可逆矩阵判定典型例题
判断矩阵可逆的练习题
判断矩阵可逆的练习题判断矩阵可逆的练习题矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
而判断矩阵是否可逆是矩阵理论中的一个重要问题。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
在开始之前，我们先回顾一下什么是可逆矩阵。
一个n阶方阵A称为可逆矩阵，当且仅当存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵。
练习题1：设A是一个3×3的矩阵，其行列式为2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的行列式必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用伴随矩阵的性质。
伴随矩阵的定义是：若A是一个n阶方阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则adj(A)的元素是A的代数余子式的代数余子式。
对于3×3的可逆矩阵A，其伴随矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/2)adj(A)练习题2：设A是一个2×2的矩阵，其特征值为3和-2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的特征值必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用逆矩阵的性质。
对于2×2的可逆矩阵A，其逆矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/det(A))adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
通过以上两个练习题，我们可以看出，判断矩阵可逆性的关键在于判断矩阵的行列式是否为0。
如果行列式不为0，则矩阵可逆；如果行列式为0，则矩阵不可逆。
在实际应用中，判断矩阵可逆性是非常重要的。
例如，在线性方程组求解中，如果系数矩阵可逆，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或有无穷多解。
因此，掌握判断矩阵可逆性的方法对于解决实际问题具有重要意义。
总结起来，通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
第三章 矩阵的逆例题
1 1 2 2 3 0 1 1 0 0 0 c3 + c1(1) 0
1 0 5 0 0 1
0 1 0 0 1 2 0 1 0 5 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 c3 + c2(2) c3(1/2) 0
3 2 2 1 0 0 3 r2 ( 2) 1 0 1 0 2 3 ， X A B 2 3 . r3 ( 1) 1 3 0 0 1 1 3
1 0 1 求 A1. A 2 1 0 3 2 5 1 1 0 1 0 2 1 0 5 A 3 2 5 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 1 1
在 (A1E)B = 6E 两边左乘 (A1E) 1, 得
0 6 0 0 1 0 B = 6(A1E) 1 6 0 1 3 0 0 2 0 . 0 0 1 6 0 0 1
例 设A, B, ABE 可逆, 证明: (1) AB1 可逆, (2) (AB1)1 A1 可逆. 证明: (1) AB1 = (AB E)B1 因为AB E及B1可逆, 故AB1 可逆. (2) (AB1)1 A1 = (AB1)1 (AB1)1(AB1)A1 = (AB1)1 [E (AB1)A1] = (AB1)1 [E AA1 +B1A1] = (AB1)1 B1A1 为可逆矩阵之积, 故可逆.
第三章 矩阵的逆 例题
思考: 若 A 可逆, A*是否一定可逆?
矩阵的逆的典型例题
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
书后习题：逆矩阵的证明题
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足： 试证A可逆， 试证A可逆，并求 证： 由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆， 且 可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 是 k ≠0
作业： ）、2 ）、4 ）、10、13、 作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1） ）、19（ ）、22（ ）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个 阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空： ） 是两个3阶方阵 、 是两个 阶方阵， 则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵， 是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明： 证明： 因
( E A)( E + A + A + + A
分块法证明矩阵可逆例题
分块法证明矩阵可逆例题哎呀，说到矩阵可逆，大家的第一反应是不是都是一脸懵？别担心，今天咱们就用一个大家能理解的方式来聊聊这个话题，顺便捋顺了。
咱们从头说起，这个“分块法”其实就是一种很巧妙的技巧，挺像是拆解难题的方式。
像是做数学题，平时一眼看上去有点复杂，结果你发现其实可以分成几个小块来解决，每个小块都不难，合起来就能搞定大问题。
先给大家普及一下，什么叫矩阵可逆？就是有一个矩阵，它能够找出自己的“逆”矩阵，咱们把这个逆矩阵和原矩阵相乘，结果是一个单位矩阵。
简单点说，像是你和好朋友玩合力游戏，两个人互相帮忙，最后把大难题都解决了。
这时候，原矩阵和逆矩阵就是一对“搭档”。
如果矩阵有逆矩阵，那就代表它是可逆的，反之就不行。
这时候，分块法就登场了。
啥是分块法呢？简单说，就是把一个大矩阵分成几个小矩阵，逐个突破，搞定它。
就像是你去吃火锅，菜品太多，直接一次性下锅肯定吃不完，可你可以先把火锅分成一小部分，慢慢来嘛！就这意思，把矩阵分成几个块儿，逐步搞定。
说到这里，我猜你可能会想，这分块法是怎么帮助我们证明矩阵可逆的呢？别急，接着往下看。
分块法的核心思想是，把一个大矩阵拆成多个小矩阵，每个小矩阵负责一个小部分的计算。
这样一来，虽然整个问题看起来有点复杂，但通过分块之后，问题就小了，大家各自攻克。
就像你拆了大块的砖石，每块砖都能轻松搬运，累了也能休息一会儿，慢慢就能把整栋楼修好了。
假设我们有一个矩阵A，假设它可以拆分成4个小块，形式看起来就像是这样：A = begin{pmatrixA_{11 & A_{12A_{21 & A_{22end{pmatrix这个矩阵A就被分成了四个小块，A₁₁，A₁₂，A₂₁，A₂₂。
然后，我们的目标就是要证明这个矩阵A是可逆的，怎么做呢？要不然你也可以试着求它的逆矩阵，看它和A相乘能不能得到单位矩阵。
行了，别着急，咱们一步步来。
我们需要假设A₁₁和A₂₂都是可逆的，大家可以理解成它们是两块坚固的砖头，不容易被砸坏。
例1求一可逆矩阵P把
1 0
4 1 1 0 0 0
0 1
得基础解系
P2
1
, P3
0.
1 4
③ 把P1, P2, P3拼成矩阵P,即
1 0 1 P 0 1 0,
1 1 4
则P
1 AP
1 0
0 2
0 0 .
0 0 2
例2 设矩阵A与B相似,其中
A
2 2
0 x
0 2 ,
B
1 0
0 2
解由
3 2
2
A - E k 1 k
4
2 3
1 2 2 0 1 k
0 0 1
