不等式专题02-基本不等式的证明
基本不等式的证明
【知识网络】
1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；
2、证明不等式的方法及应用。 【典型例题】
例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2
22
:22a b a b
q ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则p 是q 成 立的 条件
答案：充分不必要条件
解析： a b =是2
22
22a b a b
++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
等号成立的条件。 （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222
,S a b c p ab bc ac =++=++， 则Ｓ,2p,p 从小到大排列顺序是 答案: 2p S p ≤<
．解析：2222221
()[()()()]0,2
S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，
又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2
2
2
2(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。 （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y
y
x x b +++=11， a 与b 的大小关系
答案：a
a x y x y x y x y
+=
=+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .
答案：
m
b m
a b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.1
1120,0的最小值，求且y
x y x y x +=+>> ．
答案： 223+。解析：112(2)()33y x
x y x
y
x y
++=+
+≥+。 例2：已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )
= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)
= (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0
又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
例3 设2,,0x y R y x ∈+=，当01a <<时，求证：1
log ()log 28
x y a a a a +<+。
解析：22
2
22x y x x x y a a a
a
+-+≥⋅=⋅，
∴2221111
log ()log (2)log 2log 2()log 222288
x x x
y
x
a a a a a x x a a a
x --+≤⋅=+=--+<+。
例4：（1）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，
求证：222
()a b a b x y x y
++≥
+，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =
+-（1
(0,)2
x ∈）的最小值， 指出取最小值时x 的值．
答案：22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，
故222()a b a b x y x y
++≥
+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号； ⑵由⑴得222
23(23)()252122(12)
f x x x x x +=+≥=-+-．
当且仅当
23212x x =-，即15
x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 【课内练习】
1．设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________.
答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y ≥2xy ,∴xy ≤(25)2. 当且仅当x=y=2
5
时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy ≤lg(
2
5)2
=2-4lg2. 2．若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 答案：1解析：2
lg lg lg lg (
)12
a b a b +⋅≤=。 3．在的条件下，，00>>b a 三个
①22b a b a ab +≤+，②，2
22
2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2
2
，其中正确的个数是
答案：3
解析：可以证明3个不等式都成立。
4．对一切正整数n ， 不等式112
b n b n +<-+恒成立，则B 的范围是
答案： 2
(,)(1,)5
-∞+∞ 。解析：112252
1,,0223131
n b b n n b b +-=-≥∴<
∴>++--，即b>1或25
b <。
5．已知方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是 。
答案：3,14m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。解析：440,1m m ∆=-≥∴≤，又123||1,4x x m -<∴>，即3,14m ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
。
6．已知a 、b 为不等的正数，且31a b a +=+2
a b
a b +、、四个数按从小到大
的顺序排列 。
答案：
31
)11
a b a a a +=
==++
（1）当a <0b a <<，得b >2
a b
+<
此时2
a b
a b +<
<<
（2）当a >0b a <
a b
+>
此时2
a b
b a +<<
（3）当a =
a b =与题设矛盾
7．比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 答案：（1）3212->-,（2）5632->-
（3）一般结论：若231+-+>
-+∈*
n n n n N n 则成立
证明 欲证231+-+>-+n n n n 成立 只需证
2
3111+++>
++n n n
n
也就是231+++<++n n n n （*）
*∈N n
从而（*）成立，故231+-+>-+n n n n )(*∈N n 8．已知1,0,0=+>>y x y x ，求证：44y x +≥
8
1
． 答案:∵1,0,0=+>>y x y x ，∴22y x +≥xy 2， 两边同加上22y x +得，)(222y x +≥1)(2=+y x ．
又4
4
y x +≥2
2
