可逆矩阵与正定矩阵
浅谈可逆矩阵的求法
浅谈可逆矩阵的求法逆矩阵是数学中重要的基本概念之一，在《高等代数》和《线性代数》都占有重要的地位，同时，它是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，虽然《高等代数》和《线性代数》均有介绍逆矩阵的一些求法，但知识点比较分散，对适用的题型并没有给出明确的说明，本文从逆矩阵的定义、逆矩阵的性质、矩阵可逆的条件、求逆矩阵的常用方法、逆矩阵在实际问题中的简单应用这五个方面来论述，以便更好更快地解决有关逆矩阵的问题.求解方程()0ax b a =≠可以归结为对于给定的a 求1a -使11a a -=.现在把这个想法用到,Ax B xA B ==上，那么问题就变为对于给定的A ，能否找到1A -使11A A AA E --==.为此引入如下的定义一、 逆矩阵的定义设A 是数域P 上的一个方阵，如果存在数域P 上的n 阶方阵B ,使得AB BA E ==,则称A 是可逆的，此时B 称为A 的逆矩阵。
当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.二、 逆矩阵的性质（1） 可逆矩阵A 的逆是唯一的，且()11A A --=.（2） 设A 是可逆矩阵，则A '可逆，且()()11A A --''=.（3） 设A 是可逆矩阵，则*A 也可逆.（4） 设A 是可逆矩阵，则11A A--=.（5） 设A 是可逆矩阵，则k A 可逆，且()()11kkAA --=.（6） 设A 是可逆矩阵，若AB AC =,则B C =.（7） 设A 是可逆矩阵，数0k ≠，则kA 可逆，而且()111kA A k--=. （8） 如果A 是m n ⨯矩阵，P 是m 阶可逆矩阵，Q 是n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===.（9） A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆，且()111AB B A ---=;一般地，m 个n 阶矩阵，()1i A i m ≤≤的积可逆，且()1111112121m m m A A A A A A A ------⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.三、矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠.（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换化为n 阶单位矩阵. （3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积. （4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关. （5）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是线性方程组0Ax =仅有零解.（6）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是对任一n 元列向量b ，方程组Ax b =均有唯一解. （7）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值不为零.（8）正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的.（9）任何可逆实方阵都可以分解为正交阵Q 和上三角阵R 的乘积，其中R 的主对角元均为正. （10）设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S 和正交阵P ，使A PS =.四、求逆矩阵的常用方法１、定义法A 是数域P 上的一个n 阶方阵，设如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵，当A 矩阵可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1A -.例1：求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵.解：因为0A ≠，所以1A -存在，设1112131212223313233x x x A x x x x x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由定义1AA E -= 于是 111213212223313233223100110010121001x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦由矩阵乘法及矩阵相等得1112131,4,3x x x ==-=- 2122231,5,3x x x ==-=- 3132331,6,4x x x =-==1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.２、伴随矩阵法由矩阵可逆的条件知，当0A ≠时，1*1AA A-=. 例2：证实矩阵a b A b a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦可逆，当且仅当A 不是零矩阵，并在当0A ≠时，求1A -. 证明：A 可逆，⇔220A a b =+≠⇔a 、b 中至少有一个不为零⇔0A ≠ 当0A ≠时，有0A ≠，故1*2211a b A A b a A a b--⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦. 注：伴随矩阵法求矩阵的逆，一般适用于矩阵的阶数较低时. ３、初等变换法初等行变换： )()(1||A E E A -−−−−→初等行变换初等列变换： 1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换例3：用初等行变换求矩阵231013125A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解)(231100125001125001013010013010013010125001231100006112A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦11341006631250011250113013010013010010122019102111111001001663663⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦于是 