判断可逆矩阵的方法
求可逆矩阵的四种方法
求可逆矩阵的四种方法可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有很多应用。
本文将为大家介绍可逆矩阵的四种求解方法，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 列主元素消元法列主元素消元法是一种求解可逆矩阵的常见方法。
这种方法的基本思想是将矩阵的每一列中绝对值最大的元素作为主元素，通过消元达到求解可逆矩阵的目的。
消元的过程中需要遵循一定的规则，如保持主元素所在的列不变等。
2. 求逆矩阵法求逆矩阵法是另一种常用的方法。
这种方法的核心是根据矩阵的伴随矩阵求解矩阵的逆矩阵。
求伴随矩阵的过程需要先求出矩阵的行列式，并计算每个元素的代数余子式。
最后将代数余子式按照矩阵对应位置构成伴随矩阵即可。
逆矩阵的求解需要将伴随矩阵除以矩阵的行列式。
3. 奇异值分解法奇异值分解法也是求解可逆矩阵的重要方法之一。
该方法通过将矩阵进行奇异值分解，从而得到矩阵的逆矩阵。
奇异值分解的过程需要求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成新的矩阵，再将特征值按照从大到小的顺序排列成对角矩阵。
最后通过逆矩阵的公式求解得到原矩阵的逆矩阵。
4. LU分解法LU分解法是一种常用的矩阵分解方法，也可用于求解可逆矩阵。
该方法先将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，然后通过求解分解后的矩阵求解原矩阵的逆矩阵。
LU分解的过程需要使用高斯-约旦消元法将矩阵化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积的形式，然后通过回代求解得到原矩阵的逆矩阵。
综上所述，可逆矩阵的求解方法有很多种。
通过列主元素消元法、求逆矩阵法、奇异值分解法和LU分解法，我们可以得到矩阵的逆矩阵。
这对于线性代数的学习是非常重要的，也为日后的求解问题提供了重要的基础。
矩阵可逆的若干判别方法.doc
山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号**********指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
二阶矩阵的可逆矩阵
二阶矩阵的可逆矩阵
摘要：
一、可逆矩阵的定义
二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
三、可逆矩阵的性质
四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
正文：
矩阵的可逆性是矩阵理论中的一个重要概念，特别是在二阶矩阵中，可逆矩阵的判定和性质有着非常直观的理解。
一、可逆矩阵的定义
一个可逆矩阵，也被称为非奇异矩阵，是指与其行列式值非零的矩阵，即如果一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0，则称A为可逆矩阵。
二、二阶矩阵的可逆矩阵判定条件
对于二阶矩阵，我们可以通过行列式的值来判断其是否可逆。
具体来说，如果一个二阶矩阵A的行列式|A|≠0，则A是可逆矩阵。
这是因为，二阶矩阵的行列式可以表示为其主对角线元素之积减去副对角线元素之积，如果这个值非零，那么矩阵A就可以通过初等行变换进行逆矩阵的求解。
三、可逆矩阵的性质
可逆矩阵具有很多重要的性质，其中包括：可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一，即对于任意可逆矩阵A，都存在唯一的逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵；可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式互为倒数，
即|A|·|A^-1|=1。
四、求解二阶矩阵的可逆矩阵方法
对于二阶矩阵，我们可以通过初等行变换来求解其可逆矩阵。
具体来说，设A=|a11 a12|，|a21 a22|，我们可以通过交换行或者用非零行的倍数替换行来得到单位矩阵，这样得到的矩阵就是原矩阵A的可逆矩阵。
证明矩阵可逆的9种方法是
证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
矩阵可逆的条件
矩阵可逆的条件矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念，一个矩阵是否可逆对于很多问题都有着重要的意义。
矩阵可逆的条件是怎样的呢？下面我们来详细介绍。
矩阵的定义首先，我们来回顾一下矩阵的定义。
矩阵是一个二维数组，由m行n列的数构成。
比如一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix} \]其中每一个\(a_{ij}\)表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的可逆一个矩阵A可逆的条件是存在一个矩阵B，使得\[AB=BA=I\]，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵可逆，那么我们称这个矩阵为非奇异矩阵；如果一个矩阵不可逆，那么我们称这个矩阵为奇异矩阵。
矩阵的条件矩阵可逆的条件有以下几个方面：行列式不为0对于一个n阶方阵A，如果它的行列式\[|A|eq 0\]，那么矩阵A是可逆的，反之亦然。
行列式不为0保证了矩阵A的列是线性独立的，使得矩阵A可以被逆矩阵所逆。
矩阵秩等于行数矩阵A的秩等于它的行数时，矩阵A是可逆的。
这是因为矩阵的秩反映了矩阵A的列空间的维数，如果矩阵的秩等于行数，那么矩阵的列空间就是整个空间，所以矩阵A是可逆的。
列向量线性无关如果一个矩阵的列向量线性无关，那么这个矩阵是可逆的。
列向量线性无关保证了矩阵A的列是一个基，可以表示整个空间，从而使得矩阵A是可逆的。
总的来说，矩阵可逆的条件主要包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。
只有在满足这些条件的情况下，一个矩阵才是可逆的。
结论矩阵可逆是线性代数中一个非常重要的概念，矩阵的可逆性决定了很多问题的解的存在性。
通过本文的介绍，我们了解了矩阵可逆的条件，包括行列式不为0、矩阵的秩等于行数和列向量线性无关。
希望本文能帮助读者更好地理解矩阵的可逆性。
矩阵可逆的若干判别方法
毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.AbstractMatrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.目录引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得==（1）AB BA E这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A-与A为同阶方阵,即11A A AA E --==.定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.定义1.4 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ija 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为A 的伴随矩阵.定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()r A .定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：101101ij p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.