一般矩阵可逆的判定

一般矩阵可逆的判定Good（11统计数学与统计学院 1111060231）摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。

在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。

由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。

对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。

在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。

然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。

关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；∀λn≠0；AB=BA=I n0 引言逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。

这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。

对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。

然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。

比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。

对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。

由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。

在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。

对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。

就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。

只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。

而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。

对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。

研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。

那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。

最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。

1 矩阵的概念1.0矩阵的定义定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。

A=a11a12a21a22⋯a1n⋯a2n ⋮⋮a m1a m2⋱⋮⋯a mn1.1逆矩阵的定义定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=I n则称B是A的逆矩阵，记作：B=A−1。

2 矩阵可逆的判定2.0矩阵可逆判定的前提对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。

跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。

如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。

内容不一样，但思想是相通的。

这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。

2.1由定义判定由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵B，使得矩阵AB=BA=I n，那么就可以称矩阵A是可逆的，矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。

记作：B=A−1。

如果不存在方阵B使得AB=BA=I n，那么就说矩阵A是不可逆的。

但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。

下面通过一个例子来分析。

例子1：设存在一个方阵A和方阵C，如下所示：A=200020002C=3−112 011−12解析：从题目可知矩阵A和矩阵C同时满足可逆的前提条件。

但对于矩阵C来说，定义无法直接给出矩阵C的逆矩阵，因而无法判断C是否可逆。

但是却可以马上判断出矩阵A是可逆的，并且可以马上写出矩阵A的逆矩阵B，即：AB=BA=I n200 020 002120010012=120010012200020002=1000100012.2矩阵秩的判定定理1：设A是数域F上的n阶方阵，若A可逆，那么r A=n。

从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。

在例子1中，矩阵A很明显是满秩。

即r A=3，即矩阵A是可逆的。

那么对于矩阵C是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵C是否是满秩的。

C=3−112 011−12=3−1 123130−2353=3−1 123130 0 2经过初等变换，可以得出r C=3,那么矩阵C也是可逆的。

2.3行列式判别法定理2：设A是数域F上的n阶方阵，若A≠0，那么A是可逆的。

对于例子1中的方阵A和方阵C，可以求出A=8≠0，那么方阵A可逆。

对于方阵C，要求相对应的行列式C的值。

通过行列式的性质可将C化简。

C=3−112 011−12=3−1 123130−2353=3−1 123130 0 2=4≠0由于C≠0，所以通过行列式判断C也是可逆的。

2.4特征值判别法定理3：设A是数域F上的n阶方阵，若存在特征向量λ使得A−λI=0，若特征向量λ中的任意的一个元素∀λn≠0，那么A是可逆的。

对于例子1中的矩阵C有C−λI=0，即：C−λI=3−λ−112−λ11−12−λ=0解析：22−λ−λ2−λ3−λ=0λ−1λ−22=0λ1=1,λ2=λ3=2通过求解矩阵C的特征值，对于∀λn≠0，所以矩阵C是可逆的。

3 逆矩阵的求解3.1定义法求逆矩阵从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。

3.2初等变换求逆矩阵定义3：矩阵的初等变换<第一类> 对调矩阵中任意两行（列）的位置。

<第二类> 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。

<第三类> 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。

定义4：若A是数域F上可逆的n阶方阵，则A可以通过初等变换为单位矩阵I,在变换的过程中，当A转换为I时，相应的I也转换为A−1。

记为：A I→I A−1对于例子1中的矩阵C，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵C的逆矩阵C−1。

解析：C I→I C−1−−−→3−112 011−12100010001−−−→1−131323130−2353100−2310−1301−−−→−−−→1−110210−25 1300−210−1301−−−→1−110 110 01 1300−130−121212 −−−→1000100011414−14−35−1−121212，根据定义4，那么C −1=1414−14−35−1−1212 12CC−1= 3−112 011−12 11−1−35−1−111 = 100010001 =I nC −1C = 1414−14−3454−14−11 13−112 011−12 = 100010001 =I n3.3伴随矩阵求逆矩阵定理4：n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 非奇异,那么A−1=A ∗ A，A ∗为矩阵A 的伴随矩阵。

定义5：伴随矩阵：A ∗= A 11A 12A 21A 22⋯A 1n ⋯A 2n⋮⋮A n 1A n 2⋱⋮⋯A nn , A ij 是 A 中a ij 的代数余子式。

A ∗为矩阵A 的伴随矩阵。

定义6： A =a 11A 11+a 21A 21+a 31A 31+⋯+a n 1A n 1= a 1r A 1s n r ,s =1<行列式展开式> 若s ≠r ,则 a 1r A 1s n r ,s =1=0；s =r ， a 1r A 1s n r ,s =1= A ，其中A ij =(−1)i +j M ij <代数余子式> 分析步骤：<1>设n 阶矩阵A 是非奇异阵，那么A 可逆。

那么AA ∗如下所示：AA ∗= a 11a 12a 21a 22⋯a 1n ⋯a 2n ⋮⋮a n 1a m 2⋱⋮⋯a nn A 11A 12A 21A 22⋯A 1n ⋯A 2n⋮⋮A n 1A n 2 ⋱⋮⋯A nn根据定义6可知AA ∗的值为 A I 。

∵若s ≠r ,则 a 1r A 1s n r ,s =1=0；若s =r ， a 1r A 1s nr ,s =1= A∴AA∗=A00 A⋯ 0⋯ 0⋮⋮0 0⋱⋮⋯A=A1001⋯0⋯0⋮⋮00⋱⋮⋯1例子1中的矩阵C∵通过前面的判别分析可以知道矩阵C是可逆的。

∴矩阵C是非奇异的。

下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵C的逆矩阵。

<1>求出伴随矩阵C∗。

C∗= 11−1−35−1−22 2<2>求出矩阵C的行列式C。

C=3−112 011−12=4<3>根据定理4求出矩阵C的逆矩阵C−1=C∗CC−1=C∗=1×11−1−35−1−22 2=11−1−35−1−121212<4>验证AB=BA=I nCC−1=C−1C=I nCC−1=3−112 011−121414−14−3454−14−111=100010001=I nC−1C=11−1−35−1−1212123−112 011−12=100010001=I n<5>结论用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。

除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等多种方法。

这里就不一一介绍这些方法了。

在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。

4 总结在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。

然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。

这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。

本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。

在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。

对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变换法，伴随矩阵法，对于不是研究的人员这已经足够了。

最后，在面对一个2阶方阵a bc d求逆矩阵时，也可以直接套公式A−1=1ad−bcd−c−a a，这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程，也是较为方便的。

参考文献[1]姚慕生，《高等代数学》[M],上海：复旦大学出版社（第二版），2002[2]张禾瑞，郝炳新，《高等代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007[3]同济大学数学系编，《线性代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007。