1113410066313010122111001663A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦. ４、分块矩阵法常用分块矩阵求逆矩阵的类型如下：（1） 11111221s s A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2) 11121211s sA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (3) 111100A C A A CB B B ----⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (4) 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. (其中(1,2,)i A i s =⋅⋅⋅均为可逆矩阵，A 、B 都为可逆矩阵)下面证明111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（其中A ,B 分别是k 级和r 级的可逆矩阵，C 是r k ⨯矩阵），其它可类似证明.证明：设111212122x x D x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是11122122000kr x x E A x x E C B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，这里，k E ，r E 分别表示k 级和级r 单位矩阵，乘出并比较等式两边，得11121121122200k rAx E Ax Cx Bx Cx Bx E =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 由第一式得111112,00x A x A --===，代入第四式，得122x B -=,代入第三式，得111211121,Bx Cx CA x B CA ---=-==-因此 111100A A C B B CAB ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 例4：已知矩阵0052002112001100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求1A -.解：将A 分块如下：12005200021012001100A A A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（其中 15221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21211A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦） 求得 1*11112125A A A --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 1*2221211113A A A -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ 于是 112111200331100033012002500A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 5、Hamilton Caley -定理法Hamilton Caley -定理：设A 是数域P 上的n 阶矩阵，()111n n n n f E A a a a λλλλλ--=-=++⋅⋅⋅++为A 的特征多项式，则()1110n n n n f A E A A a A a A a E λ--=-=++⋅⋅⋅++=.若0n a ≠，则()12111n n n nA A a A a E E a ----++⋅⋅⋅+= 所以()112111n n n nA A a A a E a ----=++⋅⋅⋅+. 例5：已知矩阵122131213A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求1A -.解:A 的特征多项式为：()327124fE A λλλλλ=-=-+- 由Hamilton Caley -定理知()3271240f A A A A E =-+-=所以 ()128441171251344735A A A E ---⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 6、拼接新矩阵法在可逆矩阵A 的右上方补加上一个单位矩阵E ，在A 的下方补加上一个负单位矩阵E -，在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵E -化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所得的矩阵就是所要求的逆矩阵1A -.例6：求矩阵013131122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解:01313150122A ==-≠ 所以A 可逆构造矩阵 0131001310101220010100000010000001000A E E⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦将第一行依次乘以-3、-2、1，分别加到第二行、第三行和第五行， 得013100108310104201100000003100001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行 得0131010831000411100831000310001000⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第三行依次乘以2、-3/4和1/4分别加到第四行、第五行和第六行 得01310010831000411100011213300044411100444⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以 1112133444111444A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 7、利用矩阵方程法例7：已知1310012621B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且AB A B =+ 证明：A E -可逆，并求()1A E --.