注 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：1()1i p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 第三类初等矩阵()ij P c 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：101()01ij p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 定义1.9 如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵. 定义1.10 如果矩阵B 可以由矩阵A 经过有限次初等变换得到，则称矩阵A 与B 是等价的.1.2 基本定理和推论定理1.1 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化，而A 可逆时1*1(||0)A A d A d-==≠证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 其中d A =如果0d A =≠那么由（2）得**11()()A A A A E d d==（3） 当||0d A =≠，有（3）可知，A 可逆，且1*1A A d-=.反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=.两边取行列式，得11A A E -==,因而||0A ≠，即A 非退化.定理 1.2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左侧乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则] 若非齐线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组有唯一解，其解为,1,2,,j j D x j n D==其中(1,2,,)j D j n =是将系数行列式D 中第j 列的元素12,,,j j nj a a a 对应地换成方程组右端的常数项12,,,n b b b ，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项0(1,2,,)i b i n ==，即111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，称为齐次线性方程组.定理 1.4 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组只有零解.证：因为0D ≠，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解,1,2,,jj D x j n D==，又因0(1,2,,)i b i n ==，可知行列式j D 中的第j 列元素全为零（1,2,,j n =），因为0(1,2,,)j D j n ==，齐次线性方程组只有零解. 定理1.5 任意一个矩阵()ij m n A a ⨯=都与一个形如rE O D OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵等价.矩阵D 称为矩阵A 的标准型.证明：若A O =,则A 已是标准型（此时0r =）,结论成立. 若A O ≠,则A 中至少有一个元素不等于零，不妨设110a ≠，用111i a a -乘以第一行加到第i 行上(1,2,,)i m = ，再将所得矩阵的第一列乘以 111j a a -加到第j 列上(1,2,,)j n = ，并将11a 化为1，于是矩阵A 化为''2221''2100010n m mn a a O A O A a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 若1(1)m A O -⨯=（n-1），则已为标准型（此时1r =），若1(1)m A O -⨯≠（n-1），则按上面的方法继续下去，最终有rE O A O O ⎡⎤→→⎢⎥⎣⎦. 推论1.1 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶初等矩阵12,,,s P P P 和n 阶初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得2112r s t E O P P P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令21sP P P P =,12t Q Q Q Q =，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P ,Q 为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当A 为n 阶可逆矩阵时，由A 可逆的充分必要条件，0A ≠.又由推论1.2，存在n 阶可逆矩阵P , Q ,使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 从而 0PAQ P A Q =≠于是只有r n =，所以由如下推论.推论1.3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是的A 等价标准型为n E .推论 1.4 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，A 可逆的充分必要条件是存在n 阶初等矩阵12,,,s P P P 和12,,,t Q Q Q ，使得 2112st n P P P AQ Q Q E =而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有1111111221s n t A P P P E Q Q Q ------=1111111221s t P P P Q Q Q ------=.第二章 矩阵可逆的性质性质2.1 若A 是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若,B C 都是的A 逆矩阵，则B 与C 均满足式AB BA E ==，即,AB BA E AC CA E ====从而有()()B BE B AC BA C EC C =====即 的逆矩阵是唯一的.性质2.2 若A 可逆，则1A -可逆，且A A =--11)(证明：由11A A E AA --==可得1A -可逆且A A =--11)(性质2.3 若A 可逆，则T A 也可逆，且11()()T T A A --=证明：因为11()()T T T T A A A A E E --===,所以T A 可逆，且11()()T T A A --=性质2.4 若A ,B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆且111()AB B A ---=证明：若A ,B 可逆，则1A -，1B - 存在且()()111111()AB B A A BB A AEA AA E ------====所以AB 可逆且111()AB B A ---=若12,,,m A A A 均为同阶可逆方阵，则它们的乘积12m A A A 也可逆且()11111221m mA A A A A A ----=性质2.5 若12,,,m A A A 均为可逆方阵，那么12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦也可逆且111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦性质2.6 若A 可逆，0k ≠，则kA 可逆且111()kA A k --=证明：若A 可逆，则0A ≠，又0k ≠，可得0n kA k A =≠,所以kA 可逆，再由11111()()()kA A k AA AA E k k---=⋅==得111()kA A k --=性质2.7 若A 可逆，则11A A-=. 证明：若A 可逆，则存在1A -，使得1AA E -=, 11AA E -==。
可逆矩阵的判定及求法
逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念袁 必须深入理解.
