基本不等式难题及解析

基本不等式难题及解析

1. 设实数a，b，c满足a>b>c，证明：(a-b)(a-c)>0，并给出解析。

解析：我们可以将不等式(a-b)(a-c)>0进行展开：a^2 - ab - ac + bc >0

由于a>b>c，所以a-b>0，a-c>0，bc>0

因此，我们可以得到：a^2 - ab - ac + bc >0

再进行因式分解可得：a^2 - ab - ac + bc = (a-c)(a-b) > 0

由于a-c>0，a-b>0，所以(a-c)(a-b)>0成立。

因此，原不等式：(a-b)(a-c)>0 成立。

2. 当x为实数时，证明：x^4 + 2x - 1 > 0，并给出解析。

解析：我们可以考虑将左边的不等式进行因式分解：

x^4 + 2x - 1 = (x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1

再进行加减法得：(x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1 = x^2(x^2 + 1) +

x(x + 2) - 1

可以发现，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 是一个二次函数的形式。

我们考虑二次函数对应的抛物线的开口方向与函数的系数a有关。其中，a为二次项的系数。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。

在本例中，我们可以将二次函数进行标准化：y=x^2+2x-1

可以发现，二次项的系数a=1>0

因此，该二次函数对应的抛物线开口向上。

当抛物线开口向上时，抛物线与x轴交点的纵坐标小于0，所以抛物线图像位于x轴下方。

因此，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 > 0 对于所有实数x成立。

即，不等式x^4 + 2x - 1 > 0 对于所有实数x成立。

3. 当x为正数时，证明：2x^3 + 3x^2 + x > 6，并给出解析。

解析：我们可以将左边的不等式进行化简：

2x^3 + 3x^2 + x > 6

可以将不等式两边同时减去6，得到2x^3 + 3x^2 + x - 6 > 0

再进行因式分解，得到(x-1)(2x^2 + 5x + 6) > 0

我们再来观察2x^2 + 5x + 6这个二次函数。

该二次函数的判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4*2*6=25-48=-23<0

由于判别式小于0，所以二次函数没有实数根。

根据二次函数的图像可以得知，对于任意正数x，(x-1)(2x^2 + 5x + 6) > 0 成立。

因此，原不等式：2x^3 + 3x^2 + x > 6 对于任意正数x成立。