矩阵可逆的条件
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
可逆线性变换与可逆矩阵的判定
可逆线性变换与可逆矩阵的判定可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将解释什么是可逆线性变换和可逆矩阵，并介绍如何判定它们的性质。
1. 可逆线性变换可逆线性变换是指一个线性变换，它既是一对一的（injective），又是满的（surjective）。
换句话说，对于一个可逆线性变换 T，存在另一个线性变换 T'，使得 T(T'(v)) = v 对于所有的向量 v 成立。
我们可以用一个方程来表达可逆线性变换：Tv = u，其中 T 是一个n×n 的矩阵，v 和 u 是 n 维列向量。
如果存在另一个矩阵 S，使得 ST =I 和 TS = I（I 是单位矩阵），那么 T 是可逆的。
2. 可逆矩阵可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
如果一个 n×n 的矩阵 A 可逆，那么存在另一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
一个矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
也就是说，如果det(A) ≠ 0，那么 A 是可逆的。
3. 判定可逆线性变换和可逆矩阵为了判定一个线性变换或矩阵是否可逆，我们可以使用以下方法：3.1. 行化简对于矩阵 A，通过行变换将其化为阶梯形矩阵。
如果阶梯形矩阵的每一行都不全为零，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.2. 行列式计算矩阵 A 的行列式 det(A)，如果det(A) ≠ 0，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.3. 逆矩阵计算矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}。
如果 A^{-1} 存在，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
需要注意的是，可逆矩阵和可逆线性变换具有相同的性质。
如果一个线性变换可逆，则对应的矩阵也是可逆的，反之亦然。
4. 应用可逆线性变换和可逆矩阵在许多领域都有重要应用，例如图像处理、密码学和通信系统等。
在图像处理中，我们可以使用可逆线性变换来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
n阶矩阵a可逆的充分必要条件
n阶矩阵a可逆的充分必要条件一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
充分必要条件:
1.矩阵A的行列式不为0。
证明：如果A的行列式为0，则存在一个n元方程组Ax=0，使得方程组无解，即A没有逆矩阵。
反之，如果A 的行列式不为0，则存在一个n元方程组Ax=b，使得方程组有唯一解，即A有逆矩阵。
2.矩阵A的秩为n。
证明：如果A的秩小于n，则存在一个n元方程组
Ax=0，使得方程组有无穷多解，即A没有逆矩阵。
反之，如果A的秩等于n，则存在一个n元方程组Ax=b，使得方程组有唯一解，即A有逆矩阵。
综上所述，一个n阶矩阵A是可逆的充分必要条件是它的行列式不为0，并且它的秩为n。
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵有以下几种：
1. 单位矩阵：由对角线上全为1的方阵组成，具有很好的性质和特点。
2. 对角矩阵：由对角线上的元素非零而其他元素为零的方阵组成，对角矩阵的逆矩阵也是对角矩阵。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵：只有上（下）三角元素非零且在主对角线上具有相同的非零元素，逆矩阵也是上（下）三角矩阵。
4. 原子矩阵：原子矩阵是指所有元素只有0和1组成的矩阵，对于正方形原子矩阵，当且仅当原子矩阵的行列式不为零时，它才可逆。
5. 置换矩阵：置换矩阵是一种特殊的方阵，每行和每列只有一个元素为1，其他元素都为0，其逆矩阵也是一个置换矩阵。
6. 倒数矩阵：倒数矩阵指的是元素都是数的倒数而构成的矩阵，只有非零元素的倒数矩阵可以逆。
除了上述常见的可逆矩阵之外，还有一些特殊的矩阵，如奇异矩阵（不可逆矩阵）和对称矩阵等。
可逆矩阵的范数
可逆矩阵的范数一、引言矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的范数也是矩阵理论中的重要内容。
在矩阵范数中，可逆矩阵的范数是一个非常重要的概念。
本文将详细介绍可逆矩阵的范数。
二、可逆矩阵1. 定义在线性代数中，一个n×n方阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n×n 方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
如果不存在这样的B，则称A为奇异或不可逆矩阵。
2. 性质（1）若A、B均为n×n方阵，则AB可逆当且仅当A和B均可逆。
（2）若A、B均为n×n方阵且都是可逆的，则(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
（3）若A是一个n×n方阵，则下列条件等价：① A是非奇异的；② A可以表示成有限个初等行变换后所得到的简化行最简形式；③ A可以表示成有限个初等列变换后所得到的简化列最简形式。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是将一个矩阵映射到一个实数的函数，通常记作∥A∥，表示矩阵A的大小。
在实际应用中，矩阵范数可以用来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。
2. 常见的矩阵范数（1）Frobenius范数：Frobenius范数是最常见的一种矩阵范数，它定义为：∥A∥F=√(ΣiΣj|aij|²)，其中aij表示A中第i行第j列的元素。
（2）1-范数：1-范数也称为列和范数，它定义为：∥A∥₁=max(Σi|aij|)，其中j取值从1到n。
（3）2-范数：2-范数也称为谱范数或者算子模长，它定义为：∥A∥₂=σ₁(A)，其中σ₁(A)表示A的最大奇异值。
（4）无穷大-范数：无穷大-范数也称为行和范数，它定义为：∥A∥∞=max(Σj|aij|)，其中i取值从1到n。
四、可逆矩阵的范数1. 定义可逆矩阵的范数是指可逆矩阵A的所有范数中最小的那个，即∥A∥⁻¹=min{∥A⁻¹B∥|B为n×n矩阵}。
1-3.3(矩阵可逆的充要条件)
否则 B最后一行元均为零, BX=O有非零解, 矛盾! 于是B可经一系列初等行变换化为行简化阶梯形I
§1.3 逆矩阵
1. 2. 3. 4. 3→4:
A是可逆的； AX = O只有零解； A与I 行等价； A可表为有限个初等矩阵的乘积. 由条件，A可经行初等变换得I. 故存在初等矩阵 E1 ,..., Ek 使得
§1.3 逆矩阵
Ek E1 A I
A E11 Ek 1I E11 Ek 1
4→: 显然(why?)
§1.3 逆矩阵
推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件 是A可逆. 证 充分性: A可逆，则AX=b有唯一解 X A1b 必要性: 反证 设AX = b有唯一解X0 , 但A不可逆. A不可逆 AX = 0有非零解Z. 令Y=X0+Z, 则Y为AX = b的解，矛盾! [结束]
三. 矩阵可逆的充要条件
定理2 设A为n阶矩阵，则如下命题等价: 1. A是可逆的； 2. AX = O只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积. 证 1→2: 2→3: 显然(why?) 设A经一系列初等行变换化为行阶梯形B 断言: B的对角元均非零
则BX = 0只有零解.
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。
如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。
一、矩阵可逆的基本概念（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得AB=BA=I则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作B= A -1。
注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。
（2）矩阵A 的行秩等于列秩。
（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。
（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）Tn ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。
二、矩阵可逆的性质（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1=A 。
（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1。
（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T。
（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=λ1A -1。
（5）若矩阵A 可逆，则|A -1|=||1A 。
（6）矩阵A 的逆矩阵A -1=||*A A 。
（7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。
三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，记为B=A -1。
例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001所以矩阵A 可逆。
注：此方法大多适用于简单的矩阵。