2y x ，两边同加上4
4
y x +得，)(24
4
y x +≥2
22
)(y x +≥4
1， ∴4
4
y x +≥
8
1． 9．设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2
25)1()1(22≥+++b b a a ． 答案：∵
212=+≤b a ab ∴41≤ab ∴41≥ab
∴2
2
221111111()()2222a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+++++ ⎪ ⎪+++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2
2
211114252222222a b ab ab +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫==≥=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
10．已知函数2
()4sin sin ()cos242
x
f x x x π=++
（1）设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,
23ππ⎡
⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，求w 的取值范围 （2）设集合{}
2;()263A x
x B x f x m ππ⎧⎫
=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭
，若A B ⊆，求实数m 的取值范围。
答案：（1）1cos()
2()4sin cos22sin 12
x f x x x x π-+=⋅
+=+ ()2sin 1f x x ωω=+ 在2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数。
2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即23,0,324ππωω⎛⎤≤∴∈ ⎥⎝⎦
（2）由
()2f x m -<得：2()2f x m -<-<，即()2()2f x m f x -<<+
,A B ⊆∴ 当26
3
X π
π≤≤时，()2()2f x x f x -<<+恒成立。
[][]max min ()2()2f x m f x ∴-<<+
又2,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，max min ()()3;()()226f x f f x f ππ==== (1,4)m ∴∈
【作业本】
A 组
1．设a 、b 、c 是互不相等的正数， ①．||||||c b c a b a -+-≤- ②a
a a a 112
2+
≥+
③．21
||≥-+
-b
a b a ④．a a a a -+≤+-+213
则上列等式中不恒成立．．．．
的是
答案：③因为()()||||||a b a c b c a c b c -=---≤-+-，所以（A ）恒成立，在B 两侧同时乘以2
,a 得()()()()()()2434332110110110a a a a a a a a a a a a +≥+⇐-+-≥⇐---≥⇐-++≥ 所以B 恒成立；在C 中，当a >b 时，恒成立，a
中，分子有理化得
≤恒成立，故选C ．
2．若关于x 的方程94340x x
a ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是
答案：(]-∞-，8解析：4434,83x
x a a ⎛⎫
+=-+
≤-∴≤- ⎪⎝
⎭
。 3．设x y R 、∈+
且xy x y -+=()1，
①x y +≥+221()
②．xy ≤
+21
③x y +≤+()212 ④．xy ≥+221()
则上列结论正确的是
答案：①解析：2
2
1(),()4()40,1)2x y xy x y x y x y x y +⎛⎫=++≤∴+-+-≥∴+≥ ⎪⎝⎭
。
4．若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是 答案： )1,21(。解析：221
1011a a a >⎧⎪⎨+<
<⎪+⎩或2021
111a a a
<<⎧
⎪
⎨+>⎪+⎩，解得112a <<。
5．若关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0有解且解的区间长不超过5，则a 的取值范围是
答案：－25≤a ＜－24或0＜a ≤1。解析：212
2400,24
,251||5a a a a a x x ⎧+>><-⎧⎪∴⎨⎨-≤≤-≤⎪⎩⎩，∴2524
a -≤≤-或01a <≤。
6．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3= a 2－b 2 求证：1< a +b <
3
4
． 证明:332222a b a b a ab b a b -=-⇒++=+2()a b ⇒+221
a a
b b a b a b >++=+⇒+>
002)
(4)2(3)(4)(33
4
2222222>-⇐>+-⇐++<++⇐+<+⇐<
+b a b ab a b ab a b ab a b a b a b a 7．设(),1433221+++⨯+⨯+⨯=n n s 求证：
()()22
1
121+<<+n n s n n 答案： n n n s +++=⨯+⨯+⨯+⨯>321332211()121
+=
n n 122334(1)2222n n S +++++<++++
)2(21))12(753(21
+=+++++=n n n ． )2(2
1
)1(21+<<+∴n n s n n 。 8．设二次函数)0()(2
>++=a c bx ax x f ,方程x x f =)(的两个根21,x x 满足
a
x x 1021<
<<. (1)当),0(1x x ∈时,证明:1)(x x f x <<;
(2)设函数)(x f 的图象关于0x x =对称,证明: 2
1
0x x <
.
答案：证明:(1)))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=,当),0(1x x ∈时,∵0,21>--=x x x x a x F ,∴0)(>-x x f ,∴)(x f x <.
又)](1)[())((])([)(2121111x x a x x x x x x a x x x x F x x f x -+-=----=+-=-. ∵
a
x x 1021<
<<,∴
01>-x x ,011)(1222>->-+=-+ax ax ax x x a ,∴
0)(1>-x f x ,即1)(x x f <,∴1)(x x f x <<.
(2)∵21,x x 为0)(=-x x f 的两个根,∴a
b
x x -=+121,a ax b x 211--=,
只要证a ax b a b 2
1--<-,即证明012>-ax ,此式显然成立,∴2
10x x <.
B 组
1．函数y=1
2
22+++x x x (x>-1)的图象最低点坐标是
答案：(0,2)
解析：y=1
1
)1(2+++x x =(x+1)+11+x ≥2.此时x=0.
