几类不同增长的函数模型

你能用数学语言描述符合公司奖励方案的
条件吗? ①销售利润达到10万元时，按销售利润
进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司 总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等 式表示为_1_0_≤_x_≤_1_0_0_0___.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为
三种方案每天回报表
方案一
方案二
方案三
x/天
y/元
增加量/元 y/元 增加量根/元据表y格/元中所提增加量/元
1
40
2
40
3
40
0
0 0
10
20 30
供案的分1100数别据表,现你出001对...486的三回种报方001...486
4
40
0
40 资金10的增长差3.2异有什 3.2
5
40
0
50
10 么认识6.？4
方案三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
结论: ①投资1~6天,应选择方案一; ②投资7天,应选择方案一或二; ③投资8~10天,应选择方案二; ④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的 过程,建立函数模型的程序大概如下：
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数 模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的 结论,再通过具体计算确认结果.
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案？
y
8 y=0.25x
7
6
y=5
5
4 3
2
1
o 200 400 600 800 1000 1200
x
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案？
_0_≤_y_≤_5____. ③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过
利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为
_0_≤_y_≤_2_5_%_x___.
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合ห้องสมุดไป่ตู้司要求就是依据这个模型 进行奖励时,符合条件：
(1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
制作函数值表(借助计算器制表). 以函数y = 2x , y=log2x , y=x2为例.
观察表格,三个函数的增长速度是不同的. 总体来讲随着x的增大, y=log2x的增长速度 最慢; y = 2x和y=x2的增长速度有变化,一开始, y = 2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.
画函数图象(描点或借助计算机作图).
3. 幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一 般结论
答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax (a>1),指数函数y = ax (a >1)与幂函数y=xn (n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而 且不在同一个“档次”上.
随着x的增大, y = ax (a >1)的增长速度越 来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速 度,而y=logax (a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,
实际应用问题
审题 (设)
分析、联想 抽象、转化
还原 (答)
数学化 (列 )
寻找解题思路
解答数学问题
(解)
构建数学模型
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售 利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖 金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加 而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超 过利润的25%.现有三个奖励模型： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能 符合公司的要求？
投资天数、回报金额
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数 描述这些数量关系？ 解:设第x天所得回报是 y元，则
方案一：
方案二：
方案三：
上述的三个数学模型,第一个是常数函数, 另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方 案作出选择？
请同学们对函数增长情况进行分析,方法 是列表观察或作出图象观察.
方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长 情况：
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增 ,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,
y=log71000+1≈4.55<5,
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过 利润的25%呢？ 解:当x∈[10,1000]时, 要使y≤0.25x成立,
几类不同增长的函数模型
【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比 前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数 描述这些数量关系？
（n>0) 的增长速度，而
(a>1)的
增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当
时，有
根据图象观察, f(x)=log7x+1-0.25x的图象 在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.
这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超 过利润的25%.
对数函数y=logax (a>1),幂函数y=xn (n>0) 与指数函数y = ax (a >1)在区间(0,+∞)上都是增 函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异 的具体情况到底是怎样呢?
本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的 实质是什么？
y=0.25x ·············一次函数模型
y=log7 x +1,·············对数函数模型 y=1.002x ·············指数函数模型
实质:分析三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增 长情况．
当 x >x0时,就会有
结论1: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ， 使x> 时,有 > .
结论2: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ， 使x> 时,有 > .
结论3：在区间（0，+∞）上，函数
(a>1）
（a>1),
(n>0)都是增函数，
但它们的增长速度不同。随着x的增大
(a>1） 的增长速度越来越快，远远大于
6
8
10 12 x
方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：
你能通
过图象描述 一下三种方 案的特点吗 ？
底数为2 的指数函数模 型比线性函数 模型增长速度 要快得多.从中 你对“指数爆 炸”的函数有 什么新的理解 ？
☞累计回报表：
方案一
方案二 方案三
1 2 回报 天数 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案 方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
6.4
6
40
0
60
10
12.8
12.8
7
40
8
40
9
40
10 40
…
…
30 40
0
70
10
25.6
25.6
0
80
10
51.2
51.2
0
90
10
102.4
102.4
0
100
10
204.8
…
…
…
…
…
0
300
10
214748364.8 107374182.4
y
140 120
100
80
60
40 20
o
24
y
y = 2x
y=x2
y=log2x
1
o
1234
x
观察图象可以看出:三个 函数的增长速度是不同 的,你能根据图象分别标 出不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x成立的x的取 值范？
(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况
只需log7x+1≤0.25x 成立， 即log7x+1-0.25x ≤0.
令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是 否有f(x) ≤0恒成立?
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x的 图象是否在x轴下方?
作f(x)= log7x+1-0.25x的图象如下：
问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立 的x的取值范围.
(1)0<x<2或x>4时, (2)2<x<4时,
从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有 两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有 不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2但当x越来 越大时, 2x的增长速度远快于x2.
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
通过观察图象,你认为哪个模型符合公 司的奖励方案？
②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增, 观察 图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符 合要求.