几类不同增长的函数模型(1)
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型提高
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xy a a =>(0)y x αα=>()0,+∞αa x x a x αx a x α0x 0x x >xa >x αlog a y x =x x log a x x αlog a x x α0x 0x x >log a x x α<()0,+∞(1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>x (1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>0x 0x x >log .xa x x a α<<(0)y kx b k =+>(0)y kx b k =+<2(0)y ax bx c a =++<．（3）指数函数模型（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较，，的大小．【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x ＜0.587774756时，；2(0)y ax bx c a =++>()x f x ab c =+1b >01b <<()log a f x m x n =+1a >01a <<(0)ky k x=≠0k >(),0-∞()0,+∞0k <(),0-∞()0,+∞12log x 12x 12x⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =12y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212log x x =12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当x=0.587774756时，；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，；当x=0.64118574时，；当x ＞0.64118574时，．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较、、的大小．【答案】【解析】分别画出的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足，其中，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以，解得a ＝1，b ＝8.所以，其中.令f (n )＝8A ，得，解得，即，所以n ＝9.11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13x⎛⎫⎪⎝⎭13x 13log (1)x x >13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x>13131(,,log 3xy y x y x ===9()nAf n a bt=+232t -=99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩9()18n A f n t =+⨯223t =-9818nA A t =+⨯164nt =62122364n --==答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50．又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则，即，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值．当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这10022(01)()(12)t S t t ≤≤=⎪+<≤⎪⎩23000(100)(11003000100xx -⨯+≥⨯23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线，将B 、C 两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．故．将C 、D 两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】12()h x ax b =+()(0)f x kx b k =+≠(2)2 1.2f k b =+=(3)3 1.3f k b =+=()0.11f x x =+2()(0)g x ax bx c a =++≠12()h x ax b =+(2) 1.2h b =+=12()0.480.52h x x =+(3)0.480.52 1.35h =+≈【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x 年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x ∈（5，6]时f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12③当x ∈（6，7]时f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），a (110.4%)a +2(110.4%)a +(110.4%)xa +1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330【解析】（1）设每年还款x 元，则，即，解得，；（2）设每年还款y 元，则，即，则．【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 510 1.510450.05x x ⨯=+⋅105 1.512245()12.25x ⨯=≈元5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元(1r)xy a =+(10080)(110%)(20) 1.1nnn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润．（2）令，即，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令，即，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S 成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：总的淋雨量为：，即（Ⅱ）①当即时120n n y y ++-≥(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥120n n y y ++-≥12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥v c -11012325(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩10v =min 3202y c =-v c =min 50y c=131||1022v c ⨯-+10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦5(103)c y v -∴=5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩1030,c ->1003c <≤在上单调递减时，最小，．②当即时在上单调递减，在上单调递增．当时，最小，．答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．y (]0,10v ∈10v ∴=y min 3202y c =-1030,c -<1053c <≤y (0,)v c ∈(,10)v c ∈v c =y min 50y c=1003c <≤10v =min 3202y c =-1053c <≤v c =min 50y c=。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
高考数学复习知识点讲义课件30---不同函数增长的差异
[方法技巧] 几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数 模型是一次函数模型．
解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确． 答案：③④⑤
一、在典题训练中内化学科素养 高考在本节考查的重点是三类函数模型增长趋势的比较，应用函数模型解决
简单问题，体现的核心素养是数据分析、数学运算与数学建模．
近年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨，因此，国家为保民 生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在近 四个月的市场平均价格f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
年份
2017 2018 2019
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2020 年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2020年 实际销售123万斤，超额完成预定目标．
(1)将2017、2018、2019、2020年分别定义为第1年、第2年、 第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．请你通 过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量 y与第x年的关系；
[典例] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
2020-2020学年高中数学第一册学案第4章 4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析第3课时不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长．问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?提示：都是增函数,而y＝a x（a〉1)增长速度越来越快；y＝log a x(a〉1）在（0，＋∞）上增长速度非常缓慢．三种函数模型的性质y＝a x（a〉1）y＝log a x(a>1)y＝kx（k〉0)在（0,＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝log a x （a〉1）的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x〉x0时，有a x>kx〉log a x1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()（2）当a〉1，n>0时,在区间(0,＋∞)上，对任意的x,总有log a x 〈x n〈a x成立．(）(3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．（)[答案］（1)×(2)×(3)√2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（）A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2590 1 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y2［由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．] 4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③［结合图象可知②③正确，故填②③。
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
课件 不同函数增长的差异
答案：B
【典例精析】
题型一 几类函数模型增长的差异
[例 1] 四个自变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901ห้องสมุดไป่ตู้
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
(1)请指出示意图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．
[解] (1)C1 对应的函数为 g(x)＝x3，C2 对应的函数为 f(x)＝2x. (2)因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以 1<x1<2，9<x2<10，所以 x1<6<x2，2 021>x2， 从图象上可以看出当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)，所以 f(6)<g(6)； 当 x>x2 时，f(x)>g(x)，所以 f(2 021)>g(2 021)； 又因为 g(2 021)>g(6)，所以 f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6)．
增长结果
存在一个 x0，当 x>x0 时，有_a_x_>_k_x_>_l_o_g_ax_
[点一点] 三种函数模型的再理解 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时， 常常选用对数函数模型．
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几类不同增长的函数模型（1）
一、教学目标
（一）知识目标：
1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题.
（二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。
（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情.
二、教学重难点
（一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义.
（二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题.
三、活动设计
1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型.