2．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一
半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲、乙两人谁先到达指定地点
答案：甲解析：t 甲=222,S S
S m n m n +=+t 乙，∴t 乙=()222S S S m n m n mn ++=， 1<， ∴t 甲< t 乙。
3．设f (x )是奇函数，对任意的实数x 、y ，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当
则f (x )在区间[a ,b ]上，
①．有最大值f (a ) ②．有最小值f (a )
③有最大值)2(
b
a f + ④．有最小值)2
(
b
a f + 上列结论正确的有
答案：①．解析：()f x 为减函数。 4．设M=)11
)(11)(11(
---c
b a ,且a+b+c=1，(a 、b 、
c ∈R +)，则M 的取值范围是
答案：[8,+∞）。解析：8b c a c a b M a b c +++=
⋅⋅≥=。
5．若x ，y ＞0的最大值。
答案：2。解析：2
2,2x y x y x y +++≤=≤+。 6．已知0=++>>c b a c b a 且,证明:方程022
=++c bx ax 的两实根21,x x 满足
32||321<- 答案：证明:由题设得a c x x a b x x =-=+2121,2，∴2 2222 21)(444)(a ac b a c a b x x -=-=- ∵0=++c b a ,∴2 2 )(c a b +=, 1212)(4)(422 2 2222=<++=-a a a c ac a a ac b , 又 22222222 4()3(2)33a ac c a a c a a a a ++++=>=,∴12)(322 1<- 7．设1,,13 12 11>∈+ ++ + =n N n n A （1）证明：A>n ; （2）n A n 2212<<-+ 答案：（1）A 1 >=)11++ + （2）2 2 A = 2 10 <+ ( )()( )[] n n n 21231212=--++-+ -+ = n A 22 32222222++++= n n +++ +++ ++ +> 123 422 321 22 ()()( )( )[] 21213423122 -+=-++ -+-+-=n n n ． ∴n A n 2212<<-+ 8．设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f(0)＞0，f(1)＞0， 求证：(Ⅰ)a ＞0且-2＜ b a ＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 答案:证明：（I ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>； 由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b a -< <-. （II ）抛物线2 ()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2 3(,)33b ac b a a --， 在21b a -< <-的两边乘以13-，得12 333 b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c ac f a a +--=- < 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a - 与(,1)3b a -内分别有一实根。 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 3.2 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1．对公式222a b ab +≥及 2 a b ab +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”． 2．由公式222a b ab +≥和2 a b ab +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号） ； ② 2b a a b +≤-（,a b 异号） ； ③222 (0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 知识点诠释： 2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2 a b ab +可以变形为： 2 ( )2 a b ab +≤． 2 a b ab +的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=． 得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥ （当且仅当a b =时取等号“=”）． 基本不等式证明过程 一、引言 基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它是解决不等式问题的基础。本文将详细介绍基本不等式的证明过程。 二、基本不等式的定义 在高中数学中，我们通常将两个正数a和b的平方和表示为a²+b²，而(a+b)²则表示它们的平方和加上2ab。因此，我们可以得到以下公式： (a+b)² = a² + 2ab + b² 根据这个公式，我们可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数a和b，都有以下不等式成立： (a+b)² ≥ 4ab 这就是基本不等式。 三、证明过程 1. 将(a+b)²展开 首先，我们需要将(a+b)²展开，得到以下结果：(a+b)² = a² + 2ab + b² 2. 将2ab移到左边，并化简 接下来，我们将2ab移到左边，并进行化简： (a+b)² - 4ab = a² - 2ab + b² (a-b)² ≥ 0 由于平方永远大于或等于0，所以最后一步成立。 3. 化简左边表达式 现在我们需要化简左边的表达式： (a+b)² - 4ab = (a-b)² + 4ab - 4ab (a+b)² - 4ab = (a-b)² 4. 得出结论 由于(a+b)² ≥ 0，所以(a-b)² ≥ 0。因此，我们得出结论： (a+b)² ≥ 4ab 这就是基本不等式。 四、基本不等式的应用 基本不等式在高中数学中非常重要，它可以用于解决各种不等式问题。例如，我们可以使用它来证明以下结论： 对于任意三角形ABC，有以下不等式成立： AB² + AC² + BC² ≥ 4S² 其中S表示三角形ABC的面积。 证明过程如下： 1. 将三角形ABC分为四个小三角形：ABD、ACD、BCE和BDE。 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 第 1 页 共 2 页 数学 科学案 序号 4-5 002 高二 年级 6 班 教师 王德鸿 学生 §1.1.2基本不等式（1） 姓名 ☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; 2. 初步掌握不等式证明的方法 ?知识情景： 1. 不等式的基本性质： 10 . 对称性：b a >? ； 20. 传递性：?>>c b b a , ； 30 . 同加性：?