( 1)2 ( 1) 0
得A的特征值为: 1 2 1, 3 1.
对于1 2 1时,有
4
(
A
λE
)
k
2 0
2 k
～
4 k
2 0
2 k
4 2 2 0 0 0
当k = 0 时,上式变为
4 0
1
因此,当 k = 0 时,令
1 1 1
1 0 0
P
2
0
0, 则P
1A P
0
1 0.
0 2 1
0 0 1
从上面的讨论和例题可知, A没有重特征值,则A必可对 角化,而当 A有重特征值时,就不一定有n 个线性无关的特征 向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲的二重特征值不能对 应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化 .而在 本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征 向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵 都能对角化.
当3 2时
A
2E
0 2
矩阵理论典型例题
矩阵理论典型例题《矩阵理论》第⼀⼆章典型例题⼀、判断题1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量的范数. ( )2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( )3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )4. 若设nx R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m nA R∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥，则2221||||ni i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算⼦范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )9.设nn CA ?∈可逆，nn CB ?∈，若对算⼦范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆.( )10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶⾣矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n nA C∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )12. 如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( )13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数mA ∞与向量的1-范数相容. ( )14、设n nA C∈是不可逆矩阵，则对任⼀⾃相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )⼆、设m nA C∈，,||||||ij i jA a =，证明:(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.三、试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y µ=，其中，λµ≠，那么x 与y 正交.四、 (1) 设(1)n n A C n ?∈>为严格对⾓占优矩阵，1122(,,,)nn D diag a a a =，其中(1,2,,)ii a i n =为A 的对⾓元，E 为n 阶单位矩阵，则存在⼀个矩阵范数||||?使得1()1r E D A --<.(2) 设n nA C∈,ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。
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典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=nn nnn A A A A A A A2122212*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=nn nnn Ta a a a a a A 2122212 可推出TA 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且l l A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ijn A k 1-, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**==反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==* （2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a aa a a a aa a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i ni ini i i ni ni i ni ii n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑= l 个l 个故), ,2 ,1( 021n j a a a jn j j =====因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此 )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=即BA AB =充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n --=--= 所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12 因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E例6 设A 是)2(>n n 阶方阵, **)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明： （1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*= 即 E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有nA E A A A AA ||||||||||||**===若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆.由E B A A B =+--)()(12 可知A B B A 121)()(---=+由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A11111)()()(-----+=+=+（2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A 两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A因为 A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A 0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故 1111111)()(-------+-=+A B A A A B A同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。