基本不等式难题及解析
基本不等式常见题型(解析版)
基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。
2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析
第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。
专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】C【解析】因为0,0x y >>，122x y xy +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则22218333323x y x y x y+=+≥⨯+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B ．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ）A ．13B C D ．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当a b ==2ab :C ．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4 【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4 【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥. 又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________． 【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+=≥-=-，当且仅当229x x -=，即x = 所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______. 【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-， 当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号， 所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9 【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>， 故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当23323223a b a ba b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B C D【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故222322x x +-===≤，当且仅当22232x x =-，即x故.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．【答案】B【解析】,0a b >,2240a ab -+=，则有22a b a=+，222242444a a a a a b a a a∴-=+-=+⋅=当且仅当24a a =，即a =b =B.【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．94D ．1 【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432xy xy x y zx xy y x y y x===-++-⋅， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=， 所以2211818282222a a a a b c a b ca a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++， 当且仅当222822a a a a +=+，即2a =.故选：ABC【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2 【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤， 所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅，当且仅当1||x =等号成立，所以21xy ⋅2≤，当且仅当21x y =21x y ==所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____． 【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥， 当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222bba bbaa b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时取等号 故4ba b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______． 【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立， 即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4 【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+又2AG GM =，所以32AM AG =，又(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>） 所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ 因为,,G P Q 三点共线，则133xy +=，化得()14x y ++=由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________. 【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b --+=+=+-++-++14724()a b =--++1141()()7a b a b =+++141(14)7b a a b =++++1161(577≥+⨯+=当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号， 则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54 B ．83 C ．43 D ．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m ny -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =成立，所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．16 C． D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a +++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________. 【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以()()1113213939x y x y y ++=+++ 整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭. 经验证当12x y == 时，等号可取到.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ . 【答案】2【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b都是负实数，所以20,0a bb a>>， 所以2abb a +≥=2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++所以1323a b b a-≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++. 即2a ba b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y+-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y+≤-+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____． 【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ， 故2223x y xy y ++的最小值为2.【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________. 【答案】9【解析】由212ab a b=++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭ ， 当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>由1425y x x y +++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+， 故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去）， 故2x y +的最小值为8.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B． C．1 D．1 【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以244222b a a a ba a ++≥=+≥= 当且仅当24b ba =且42a a=，即a b == 即242ba ba ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．(0 C ．(]0,2 D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 02,20x a a x <<∴->，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in 1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 212a ∴≥，解得a ≤≤且0a ≠，又0a >， 实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【答案】D【解析】()()121121221925542222ba ab a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=， 当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦， 因为,,a b c+∈R，所以)))2222222ab a a a b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当2a b =时等号成立；()()()222211122222222bc c b c b c b ⎡⎤=⨯≤+=+⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2c b =时等号成立.