2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势.
四、教学过程
一、创设情景，引入新课
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子?
指数函数、对数函数、幂函数等等.
当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课
例题剖析
【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们先对题目仔细分析，这里问的是如何选择投资方案，我们应从哪个方面考虑？应该选择回报最多的投资方案.那么如何来比较这三种方案所取得的效益最大？
先建立适当的函数模型，然后再比较大小.
我们知道，在这里每种方案的回报效益与投资的天数有着密切的关系，因此可以以天数作为自变量，建立三种投资方案所对应的回报效益的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供理论依据，那么如何建立函数模型呢？设第x天所得回报为x元，
则：方案一可以用函数y=40（x∈N*）进行描述；
方案二可以用函数y=10x（x∈N*）进行描述；
方案三可以用函数y=0.4×2x－1（x∈N*）进行描述.
哪位同学说说这三个函数分别是哪种类型的函数，它们的增减性又是怎样的? 这三个函数模型中，第一个是常数函数模型，第二个是一次函数模型，第三个是指数函数模型，而且第二、三个函数都是递增函数的模型.
要对这三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，那么如何进行分析呢？
先用计数器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况，列出相应的表格.
通过表格你能分析出这三种方案所得回报的增长情况吗？为什么会产生这种情况呢？
一开始几天方案一的回报多，接下来方案二的回报多，到最后方案三的回报多.从表格中可以看出，方案一的函数是一个常数函数，每天的回报数是一个常量；方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加.
既然方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加，那么为什么先是方案二的回报数多，后来方案三的回报数多呢？因为两者增长的情况不同，不同在哪里？
方案二的增长量是固定不变的，方案三的增长量是每天都成倍增加的.
总结：实际上从表格中可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报数分别是方案三的100倍和25倍，但是它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.它体现了指数函数是“爆炸增长”的.
前面我们已经学习过函数的表示方法，有列表法、函数图象法、函数解析式法等，实际上，我们还可以借助计数器作出函数的图象，因为函数图象比较直观，能直接反映出函数的一些性质，我们可以通过这三个函数的图象从总体上把握不同函数模型的增长情况.
图3.2－1）
（图象如课本P
113
这三个函数图象有什么共同点?
都是一群离散的点.
因为这里的自变量为天数，即x∈N*.
函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线来连接这些离散的点. 从每天所得回报看，在第1～4天，方案一最多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
根据这里的分析，是否能作出这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选择方案二，投资8天以上选择方案三呢？（难点）
我们来分析影响方案选择的因素，除了考虑每天的收益，更要考虑一段时间内的总收益.
接下来让学生自主进行交流活动，来获得累计收益并给出本题的完整解答，然后在全班进行交流.
案二；投资11天（含11天）以上，则应该选择方案三.
从这个例子我们可以体会到不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.尤其是指数函数模型呈“指数爆炸”增长.
答案：y2
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例涉及了哪几类函数模型（一次函数、对数函数、指数函数的模型）?其实质是什么？
这里实际上问的是哪个模型能符合公司的要求，即依据这个模型进行奖励时，应满足所给定的条件，这些条件有哪些？
（1）奖金总数不超过5万元；
（2）奖金不超过利润的25%.
这样我们就必须知道这个公司的销售利润应是多少，根据实际问题的实际意义，要使得奖励方案生效，销售部门利润必须达到10万元.同时，该公司是为了实现1000万元利润的目标，而准备制定的一个激励的奖励方案.因此，部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
因此我们只需在区间［10，1000］上考虑即可.
这里现有三个奖励模型可供选择，因此只需在区间［10，1000］内检验这三个函数模型是否满足公司提出的两个条件.
我们先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
让学生借助计数器列出表格，再作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（如下图3.2-2）.
观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在直线y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，但是这里只是直观判断，并且也只满足条件一，奖金总数不超过5万元.还要考虑奖金不超过利润的25%.
下面通过计算确认上述判断.
首先计算在区间［10，1000］内，哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间［10，1000］上是递增的，当x∈（20，1000］时，y＞5，因此该模型不符合要求.
对于模型y =1.002x ，它在区间［10，1000］上也是递增的，结合图象，并利用计数器，可知在区间（805，806）内有一个点x 0满足1.002=5，当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求.
对于模型y =log 7x +1，它在区间［10，1000］上也是递增的，而且当x =1000时，y =log 71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
（从这里可以看出对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律） 再计算按模型y =log 7x +1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈［10，
1000］时，是否有x y =x
x 1
log 7+≤0.25成立.
令f （x ）=log 7x +1－0.25x ，x ∈［10，1000］，利用计数器作出函数f （x ）的
图象（如课本P 115图3.2－3），由图象可知它是递减的，因此f （x ）≤f （10）≈－0.3176＜0， 即log 7x +1＜0.25x . 所以当x ∈［10，1000］时，
x
x 1
log
7
+＜0.25，
由此说明，按模型y =log 7x +1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y =log 7x +1确实能符合公司要求.
总结：从以上两个实例分析可知指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长的函数的增长差异.一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数增长是一个比较平缓的增长，因此在实际问题中，可以通过递增的实际情况选择适当的函数模型.
练习2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染其他没感染的20台计算机.现有10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？ 答案：160台.
五、小结
本节课主要通过两个具体的例子说明不同函数模型有着不同的变化规律，让我们对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”这几类不同增长类型的函数有了一个感性的认识.
六、作业
课本第126页习题3.2A 组第1、2题，B 组第1题.。