3.2.1几类不同增长的函数模型
【红对勾】高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单 位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现 有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪 个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋 势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其 中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变； 增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象
3.2.1几类不同增长的函数模型(一)课件
(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
log2 x x 2 ;
2 x
log 2 x 2 x .
x 2
3.2.1几类不同增长的函数模型
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况 y 观察图象,试求出可使下 16 列不等式成立的x的取值 2 x x 2 范围.x 2 ; 2 x . (1)0<x<2或x>4时,
当 x >x0时,就会有
log a x a x .
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1), y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上 衰减情况吗? 结 论 : 在 区 间 (0,+∞) 上 , 尽 管 对 数 函 数 y=logax (0<a<1), y = ax (0<a<1)与y=xn (n<0) 都是减函数, 但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次” 上. 随着x的增大, y=log x (0<a<1)的衰减速度 a 越来越快,会超过并远远大于y = ax (0<a<1)的衰 减速度,而y=xn (n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
《几类不同增长的函数模型》教学设计----甘林蛟
《几类不同增长的函数模型》教学设计湖南师大附中梅溪湖中学甘林蛟教授课题§3.2.1 几类不同增长的函数模型教学目标1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异.2.过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的的增长状况进行比较，初步体会它们增长的差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数等），比较一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数现现实世界的密切联系及其刻画现实问题中的作用.教授课型新授课教学课时第1课时教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.教学难点怎样选择合适的数学模型分析解决实际问题教具准备多媒体PowerPoint 课件、几何画板软件教学方法自主学习，分组合作探究学情分析全班共47人，分成了8个学习小组，学生自主学习能力较强，成绩优异.教材分析人教版教材高中《数学》必修1，第95—98页，本节课的主要目的是让学生通过几个实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异.让学生体会如何建立或者选择合适的数学模型来解决实际问题.教学情境设计复习引入：前面一段时间我们一起学习函数及其表示，知道函数有三种表示方法，分别是解析法、图象法、列表法.我们也研究了函数的一个性质——单调性，这里有三类函数，一次函数y kx b=+（0k>），指数函数xy a=（1a>），对数函数logay x=（1a>），它们都是单调增函数，但它们的增长速度有明显差异，今天就和大家一起学习《几类不同增长的函数模型》.现实生活中，我们经常利用它们增长的差异性来进行决策，请看下面的实例：新课讲授：例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
必修1课件3.2.1-1几类不同增长的函数模型(一)
1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指 数函数、对数函数）差异的认识。
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数
没有增长
增长量为零
直线增长
增长量相同
指数爆炸
增长量迅速增加
对数增长
增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具 体 问 题 列 不 解 画出图像（形） 同 析 列出表格（数） 增 式 长 确 定 模 型
80
120 160 200 240 280 320
20
30 40 50 60 70 80
30
60 100 150 210 280 360
0.8
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2
1.2
2.8 6 12.4 25.2 50.8 102
9
10 11 12
40
40 40 40
360
400 440 480
90
100 110 120
450
550 660 780
102.4
204.8 409.6 819.2
204.4
409.2 818.8 1638
列表法比较三种方案的累计回报
1~7天， 投资__________ 应选择第一种投资方案； 8~10天， 投资___________应选择第二种投资方案； 投资____________________应选择第三种投资方案。 11天（含11天）以上， 累计回报表
200
400
600
800 1000
x
创新设计 为了实现1000万元利润的目标，在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增 加而增加,要求如下： 10万～ 50万，奖金不超过2万
3.2.1几类不同增长的函数模型
课堂讲义
预习导学
第三章 函数的应用
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
增函数 ，但__________ 增长速度 不同，且不在同 y＝xn(n＞0)都是_________
一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会________ 越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
第三章 函数的应用
规律方法
1. 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法
求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程， 进而求出待定参数． 2． 理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系” 的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
预习导学
课堂讲义
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
解
第三章 函数的应用
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，
(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
第三章 函数的应用
曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， 曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x， (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． 函数 g(x)＝0.3x－1 呈直线增长， 函数 f(x)随着 x 的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长
差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函
数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛
应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
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2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5), f(2015),g(2015)的大小. 【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1, g(10)=0.3×10-1=2, g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故
【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是
观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数 是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的 图象如图所示:
x
y1
1
1
5
25
10
100
15
225
20
400
25
625
30
900
y2
y3 y4
2
2 2
32
10 4.32
1 024
20 5.32
32 768
30 5.91
1.1×106
40 6.32
3.4×107
50 6.64
1.1×109
60 6.91
关于x呈指数函数变化的变量是
.
2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=
问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?
【总结提升】 1.四类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
B.(1.02)11
【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,
故m=(1.02)11.
4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是
.
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判 断出y=3x的增长速度最快. 答案:y=3x
x 的图象如图所示,试分别指出
1 2
各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分
界点).
【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的
是哪一组?
提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快. 2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义 是什么? 提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度 ,判断各曲 线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.
【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速 度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内? 提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快. 又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 所以 1<x1<2,9<x2<10.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 所以 1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以 f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)>
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
【知识提炼】 三种函数模型的性质
y=ax(a>1) 在(0,+∞)上 的增减性 图象的变化 趋势 y=logax(a>1) y=xn(n>0)
增函数 _______
随x增大逐渐近似 y轴 平行 与____
增函数 _______
随x增大逐渐近 x轴 平行 似与____
现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最 接近的一个是 A.v=log2t C.v= t 1
2
(
) B.v= log 1 t
2
2
D.v=2t-2
【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v=
22 1 =1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5. lo【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加
值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量
y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速 度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知 变量y2随着x变化呈指数函数变化. 答案:y2
2对应的函数是h(x)=
x ,曲线C3对应的函数是
1 2
当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);
当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
【方法技巧】常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,
g(6)>f(6).
【延伸探究】
1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1)
呢?
【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可
知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断
5.如图所示曲线反映的是
函数模型的增长趋势.
【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数 模型或对数型函数模型的增长速度. 答案:幂函数或对数型
【知识探究】 知识点 几类函数模型的增长差异
观察图形,回答下列问题:
问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的 变化趋势?
f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故
g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以
g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).
类型三
函数模型的选择问题
【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品
增函数 _______
随n值而不同
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
越来越快 会远 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度_________,
增长速度 远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢 _________ ax>xn>logax ②存在一个x0,当x>x0时,有___________
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的 大小进行比较).
【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为 f(x)=lgx. (2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x); 当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).
2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是
(
)
A.y减少1个单位
C.y减少2个单位
B.y增加1个单位
D.y增加2个单位
【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.
3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份 利润的m倍,则m等于 A.(1.02)12 ( ) C.(0.98)12 D.(0.98)11
经计算可知最接近的一个是选项C.
类型二
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所
示.设两函数的图象交于点A(x1,y1), B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011), g(2011)的大小.
较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛 式增长”. (4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二 次函数模型和反比例函数模型.
【变式训练】有一组数据如下表: t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01
2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数
是f(x)=1.1x,曲线C g(x)=lnx+1. 由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x); 当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x); 当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x); 当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);