所以()()()222222222222211222222222444b a c ab bc a b c b a b c a b c a b c ++=≤++++++++=+， 当且仅当2a b c ==时等号成立， 所以()22224b a c a b c +++的最大值为22，所以2cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a ca c abc a c a c b bb b ++++=≤=++++++⨯ ()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++==+≤+=++⨯，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22y xx y =时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C 3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立． 所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12 【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A．9+ B C ．7 D【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14544⎛≥++== ⎝（当且仅当6b aa b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++.故选：B. 6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43 B ．103C ．3D ．2 【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+1()3AB AC =+，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >） 所以1AB AM x=，1AC AN y =，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅.因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y +=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+（当且仅当433yxx y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C ．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．2 【答案】A【解析】∵()f x =R ，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤ ∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b += 又∵0,0a b >> ∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥= 当且仅当22a b b a =，即21,33a b ==时取等号.故选：A. 8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ ⎪--⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--，所以11()4x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x y y z ⎛⎫≤-⋅+ ⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确； 取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤D 正确.故选：ACD.10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219a b +≥ C D ．35422a b a +-<<- 【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-=，12ba ∴+=.又0,0ab >>212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确； 对于C 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，C 选项正确；对于D 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----， 当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+----()()414171b a b a b b --=++--17≥+25= 当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥． 当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD . 12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx =+ B ．0)y x > C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 【答案】BD【解析】对于A ，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，y ===，因为0x >1>，4≥=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号， 所以144xx y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， 所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦， 因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+， 当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立， 所以2132x y x y +++的最小值为94.14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=， 当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b+=±，所以22a b a b +-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1a b+≤22a a b b +-.综上，22a a bb+-.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++， 即322223221)(6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xyx xxy ++=+=+++++； 又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++= 所以， 22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+ 令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+ 所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====x y ==. 16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______. 【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤， 当且仅当a b =时，等号成立， 所以当a b c+取得最大值时，a b =，42a b ac +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
基本不等式较难题目
基本不等式较难题目不等式在数学中占据着重要的地位，它是我们解决各种实际问题和证明数学命题的重要工具。
基本不等式是不等式中最基础、最常见的形式，掌握基本不等式的求解方法对于提高数学解题能力至关重要。
在此，我们将探讨一些基本不等式较难的题目，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不等式的解题方法。
1. 题目一：证明对任意正实数a、b、c，都有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解析：这是一个典型的基本不等式题目，我们可以通过展开式来证明。
首先展开左边的式子得到(a+b)(b+c)(c+a) = a^2b + b^2c + c^2a + 2abc。
然后，我们利用不等式的性质进行变形，可以得到2abc + a^2b + b^2c + c^2a ≥ 4abc。
接着，我们再次利用不等式的性质，将不等式右边的4abc变为8abc，最终得到(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc，即原不等式得证。
2. 题目二：已知a，b，c为正实数，且abc = 1，求证a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c。
解析：这是一道较为复杂的不等式题目，需要我们灵活运用基本不等式的性质。
首先，我们可以将不等式右边的a + b + c化简为a/b + b/c + c/a，然后利用不等式的性质进行变形，得到a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c。
接着，我们将abc = 1代入不等式左边的式子，得到a/b + b/c + c/a = ac/bc + ab/ac + bc/ab，进一步化简得到a/b + b/c +c/a = c + a + b。
最终，我们得到c + a + b ≥ a + b + c，即原不等式得证。
3. 题目三：已知a，b，c为正实数，且abc = 1，证明(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8。
解析：这是一道较为复杂的基本不等式题目，需要我们利用不等式的性质进行变形。
首先，我们可以将不等式左边的式子展开得到(a + b)(b + c)(c + a) = a^2b +b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2。
基本不等式经典题型及解析
基本不等式经典题型及解析一、基本不等式的概念基本不等式呢，就是那种超级重要又很神奇的数学知识。
它大概就是说对于正实数a、b，有(a + b)/2 ≥ √(ab)，等号成立的条件是 a = b。
这个就像是数学世界里的一个小宝藏，能帮我们解决好多好多问题呢。
二、经典题型1. 求最值问题比如说有这么一道题：已知x>0，求y = x+(1/x)的最小值。
那我们就可以用基本不等式啦。
这里 a = x，b = 1/x，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，y=x+(1/x)≥2√(x(1/x)) = 2，当且仅当x = 1/x，也就是x = 1的时候，等号成立，所以y的最小值就是2。
再比如，已知a,b都是正数，且a + b = 1，求ab的最大值。
由基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)可得，1/2≥√(ab)，两边同时平方，ab≤1/4，当且仅当a = b = 1/2的时候等号成立，所以ab的最大值是1/4。
2. 证明不等式问题证明：对于任意正实数m,n，(m + n)(1/m+1/n)≥4。
我们把左边展开，得到(m + n)(1/m+1/n)=2+(m/n)+(n/m)。
这里把m/n看成a，n/m看成b，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，(m/n)+(n/m)≥2√((m/n)(n/m)) = 2，所以(m + n)(1/m+1/n)=2+(m/n)+(n/m)≥2 + 2 = 4。
3. 实际应用问题有一个长方形的场地，它的周长是20米，设长为x米，宽为y 米，求这个长方形场地面积的最大值。
已知周长20 = 2(x + y)，也就是x + y = 10。