>b a ； 推论：同加性：?>>d c b a , ； 30 . 同乘性：?>>0, c b a ，?<>0,c b a ； 推论1：同乘性：?>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：?∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：?∈>>+N n b a , 0 ； 推论4：可倒性：?>>0b a . 2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)． ?建构新知： 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 证明: ∵222 2()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立. ∴22 2a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈, 那么 2 a b +≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同? 20. 如何证明基本不等式? 30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? 40 . 怎样用语言表述基本不等式? ☆案例学习： 例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ） ①22b a b a ab +≤+，②，2 222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22， A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 变式训练：设,a R ∈b ，求证：(1) 2 22 22a b a b ++??≤ ??? ; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++． 例2、 (1) 设.1 1120,0的最小值，求 且y x y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 变式训练： 若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围 例3、已知0＜x ＜3 4，求x(4-3x)的最大值； 变式训练：求函数29()12f x x x =+-（1 (0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值． 阅读课本例3、例4 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,abc d R ∈，则22222 () ()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 2 2 2 (a a a ++⋅⋅⋅+)2 2 2 )b b b ++⋅⋅⋅+(2 ()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： a b c c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 不等式的证明 最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 知 识 梳 理 1.基本不等式 定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么 a ＋ b 2 ≥a ＝b 时，等号成立，即两个正 数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3 ≥a ＝b ＝c 时，等号 成立. 2.不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0?a >b ；a －b <0?a 0，b >0)：a b >1?a >b ；a b <1?a 证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立. 3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数. 基础自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 解析(1)作商比较法是商与1的大小比较． (3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件． (4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用． 答案(1)×(2)√(3)×(4)× 2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________. 解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b. 答案M≥N 3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 的最小值为________. 解析把a＋b＋c＝1代入1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 得 a＋b＋c a ＋ a＋b＋c b ＋ a＋b＋c c ＝3＋ ? ? ? ? ? b a ＋ a b＋ 基本不等式的证明 【知识网络】 1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件； 2、证明不等式的方法及应用。 【典型例题】 例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2 22 :22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ ，则p 是q 成 立的 条件 答案：充分不必要条件 解析： a b =是2 22 22a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 等号成立的条件。 （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222 ,S a b c p ab bc ac =++=++， 则Ｓ,2p,p 从小到大排列顺序是 答案: 2p S p ≤< ．解析：2222221 ()[()()()]0,2 S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2 2 2 2(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。 （3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 答案：a >a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 . 答案： m b m a b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.1 1120,0的最小值，求且y x y x y x +=+>> ． 答案： 223+。