数学必修4第二章§2.3.3随堂即时巩固
数学必修4第二章知识点
数学必修4第二章知识点第二章排列组合与二项式定理一、排列组合1.排列：从若干个不同元素中选取若干元素按照一定的顺序排列起来，形成一种有序的选择方式。
常用的排列计数方法有阶乘法和递推法。
2. 组合：从若干个不同元素中选取若干元素，不考虑其顺序，形成一种无序的选择方式。
常用的组合计数方法有阶乘法、递推法和Pascal三角形法。
3.全排列和循环排列：全排列是指从n个不同元素中每次选取一个元素排列，循环排列是指从n个不同元素中每次选取m个元素排列，然后再将这m个元素循环移动m-1次，形成的排列方式。
4.二项式系数：二项式系数是组合数的具体数值，表示每一项的系数，迅速计算二项式系数的方法有杨辉三角法和二项式定理。
二、二项式定理1. 二项式定理的表述：$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b +C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^na^0b^n$，其中，C是组合数。
2.二项式定理的应用：（1）在多项式展开时，可以利用二项式定理快速展开。
（2）在数列中，存在二项式系数、卢卡斯定理等特殊问题。
（3）在概率问题中，二项分布等和二项式定理相关的概率分布出现。
3.二项式定理的证明：有代数证明、排列组合证明和数学归纳证明等方法。
三、习题解析1.排列组合的题型：包括数字解释题、列式计算题、选择题。
（1）数字解释题：根据题目提供的条件进行计算和解释。
（2）列式计算题：根据排列组合的原理和性质，列式计算。
（3）选择题：选择题主要考察对排列组合思想的运用，需要理解排列组合的基本概念和性质。
2.二项式定理的应用题：包括数字计算题、证明题、选择题。
（1）数字计算题：利用二项式定理快速计算表达式的值。
（2）证明题：根据题目给出的等式，通过代数证明、组合证明或数学归纳法给出证明。
（3）选择题：选择题主要考察二项式定理的应用和理解。
综上所述，数学必修4第二章主要包括排列组合和二项式定理两部分内容。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修4_第二章2.4.2 应用案巩固提升
[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围． 解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)， 所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)， 所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。
数学必修4课后习题及答案
数学必修4课后习题及答案数学必修4课后习题及答案数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。
而在学习数学的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
通过课后习题的练习，我们可以巩固所学的知识，培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
本文将介绍数学必修4课后习题及答案，帮助大家更好地掌握数学知识。
第一章：函数与导数1. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$，求$f(x)$的导数。
答案：$f'(x)=6x^2-6x-12$2. 函数$y=x^3-3x^2+2x+5$的图像上是否存在切线？若存在，求出切线方程。
答案：存在切线，切线方程为$y=-3x+8$第二章：三角函数1. 求解方程$\sin^2 x - \cos^2 x = 1$。
答案：方程无解。
2. 求解方程$\sin 2x = \cos x$。
答案：方程的解为$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$，$x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$，其中$k$为整数。
第三章：数列与数学归纳法1. 求等差数列$\{a_n\}$的通项公式，已知$a_1=2$，$d=3$。
答案：$a_n=2+3(n-1)$2. 求等比数列$\{b_n\}$的通项公式，已知$b_1=2$，$q=2$。
答案：$b_n=2\cdot2^{n-1}$第四章：概率与统计1. 一枚硬币抛掷3次，求出现正面的次数为2次的概率。
答案：概率为$\frac{3}{8}$2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品，求恰好有2个次品的概率。
答案：概率为$0.324$第五章：三角恒等变换1. 求证$\sin^2x+\cos^2x=1$。
答案：根据三角恒等变换，$\sin^2x+\cos^2x=1$成立。
2. 求证$\tan^2x+1=\sec^2x$。
答案：根据三角恒等变换，$\tan^2x+1=\sec^2x$成立。
通过以上习题的练习，我们可以更好地掌握数学必修4的知识点。
必修四数学第二章知识点
必修四数学第二章知识点
第二章的知识点主要包括：
1. 平面直角坐标系：包括坐标轴、坐标、直角坐标系与平面直角坐标系的应用等。
2. 定比分点：包括内分点和外分点的定义和性质，以及计算分点坐标的方法。
3. 点和直线的位置关系：包括点到直线的距离和点在直线上的投影等。
4. 直线和直线的位置关系：包括平行和垂直的定义和性质，以及判断直线是否平行或
垂直的方法。
5. 弧长与弧度制：包括弧长的计算公式、弧度的定义和换算等。
6. 圆心角和扇形：包括圆心角和圆周角的定义和性质，以及计算弧长、面积等的方法。
7. 切线和切点：包括切线和圆的位置关系及判断方法，以及切线与切点的性质等。
8. 正弦定理和余弦定理：包括三角形中的正弦定理和余弦定理的公式和应用。
9. 笛卡尔坐标系：包括三维空间中的坐标、距离和中点等的计算方法，以及和平面直
角坐标系的联系等。
10. 直线和平面的位置关系：包括判断直线和平面的位置关系的方法，以及交点和夹角的计算等。
11. 点、直线和平面的投影：包括点在直线上的投影、点在平面上的投影、直线在平面上的投影等的计算方法。
12. 空间图形的投影：包括三维空间中点、线、面图形的平面投影和正交投影等。
数学必修四第二章知识点
数学必修四第二章知识点第二章：集合1. 集合的概念：- 集合是由一些确定的元素组成的整体。
- 用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
- 元素a属于集合A，记作a∈A；元素b不属于集合A，记作b∉A。
2. 集合的表示方法：- 静态表示法：列举法、描述法。
- 动态表示法：条件法、构造法。
3. 集合间的关系：- 等价关系：自反性、对称性、传递性。
- 子集关系：A是B的子集，记作A⊆B，表示A中的每个元素都是B中的元素。
- 相等关系：两个集合具有相同的元素，即A⊆B且B⊆A，则A=B。
4. 集合的运算：- 并集：A∪B，表示A和B的所有元素的集合。
- 交集：A∩B，表示A和B共有的元素的集合。
- 差集：A-B，表示A中除去B中的元素后剩下的元素的集合。
- 互斥：A和B没有共同的元素，即A∩B=∅。
- 补集：对于给定的全集U，集合A对于全集U的补集表示为A'或A^c，表示不属于A的元素的集合。
5. 集合的运算律：- 广义交换律：A∪B = B∪A， A∩B = B∩A。
- 广义结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
- 广义分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)， (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)。
6. 常用集合的表示与运算：- 自然数集N：N = {0, 1, 2, 3, ...}。
- 整数集Z：Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
- 有理数集Q：Q = {x | x=p/q, p∈Z, q∈Z*}。
- 实数集R：R = {x | x可用小数表示}。
- 空集：不含任何元素的集合，记作∅。
- 单元素集：只含有一个元素的集合，如{1}。
7. 数集的分类：- 有限集：元素个数有限的集合。
- 无限集：元素个数无限的集合。
- 空集：不含任何元素的集合。
- 空集不是任何集合的子集，但是是任何集合的子集。
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
数学苏教版必修4学案：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解． 如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一 基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二 待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线． 所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一 学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二 应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ， 则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ， 又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ， 所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1， 即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。
必修四数学第二章知识点
必修四数学第二章知识点必修四数学第二章知识点11.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
具有方向和长度的线段叫做有向线段。
3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a 同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。
5.长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2.减法如果a、b是互为相反的.向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0加减变换律：a+(-b)=a-b3.数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)高中学好数学的方法是什么数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。