根据基本不等式，面积S=xy≤((x + y)/2)^2=(10/2)^2 = 25，当且仅当x = y = 5的时候等号成立，所以这个长方形场地面积的最大值是25平方米。
三、解析1. 对于求最值问题在求y = x+(1/x)的最小值时，我们准确地识别出可以用基本不等式的形式，并且注意到等号成立的条件。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1.若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.【解析】（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.故，且当时等号成立.所以的最小值为.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得.【考点】1.基本不等式的应用;2.代数式的处理2.已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．【答案】2【解析】因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2，当且仅当m＝2n时“＝”成立．3.已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【答案】C【解析】解:因为，所以又,成等比数列，所以（当且仅当即时等号成立）所以，故选C．【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．4.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【答案】C【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选C．5.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．6.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式7.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式8.已知正数满足，则的最小值为．【答案】9【解析】由，得，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．【考点】基本不等式．9.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立，那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值10.已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】∵，∴==≥=，当且仅当=取等号，故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值；2.转化与化归思想.11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A．B．C．5D．6【答案】C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=++++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.12.设，，若，则的最小值为A．B．6C．D．【答案】A【解析】因为，，，所以，；所以，当且仅当时，“=”成立，故答案为A.【考点】基本不等式13.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿【答案】【解析】因为过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长，由对称性只要研究部分，设，所以,所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故填.【考点】1.直线与双曲线的关系.2.两点间的距离.3.基本不等式的应用.14.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.15.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）k＝－（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝时取等号，由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥.即t的取值范围是.16.(－6≤a≤3)的最大值为 ()．A．9B．C．3D．【答案】B【解析】由于－6≤a≤3，所以＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．17.若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．【答案】16【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b) ＝4＋＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为16.18.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③B．①④C．①②D．①②④【答案】C【解析】①；②【考点】1.基本不等式；2.三角函数的性质.19.设均为正数，且证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析.【解析】（1）利用基本不等式，得到，，，利用，首先得到，得证；（2）为应用，结合求证式子的左端，应用基本不等式得到，，，同向不等式两边分别相加，即得证.试题解析：（1），，， 2分所以 4分所以 5分（2），， 7分10分【考点】基本不等式，不等式证明方法.20.已知，，则的最小值为____________.【答案】【解析】由得，当且仅当时取等号；两边平方得，，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.21.已知函数的定义域为，则实数的取值范为 .【答案】【解析】由函数定义域可知为正数，根据均值不等式，恒成立即可.【考点】均值不等式求最值.22.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.23.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A．B．2C．3D．4【答案】C【解析】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.【考点】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.24.已知正数满足，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，,又，得，所以，故.【考点】不等式性质，基本不等式的应用.25.设若是与的等比中项，则的最小值【答案】4【解析】根据题意，由于若是与的等比中项，则可知，则，当a=b时等号成立故答案为4.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式来求解最值的运用，属于中档题。
基本不等式题真题答案解析
基本不等式题真题答案解析在数学中，不等式是解决实际问题和证明数学定理的重要工具之一。
基本不等式是这一领域中最基础、最常见的类型之一。
本文将对几个典型的基本不等式题目进行真题答案解析，探讨解题思路和方法。
1. 题目：已知a > b > 0，证明a^2 > b^2。
解析：要证明a^2 > b^2，我们可以通过将不等式两边同时平方来达到目的。
由于a > b > 0，所以a和b都是正数。
当两个正数平方后，它们的大小关系仍然保持不变。
即a > b等价于a^2 > b^2。
因此，根据已知条件和等价性，我们可以得出结论a^2 > b^2。
2. 题目：证明(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 1 + ab + bc + ca，其中a，b，c > 0。
解析：首先，我们注意到等式右边的部分和它的左边十分相似。
通过观察可以发现，右边的部分是通过两两相乘/相加得到的。
因此，我们可以尝试将左边展开并与右边进行比较。
将左边展开得到(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + abc。
然后，我们将右边的1 + ab + bc + ca与展开后的左边进行比较。
可以看到右边的部分包含有ab + ac + bc，并且右边还有1，bc和ca分别是1和ac，1和ab相加得到。
因此，我们可以将右边的1 + ab + bc + ca拆分为1 + (ab + ac + bc) + (ac + ab)。
与左边展开后的式子进行比较，我们可以发现右边的式子是左边展开后的一部分。
根据等式左边的展开式和右边的式子，我们可以得出结论(1 + a)(1 + b)(1 + c)大于右边1 + ab + bc + ca。
3. 题目：已知x > 0，证明5x + 7/x ≥ 12。
解析：首先，我们注意到等式右边是一个固定的数值12。
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基本不等式难题及解析
1. 设实数a，b，c满足a>b>c，证明：(a-b)(a-c)>0，并给出解析。
解析：我们可以将不等式(a-b)(a-c)>0进行展开：a^2 - ab - ac + bc >0
由于a>b>c，所以a-b>0，a-c>0，bc>0
因此，我们可以得到：a^2 - ab - ac + bc >0
再进行因式分解可得：a^2 - ab - ac + bc = (a-c)(a-b) > 0
由于a-c>0，a-b>0，所以(a-c)(a-b)>0成立。
因此，原不等式：(a-b)(a-c)>0 成立。
2. 当x为实数时，证明：x^4 + 2x - 1 > 0，并给出解析。
解析：我们可以考虑将左边的不等式进行因式分解：
x^4 + 2x - 1 = (x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1
再进行加减法得：(x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1 = x^2(x^2 + 1) +
x(x + 2) - 1
可以发现，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 是一个二次函数的形式。
我们考虑二次函数对应的抛物线的开口方向与函数的系数a有关。
其中，a为二次项的系数。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
在本例中，我们可以将二次函数进行标准化：y=x^2+2x-1
可以发现，二次项的系数a=1>0
因此，该二次函数对应的抛物线开口向上。
当抛物线开口向上时，抛物线与x轴交点的纵坐标小于0，所以抛物线图像位于x轴下方。
因此，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 > 0 对于所有实数x成立。
即，不等式x^4 + 2x - 1 > 0 对于所有实数x成立。
3. 当x为正数时，证明：2x^3 + 3x^2 + x > 6，并给出解析。
解析：我们可以将左边的不等式进行化简：
2x^3 + 3x^2 + x > 6
可以将不等式两边同时减去6，得到2x^3 + 3x^2 + x - 6 > 0
再进行因式分解，得到(x-1)(2x^2 + 5x + 6) > 0
我们再来观察2x^2 + 5x + 6这个二次函数。
该二次函数的判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4*2*6=25-48=-23<0
由于判别式小于0，所以二次函数没有实数根。
根据二次函数的图像可以得知，对于任意正数x，(x-1)(2x^2 + 5x + 6) > 0 成立。
因此，原不等式：2x^3 + 3x^2 + x > 6 对于任意正数x成立。