元利润的目标，而准备制定的一个激励的奖励方案.因此，部门销售利润一般不会超过公司总的利润.因此我们只需在区间［10，1000］上考虑即可.这里现有三个奖励模型可供选择，因此只需在区间［10，1000］内检验这三个函数模型是否满足公司提出的两个条件.我们先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.让学生借助计数器列出表格，再作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（如下图）.观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在直线y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，但是这里只是直观判断，并且也只满足条件一，奖金总数不超过5万元.还要考虑奖金不超过利润的25%.下面通过计算确认上述判断.首先计算在区间［10，1000］内，哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x，它在区间［10，1000］上是递增的，当x∈（20，1000］时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x，它在区间［10，1000］上也是递增的，结合图象，并利用计数器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.0020x=5，当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求.对于模型y=log7x+1，它在区间［10，1000］上也是递增的，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.（从这里可以看出对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化认识指数函数、对数函数、一次函数三个函数模型的增长差异。

几种不同增长的函数模型教案(2课时)

几种不同增长的函数模型教案（2课时）一、教学目标1.了解几种不同的增长函数模型，包括线性模型、指数模型和对数模型；2.熟悉不同增长函数模型的特点和应用领域；3.掌握利用增长函数模型进行数据预测和分析的方法。

二、教学内容第一课时：线性模型和指数模型1.线性模型的定义和特点–线性函数的表达形式和一次函数的特点–线性关系的图像表示和示例–线性模型的应用案例2.指数模型的定义和特点–指数函数的表达形式和指数增长的特点–指数关系的图像表示和示例–指数模型的应用案例第二课时：对数模型和应用实践1.对数模型的定义和特点–对数函数的表达形式和对数增长的特点–对数关系的图像表示和示例–对数模型的应用案例2.数据预测和分析实践–利用线性模型进行数据预测和趋势分析–利用指数模型进行数据预测和增长趋势分析–利用对数模型进行数据分析和曲线拟合三、教学方法1.导入法：通过提问和展示实例引入不同增长函数模型的概念和特点；2.归纳法：分析线性模型、指数模型和对数模型的定义和特点，进行比较和归纳总结；3.实践法：结合数据预测和分析的实际问题，进行实践操作和演练；4.讨论法：组织学生进行小组讨论，探究不同增长函数模型在实际问题中的应用。

四、教学资源1.教学投影仪和电脑；2.课堂板书和笔。

五、教学评估1.课堂讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其对不同增长函数模型的理解和应用能力；2.练习作业：布置相关练习作业，测试学生对增长函数模型的掌握程度；3.课后反馈：与学生进行面对面的交流，了解他们的学习体会和疑惑，及时进行反馈和指导。

六、教学计划第一课时•导入：提出问题，引起学生思考和讨论（10分钟）•线性模型的讲解和示例分析（30分钟）•指数模型的讲解和示例分析（30分钟）•小结和课堂讨论（10分钟）第二课时•教师对对数模型进行讲解和示例分析（30分钟）•数据预测和分析实践活动（40分钟）•小结和课堂讨论（10分钟）七、教学延伸1.学生可自行研究其他增长函数模型，拓宽对函数模型的理解和应用；2.引导学生应用不同增长函数模型进行实际问题的数据预测和分析；3.组织学生参加数学建模和竞赛活动，提升应用数学能力。

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