解析：112(2)()33y x x y x y x y ++=+ +≥+。 例2：已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 ) = a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) 不等式选讲(用基本不等式证明不等式) 一、用基本不等式证明不等式 1．（2014年1卷）若0,0a b >> ，且 11a b +=．证明： （1） 求33a b +的最小值； （2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 【解析】（I 11a b =+≥，得2ab ≥ ，且当a b == 故33a b +≥≥ ，且当a b ==时取等号． 所以33a b + 的最小值为 （II ）由（I ）知，23a b +≥≥ 6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=． 2.（2013年2卷）设均为正数，且，证明： （1） （2） 【解析】（Ⅰ）222222 2,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++ 由题设得()2 1a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13 ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵222 2,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ,,a b c 1a b c ++=13 ab bc ca ++≤222 1a b c b c a ++≥ ∴222 ()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++ 即222 a b c a b c b c a ++≥++ ∴222 1a b c b c a ++≥ 3.（2019年1卷）已知a ，b ，c 正数，且满足abc=1．证明： （1）222111a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ?? ∴++=++?=++ ??? ( )()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++ 当且仅当a b c ==时取等号， ()22211122a b c a b c ??∴++≥++ ???，即：222111a b c a b c ++++≥ （1） ()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++， 当且仅当a b c ==时取等号 又a b +≥b c +≥a c +≥ （当且仅当a b c ==时等号同时成立） ()()()333 3a b b c c a ∴+++++≥?=又1abc ()()()333 24a b b c c a ∴+++++≥ 4.已知正数x 、y 、z ，且1xyz =. （1）证明：222x y z y z x y ++≥+； （2）证明：()()()222 12x y y z z x +++++≥. 【详解】 基本不等式2ab[不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ的证明] 在常规的数学教学中，对不等式a2+b2≥2ab的证明，一般来说都是采用公式推导的方法。这种方法具有一定的抽象性，使得学生的学习缺乏直观感，对不等式的本质意义理解不到位。如果我们在此不等式的证明教学过程当中，采用Flash动画来辅助证明，教学效果将得到明显提高。课件播放界面如上图所示。（需要课件源程序者可联系作者，邮箱是：siguix@163.。） 课件功能 通过选择播放、暂停按钮可以动态显示三角形BEG、BCD及矩形EBCF的面积关系，从而证明不等式a2+b2≥2ab。 使用方法 课件使用非常简单，初始状态为暂停播放，用户只需单击播放 按钮即可观看效果，并可以通过暂停按钮在动画播放的任意位置暂停。 设计思路 1.我们想通过一种直观的方式使学生掌握不等式a2+b2≥2ab。于是，我们试图把该问题的证明转化到图形面积大小的问题上，因为，图形面积的大小是我们用眼睛能直接观察到的。把不等式a2+b2≥2ab 的左右两边都转化成能表示一个图形的面积形式，在不等式的两边同时除以2，得到的不等式为（a2/2）+（b2/2）≥ab。此时不等式a2+b2≥2ab的证明就等价于不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab的证明，而不 等式（a2/2）+（b2/2）≥ab的左边正好是两个等腰直角三角形的面积之和，两个等腰直角三角形的直角边长分别是a和b，不等式右边是一个长和宽分别为a和b的矩形的面积。此时，我们已经把该问题的证明转化到了面积大小对比的观察上。 2.有了上面一步的分析之后，我们现在的问题是怎样把不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab左右两边（左边的两个直角三角形、右边的矩形）同时放到一个图形中去，让学生一眼就看出不等式是成立的（如图所示）。 3.证明（a2/2）+（b2/2）≥ab：ABCD是一个边长为a的正方形，EF交BD于G点，要证明（a2/2）+（b2/2）≥ab，我们只要证明图中三角形BEG的面积（b2/2）+三角形BCD的面积(a2/2)≥矩形EBCF的面积（ab），而这是显而易见的。从动画中我们可以看到b 的值可以在从0到a的范围内变化，（a2/2）+（b2/2）的面积比ab 大的部分刚好是三角形DFG，当b=a时，即EF与AD重合时，三角形DFG的面积等于0，于是，不等式（a2/2）+（b2/2）≥ab就得到了证明。 技术实现 经典例题透析 类型一：比较法证明不等式 1、用作差比较法证明下列不等式： （1）； （2）(a，b均为正数，且a≠b) 思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。 证明： （1） 当且仅当a=b=c时等号成立， （当且仅当a=b=c取等号）. （2） ∵a>0, b>0, a≠b, ∴a+b>0, (a-b)2>0, ∴， ∴. 总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。 举一反三： 【变式1】证明下列不等式： (1)a2+b2+2≥2(a+b) (2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) (3)a2+b2≥ab+a+b-1 【答案】 （1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴a2+b2+2≥2(a+b) （2）证法同（1） （3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1 【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 【答案】 ax2+by2-(ax+by)2 =ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2 2、用作商比较法证明下列不等式： （1）(a，b均为正实数，且a≠b) （2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等） 证明： （1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0. ∴， ∵a, b为不等正数，∴，∴ ∴ （2）证明： 不妨设a>b>c，则 ∴ 所以， 总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1 不等式的性质与证明方法 不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式，它描述了数值之间 的大小关系。