证明：由AB A B =+ 得 AB B A E E --+=即 ()()A E B E E --= 故A E -可逆，且()10310002620A E B E --⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、逆矩阵在实际问题中的简单应用例8：命题1 若 A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，则当A 可逆时，1A BA D CABC D-=-,当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明：当 A 可逆时，由1100nn A B A E A B C D C D CA B E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由Laplace 定理，得1A BA D CABC D-=-同理 当D 可逆时，1100nn E A B A BD C B D CE C D D --⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以1A BD A BD C C D-=-.特别地，当A 可逆时，且AC CA =时，1A BA D CAB AD CBC D-=-=-将命题1的结论加以推广，得到更一般的结论命题2 若 A 为 n 阶矩阵，D 为m 阶矩阵，则当 A 可逆时，1A BA D CABC D-=-当D 可逆时，1A BD A BD C C D-=-.证明方法同命题1.例9：设()m nij A a R ⨯=∈，证明()1,2ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑，则A 为可逆矩阵，即0A ≠.证明：设()12,,n A ααα=⋅⋅⋅，其中i α为A 的列向量 （用反证法）若A 不可逆，则12,n ααα⋅⋅⋅线性相关，即存在一组不全为零的数12,n k k k ⋅⋅⋅ 使11220n n k k k ααα++⋅⋅⋅+= （ * ）令()12max ,,n k k k k =⋅⋅⋅ 显然0k >，不妨设 ik k =，那么由（ * ）式知，jjj i j ii ij ii ij ij j i j i j i j i i i i k k k a a a a a k k k αα≠≠≠≠⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 这与()1,2,ii ij j ia a i n ≠>=⋅⋅⋅∑的假设矛盾，所以0A ≠，即A 可逆.例10：设P 是数域，m n <，m nA P ⨯∈，()n m nB P-⨯∈，1V 和2V 分别是齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，证明：12n P V V =⊕D 的充要条件是A B ⎛⎫⎪⎝⎭可逆. 证明：充分性：因n nA PB ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭，若A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆，则0,0A A x B B ⎛⎫≠= ⎪⎝⎭只有零解 且秩A m =， 秩B n m =-，012x V V ∀∈⋂则0000Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即00A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以00x =即证 {}120V V ⋂= ①又12n V V P +⊆ 因而由①知，()()()()1212dim dim dim dim n V V V V n r B n r B n m m n P +=+=-+-=-+==所以 12n P V V =⊕.必要性：设12n P V V =⊕，用反证法，如果A B ⎛⎫⎪⎝⎭不可逆，则0A xB ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解1x ，那么1100Ax Bx =⎧⎨=⎩ 即112x V V ∈⋂,这与12nP V V =⊕矛盾，从而0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭只有零解，即0A B ≠ 因而A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭可逆.参考文献［1］ 北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M ］.北京：高等教育出版社，1978:91-99,177-181.［2］ 方保镕，周继东，李医民.矩阵论［M ］北京：清华大学出版社，2004.11. ［3］ 钱吉林.高等代数解题精粹（第二版）.北京：中央民族大学出版社，2002.10. ［4］ 张禾瑞，郝炳新.高等代数［M ］.北京：人民教育出版社，1980:157-168.［5］ 武汉大学数学系数学专业.高等代数（修订本）［M ］.北京：人民教育出版社，1980:35.［6］高等代数与解析几何，同济大学数学系编［M］.北京：高等教育出版社，2005.5.［7］陆媛.求逆矩阵的几种常用方法［J］.林区教学，2011，（02）.［8］程云鹏.矩阵论［M］.西北工业大学出版社，1998.12.［9］赵礼峰.高等代数解题方法［M］.合肥：安徽大学出版社，2004.8.［10］许莉.试谈求逆矩阵的方法［J］.承德民族师专学报，1997.(02).［11］高明.逆矩阵的求法［J］.阴山学刊（自然科学版），2006.(02).［12］杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析［J］.高等函授学报（自然科学版）.2004.(04).［13］胡淑娟，马宝艳.可逆矩阵及求逆矩阵的方法［J］.科技致富向导，2010.(11).［14］Pullman NP.Matrix Theory and its Applications.1976.［15］Lee W.Johnson,R.Dean Riess.An Introduction to Linear Algebra.China Machine Press.2002.［16］Householder A S. The Theory of Matrices in Number Analysis.Blaisdell Publishing Company,1960.。
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
矩阵的判定条件
关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
矩阵正定
则XTAX = XT CT ACX = (CX)TA(CX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴A是正定的。□
