棱柱棱锥棱台的体积公式
四棱台体积计算公式
四棱台体积公式：①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥）[上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥）(上面面积+下面面积)x高÷2第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。
注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。
拟棱台：对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。
若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H正四棱台体积V=底面积S×高H圆锥体体积=底×高÷3长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15评论(14) | 80 12012-08-12 16:31 我只是碗馄饨| 四级体积的话叫棱台S1=上面的面积S2=下面的面积H是高V是体积V=（S1+S2+根号（S1×S2））×H ÷3评论(6) | 52 22012-05-08 23:50 绿锦小学| 十三级答：梯形是平面图形，没有体积，只有面积。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[方法技巧] 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面 边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应 用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧 面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大 小棱锥侧面积作差得到．
[对点练清] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15， 高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝ 64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
＝
1 2
×VD×BC
＝
1 2
×
13 ×2
3＝
39
，
S
△
ABC
＝
1 2
×(2 3)2× 23＝3 3，
所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3 ＝3( 39＋ 3)．
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误是不能根据正三棱 锥的结构特征，并且根据题目条件求出正三棱锥的侧面三角形的 高．
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.能用公式解决简单的实际问题． 3.通过学习，帮助学生进一步掌握在平面上表示空间图形的
方法与技能，提高学生直观想象、数学运算的核心素养．
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的体积
( ).
. .
【悟】
决利二 问用是 题正把
棱正 锥棱 的台 有还 关原 知成 识正 来棱 解锥
形一
常
中是
用
解把
两
决基
种
问本
解
题量
题
；转
思
化
路
到
：
直
角
梯
面棱求
边台解
长的正 、五棱 高个台 、基的 斜本体 高量积 、上时 侧、， 棱下注
底意
棱柱、棱锥、棱台的体积
1 【练2】如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为__3__.
证明：V棱台
V大棱锥
V小棱锥
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
1 [Sh 3
(S
S')x]
又
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V棱台
1 3
h[ Sh
(S
S')
S' ] 1[S S S' 3
SS' S' ]h
A
P
x
A
D
S
C
B
D
h
S
C
V棱台
1 3
(S'
S'S S )h
积时不考虑漏斗的厚度).
D’
C’
解：由题意知，
A’
B’
D
C
V长方体ABCD-A'B'C 'D' 11 0.5 0.5(m3 ),
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
空间图形(棱柱,棱锥,棱台)
三. 正棱柱、正棱锥、正棱台
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的 特征为侧面是矩形，侧棱等于高．
直棱柱
如果直棱柱的底 面是矩形，就是 长方体
如果长方体的 所有棱的长都 相等，就是正 方体
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
正棱锥: 底面是正多边形且顶点到底面的垂 足是底面的中心的棱锥
正棱台: 由正棱锥截得的棱台
S下
S上S下
l
(适用于一般棱锥)
斜高l
l : 斜高 h : 高 p : 底面周长
直棱柱、正棱锥和正棱台的面积和体积公式
名称
直棱柱
正棱锥
正棱台
侧面积
S侧 =lp
全面积 S全= lp+2 S底
V= S底h
体积
(适用于一般 棱
柱)
S侧 =12 lp
S侧
1
=2
l(
p上＋p下
)
S全
=
1 2
lp+S底
1
V= 3 S底 h
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
图1
图2
图3
棱柱:由一个平面多边形平移形成的空间几何体叫 做棱柱
棱锥:当棱柱的上面收缩为一点时，可得到棱锥； 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和 平行截面间的部分叫做棱台．
二. 棱柱、棱锥和棱台的基本性质
名 称
棱柱
棱锥
棱台
上底面
图
侧棱
顶点
侧棱
上底面
侧棱
高
解:上底面积S上=64，下底面积S下=144，
V=
1 3
h
(
S上
S下
S上S下
)＝1 （6 64＋144＋ 3
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
柱、锥、台的体积详解
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正 方 形 ， 且 ADE 、BCF 均 为 正 三 角 形 ， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3
棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
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棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。
下面我们将分别介绍它们的体积公式。
一、棱柱的体积公式
棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：
V = S × h
其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：
V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³
二、棱锥的体积公式
棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：
V = 1/3 × S × h
其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：
V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³
三、棱台的体积公式
棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：
V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。
例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：
V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³
掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。