在数学的研究中，不等式具有重要的意义，它在许多领 域中都得到了广泛的应用。本文将介绍不等式的性质和证明方法，希 望能够帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、不等式的基本性质 1. 传递性：如果 a > b，b > c，那么可以得出 a > c。这是不等式的 一种基本性质，也是比较大小关系的基础。 2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。不等式的对称性使得我们可以 在不改变大小关系的前提下，对不等式进行变换和操作。 3. 相加性：如果 a > b，则对任意的 c，a + c > b + c。不等式的相加 性允许我们在不等式的两边同时加上一个相同的数，不改变大小关系。 4. 相乘性：如果 a > b，且 c > 0，则有 ac > bc。不等式的相乘性使 我们能够在不等式的两边同时乘以一个正数，仍然保持大小关系不变。 二、不等式的常见证明方法 1. 直接证明法：通过逐步推导和运算，从已知条件出发，逐步推导 出要证明的不等式，直至推导出所要证明的结论。这是一种简单直接 的证明方法，常用于证明不等式的基本性质。 例子：证明对任意正整数 n，都有 n^2 + n > 2n。 证明：对于任意正整数 n，我们有 n^2 + n = n(n + 1)。 由于 n 是正整数，所以 n + 1 > 1，因此 n(n + 1) > n。 又因为对于任意正整数 n，n > 2，所以 n > 2n。 因此，n(n + 1) > n > 2n，即 n^2 + n > 2n。 2. 反证法：假设要证明的不等式不成立，即假设不等式的否定成立，然后通过推导得到矛盾，从而推断出假设的不等式成立。这是一种常 用的证明方法，适用于复杂的不等式证明。 例子：证明当 x > 0 时，有 x^2 + 1 > 2x。 证明：假设存在一个 x > 0，使得x^2 + 1 ≤ 2x。 考虑等式 x^2 + 1 = 2x，可以得到 x^2 - 2x + 1 = 0。 根据二次方程的求解公式，我们知道该方程的唯一解为 x = 1。 然而，当 x > 0 时，显然有x ≠ 1。 因此，假设不成立，即 x^2 + 1 > 2x。 通过以上例子，我们可以看出，证明不等式的方法并不唯一，常常 需要根据具体的情况选择合适的证明方法。在实际应用中，我们需要 灵活运用不等式的性质和证明方法，才能更好地解决问题。 总结： 本文介绍了不等式的基本性质和常见的证明方法。不等式作为数学 中常用的一种数值关系表达方式，具有广泛的应用领域。通过掌握不 基本不等式的证明LT c2＋a2≥2ca． 把以上三式叠加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 以此类推：如果a i∈R，i=1，2，…，n，那么有 ④ (当且仅当a1=a2=…=a n时取“=”号)． ④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加． 3．再探索 师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)， 启示我们把②式变成 a2－ab＋b2≥ab， 两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？ 生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2， c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式叠加，并应用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n 次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究． 4．推论 师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式． ⑦ (当且仅当a=b时取“=”号)． 这就是课本中定理1的推论． 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不 等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： 高数不等式证明 一、不等式的定义和性质 1.1 不等式的定义 不等式是代数中的一种关系，表示两个数或者表达式之间的大小关系。通常使用符号”<“,”>“等来表示。例如，2 < 3表示2小于3。 1.2 不等式的性质 •若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数 •若a > b且c > 0，则ac > bc •若a > b且c < 0，则ac < bc •若a > b且c > d，则a + c > b + d 二、不等式证明的基本思路 不等式证明是高等数学中的重要内容，也是数学推理的一种形式。不等式的证明可以通过直接证明、间接证明、反证法等方法进行。 一般来说，不等式证明的基本思路有以下几种： 2.1 直接证明法 直接证明法是通过对不等式进行等价变形和推理，从而证明不等式的正确性。常用的等价变形方法有加减变形、乘除变形、换元变形等。 例如，要证明不等式a + b > a，可以通过加减变形得到b > 0，再通过等价推理得到该不等式成立。 2.2 间接证明法 间接证明法是通过假设不等式不成立，并导出矛盾的结论，从而证明不等式的正确性。常用的方法有反证法、条件证明法等。 例如，要证明不等式a + b > 0，可以假设a + b ≤ 0，然后导出矛盾的结论，说明原假设不成立，从而得到不等式成立。 2.3 数学归纳法 数学归纳法一般用于证明一类特殊的不等式，或者证明不等式的某种性质。它的基本思路是通过归纳假设和归纳步骤，逐步推理得到不等式的正确性。 三、具体例子：证明柯西不等式 柯西不等式是高等数学中常用的一个重要不等式，用于描述两个向量的内积与其模长的关系。其数学表达式为： 对于任意实数ai和bi，i = 1, 2, …, n，有： (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an2)(b12 + b2^2 + … + bn^2) 3.1 证明思路 我们可以通过直接证明的方法，首先进行等价变形，借助乘法公式展开和合并同类项，得到待证不等式左右两边的表达式。 然后我们分别对这两个表达式进行恰当的变形和推理，最终推导出不等式的正确性。 3.2 证明过程 步骤一：等价变形 首先，我们可以将待证不等式的左边进行乘法公式展开和合并同类项，得到： (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 = (a12b12 + a22b22 + … + an2bn2) + 2(a1a2b1b2 + a1a3b1b3 + … + an-1anbn- 1bn) 步骤二：推导中间过程 接下来，我们对待证不等式的右边进行变形。