1.5． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。
证明：（ ）
半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有ຫໍສະໝຸດ TAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
∴ A是正定的。□
1.4． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
证明：（ ）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E
∴存在实可逆矩阵C，使A = CTEC = CTC
（ ）若A=CTC，C是实可逆矩阵
∴ f（α，β）是正定的
∴ A是正定的。□
1.3． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。
证明：（ ）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η1η2……ηn，使任取向量α= ，β= ,双线形函数f有:
证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有XTAX >0，XTBX >0
则XT（A+B）X = XTAX + XTBX >0
XTkAX = kXTAX >0
即：A+B ，kA都是正定矩阵。□
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
正定矩阵的性质及判定方法
和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
可逆矩阵的lq分解
可逆矩阵的LQ分解是一种矩阵分解方法，它将一个可逆矩阵分解为两个矩阵的乘积，这两个矩阵分别称为左矩阵和右矩阵。
在数学和工程领域，LQ分解被广泛应用于各种问题求解、系统分析和控制等领域。
可逆矩阵的LQR分解的主要思想是将原问题转化为一个更加易于处理的问题，即通过分解原矩阵，将其转化为两个可直接求解的子问题。
在LQ分解中，左矩阵通常是一个低维矩阵，右矩阵是一个正定矩阵。
通过对原矩阵进行分解，可以将原问题的求解转化为求解两个子问题的解，从而大大降低了问题的复杂度。
具体来说，左矩阵通常是一个低维矩阵，可以通过一些算法（如奇异值分解）得到。
右矩阵是一个正定矩阵，可以通过求解线性方程组得到。
通过将原问题转化为求解两个子问题，可以大大简化问题的求解过程，并且可以得到更加精确的解。
在实际应用中，LQ分解已经被广泛应用于控制系统、信号处理、通信等领域，并且取得了很好的效果。
在实际应用中，可逆矩阵的LQR分解也存在着一些挑战和限制。
首先，对于一些复杂的系统或问题，可能需要使用更加复杂的方法来求解左矩阵和右矩阵。
其次，对于一些特定的系统或问题，可能无法得到有效的分解方法。
最后，由于LQ分解将原问题转化为两个子问题，因此可能会增加计算的复杂性。
综上所述，可逆矩阵的LQR分解是一种非常有效的矩阵分解方法，它可以将一个可逆矩阵分解为两个低维矩阵和正定矩阵的乘积。
通过将原问题转化为求解两个子问题，可以大大简化问题的求解过程，并且可以得到更加精确的解。
虽然在实际应用中存在一些挑战和限制，但是它仍然被广泛应用于各种领域，并且取得了很好的效果。
未来随着计算技术的不断发展，我们相信LQ分解将会在更多领域得到应用和发展。
线性代数_华中农业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_华中农业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设方阵A 和B 相似，则它们一定相似于同一个对角矩阵.参考答案:错误2.初等行变换与初等列变换均不改变矩阵的秩.参考答案:正确3.排列326514的逆序数为( )参考答案:84.n阶正定矩阵有n个特征值且全部大于0.参考答案:正确5.所有的实对称矩阵都可相似对角化.参考答案:正确6.正定矩阵一定是可逆矩阵.参考答案:正确7.正交矩阵一定是可逆矩阵.参考答案:正确8.排列 453162 的逆序数为（）参考答案:99.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 相似于对角矩阵的( )参考答案:充分而非必要条件10.所有的方阵都可相似对角化.参考答案:错误11.可逆矩阵的行最简形为单位矩阵.参考答案:正确12.二次型的标准形是唯一的.参考答案:错误13.设A，B为n阶正定矩阵，则AB也是正定矩阵.参考答案:错误14.A+B和BA都有意义的充要条件是：矩阵A和B是（）参考答案:同阶方阵15.n阶正定矩阵有n个非负的特征值.参考答案:错误16.排列32514的逆序数为（）参考答案:517.设A和B是阶方阵，则以下命题不正确的是（）参考答案:若A和B是初等方阵，则A B也是初等方阵18.设n阶方阵A与B相似，则下列命题不正确的是（）参考答案:A与B的特征向量相同19.设A,B,C是同阶方阵，且A可逆，则下列命题中，正确的是（）参考答案:若AB=AC，则 B=C._若AC=0，则 C=0.20.若 A,B,C为同阶方阵, 满足AB=C, 且A与B可逆，则C也可逆.参考答案:正确21.正定矩阵是可逆矩阵.参考答案:正确22.下列命题中，正确的是（）参考答案:若则或_若则或23.A+B和AB都有意义的充要条件是:矩阵A和B是（）参考答案:同阶方阵。
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可逆矩阵与正定矩阵
可逆矩阵与正定矩阵是线性代数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。
正定矩阵是指其顺序主子式均大于0的n阶方阵。
若矩阵A是正定矩阵，则其行列式|A|大于0，且矩阵A满秩，一定可逆。
也就是说，正定矩阵一定是可逆矩阵。
可逆矩阵是指在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n 阶方阵B使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A是可逆的，且B 是A的可逆阵。
可逆矩阵具有多种等价条件，例如：
1.AB=E（E为单位阵）。
2.矩阵A满秩（即r(A)=n）。
3.A的特征值全不为0。
4.A的行列式|A|≠0，也可表述为A是非奇异矩阵（即行列式不为0的矩阵）。
5.齐次线性方程组AX=0仅有零解。
6.非齐次线性方程组AX=b有唯一解。
7.任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
总之，正定矩阵一定是可逆矩阵，但可逆矩阵不一定是正定矩阵。