关于逆矩阵的一条基本定理是院方阵 A 可逆圳|A|≠ 0袁且当
A
可逆时袁有
A-1=
1 dБайду номын сангаас
A*. 求逆矩阵 的方法 有定义法尧公式法尧
初等变换法尧分块矩阵 求逆法等袁其中袁初等变换法是求逆
矩阵 的基本方法 .
1 基本概念与判定尧性质
1.1 逆矩阵的定义
A-1=PsPs-1噎P1
初等行变 换
即有[A,E]要要要→渊 PsPs-1噎P1A,PsPs-1噎P1E冤 =(E,A-1) 渊 2冤 初等列变换法院仿 1 的分析可得到
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 A E
初等列变换 AQ1 噎 Q1 要要要→
EQ1 噎 Q1
E =
A-1
蓘 蓡 例 3
设 X=
2 1
5 3
要计算 |A|袁计算量较大袁且容易出错袁因此用公式法求矩阵
的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵袁 以及
理论问题.例如二级尧三级矩阵就适用公式法袁四级矩阵用此
法就比较麻烦.
2.3 初等变换法
渊 1冤 初等行变换法
因为当 n 级方阵 A 可逆时袁A 可由初等行变换化成单
位矩阵袁即 PsPs-1噎P1A=E. 于是 PsPs-1噎P1E=A-1,这里 PsPs-1噎P1 都是初等矩阵袁可见
阵运算规律从矩阵方程中凑出 AB=E渊 或 BA+E冤 的形式袁从
而可得 A-1=B.这一方法适用于抽象矩阵求逆.
蓘 蓡 例 1
设 A=
a c
b d
袁ad-bc曰求 A-1.
解 因为 |A|=ad-bc=1 ≠ 0 所以 A 可逆.
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判断可逆矩阵的方法
矩阵是线性代数中的重要概念，而可逆矩阵是其中一种特殊的矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵，它在线性代数和各个应用领域中都具有重要的作用。
那么，如何判断一个矩阵是否可逆呢？本文将介绍几种常见的判断可逆矩阵的方法。
一、行列式判断法
判断一个矩阵是否可逆，最常用且简便的方法就是计算其行列式。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式det(A)不等于0，那么矩阵A 是可逆的；如果det(A)=0，那么矩阵A是不可逆的。
二、逆矩阵判断法
逆矩阵是指对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
因此，判断一个矩阵是否可逆，可以通过求解其逆矩阵来判断。
如果一个矩阵A存在逆矩阵B，那么矩阵A是可逆的；如果不存在逆矩阵B，那么矩阵A是不可逆的。
三、秩判断法
秩是矩阵的一个重要性质，它表示矩阵所包含的线性无关的行或列的最大数量。
对于一个n阶矩阵A，如果其秩等于n，那么矩阵A 是可逆的；如果秩小于n，那么矩阵A是不可逆的。
四、特殊矩阵判断法
除了上述常用的方法外，还有一些特殊矩阵的判断方法。
例如，对于对角矩阵来说，只要对角线上的元素都不为0，那么它就是可逆的；而上三角矩阵和下三角矩阵，只要主对角线上的元素都不为0，也是可逆的。
需要注意的是，虽然上述方法可以判断一个矩阵是否可逆，但并不一定能够求解出具体的逆矩阵。
对于某些特殊的矩阵，可以使用化简矩阵的方法来求解逆矩阵，或者利用伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
但这些方法在实际应用中并不常见，通常可以使用计算机软件来求解逆矩阵。
总结起来，判断一个矩阵是否可逆，常用的方法包括行列式判断法、逆矩阵判断法和秩判断法。
其中，行列式判断法是最常用且简便的方法，通过计算矩阵的行列式来判断矩阵的可逆性。
逆矩阵判断法则是通过求解矩阵的逆矩阵来判断矩阵的可逆性。
而秩判断法则是通过计算矩阵的秩来判断矩阵的可逆性。
此外，对于特殊的矩阵，还可以使用特殊矩阵判断法来判断其可逆性。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来判断矩阵的可逆性。