根据乘法公式展开，我们可以得到： 课 题： 第02课时 基本不等式 教学目标： 1.学会推导并掌握均值不等式定理； 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点：均值不等式定理的证明及应用。 教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程： 一、知识学习： 定理1：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝” 号） 证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab ∴a ＋b ≥2ab ，即a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时， a ＋ b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而 后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解： 例1 已知x ，y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在。 例2 ：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证： （ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由a 、b 、c 、d 都是正数，得 ab ＋cd 2 ≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd 2 ≥ac ·bd ＞0， ∴（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）4 ≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3 ，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得 l ＝240000＋720（x ＋1600x ）≥240000＋720×2x ·1600x ＝240000＋720×2×40＝297600 第2讲 不等式的证明 1．基本不等式 定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1 b . 证明：a ＋1 a －⎝⎛⎭⎫ b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1） ab >0. 即a ＋1 a －⎝⎛⎭⎫ b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1 b . 已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋ab c >a ＋b ＋c . 证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋ac b ≥2 bc a ·ac b ＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc a ≥2b .因为a ，b ，c 不全相等， 所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋ab c >a ＋b ＋c . 第二讲不等式的证明及著名不等式 1. 基本不等式 ⑴定理：如果a, b£R,那么a2 + b2^ 2ab,当且仅当a = b时，等号成立. a + b ⑵______________________________________________ 定理(基本不等式)：如果a, b>0 , 那么2__________________________________________ ab,当且仅当—时，等号成立.也 可以表述为：两个一的算术平均______________________ 它们的几何平均. ⑶利用基本不等式求最值：对两个正实数x, y, ①如果它们的和s是定值，则当且仅当一时，它们的积P取得最值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当一时，它们的和s取得最值. 2. 三个正数的算术一几何平均不等式 a+ b+ c 3 (1) 定理如果a, b, c均为正数，那么3 3abc,当 且仅当时，等号成立. 即三个正数的算术平均_________ 它们的几何平均. ⑵基本不等式的推广 ai + a2 H— + 对于n个正数a b a2, - , an,它们的算__________ 它们的几何平均，即「术平均° ___ n aia2•- an, 当且仅当_______________ 时，等号成立. 3. 柯西不等式 ⑴设a, b, c, d均为实数，则(a2 + b2)(c2+d2)(ac + bd)2,当且仅当ad= be时等号成立. (2)设ai, a2, a3, ••• , an, bi, b2, b3, •- , bn是实数，贝lj(a勺+a?2+…+ a2n)(bi2+b22+ …+ b2n)^(aibi +a2b2+- + anbn)2,当且仅当bi=0(i = 1,2, - , n)或存在一个数k, 使得ai = kbi(i = 1,2, - , n)时,等号成立. ⑶柯西不等式的向量形式：设a,卩是两个向量，则|a||p|,当且仅当卩是零向量，或存在实数k,使a=k卩时，等号成立. 4 •证明不等式的方法⑴比较法 ①求差比较法 知道a>b?a-b>0, a 第2讲 不等式的证明 [学生用书P223] 1．不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法： 知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b 只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法： 由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时，要证明a ＞b ，只要证明a b ＞1 即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法 ①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法． ②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法． (5)数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤： ①证明当n ＝n 0时命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．几个常用基本不等式基本不等式(解析版)
基本不等式证明过程
不等式典型例题之基本不等式的证明
基本不等式002
基本不等式专题 ---完整版(非常全面)
不等式的证明
不等式专题02-基本不等式的证明
不等式选讲(用基本不等式证明不等式)
基本不等式2ab[不等式a2+b2≥2ab的证明]
不等式证明的基本方法 经典例题透析
不等式的性质与证明方法
基本不等式的证明
不等式证明的基本方法
高数不等式证明
教案2第02课时 基本不等式
2 第2讲 不等式的证明
第二讲不等式的证明及著名不等式
第2讲 不等式的证明