一般矩阵可逆的判定电子教案
矩阵的逆矩阵教案
矩阵的逆矩阵教案一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵的运算中，逆矩阵是一个关键概念。
本教案旨在通过清晰的解释与实例演示，帮助学生理解和掌握矩阵的逆矩阵。
二、基础知识回顾在开始学习矩阵的逆矩阵之前，我们首先需要回顾一些基础知识。
1. 矩阵的定义矩阵是由$m$行$n$列元素排列成的矩形数表，其中每个元素都有自己的位置。
我们通常用大写字母表示矩阵，如$A$。
2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
两个矩阵必须具有相同的阶数才能进行加法和减法运算。
矩阵的数乘即是将矩阵的每一个元素与一个标量相乘。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
我们通常用$A^T$表示矩阵$A$的转置。
4. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。
我们通常用$I$表示单位矩阵。
5. 方阵与可逆矩阵方阵指行数和列数相等的矩阵。
可逆矩阵是方阵中的一种特殊矩阵，存在一个相应的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
三、逆矩阵的定义与性质1. 逆矩阵的定义对于一个$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$A$是可逆的，并称$B$为$A$的逆矩阵。
逆矩阵的记号为$A^{-1}$。
2. 逆矩阵的唯一性如果$A$存在逆矩阵$A^{-1}$，那么$A^{-1}$是唯一的。
3. 矩阵与逆矩阵的相乘若$A$是一个可逆矩阵，$B$是任意一个与$A$行数相同的矩阵，则有$AB=I$和$BA=I$。
四、矩阵的逆矩阵求解方法1. 行列式法求解逆矩阵通过行列式法可以求解$n$阶方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，其中行列式$|A|\neq 0$。
2. 元素法求解逆矩阵通过增广矩阵的方法，可以将方阵$A$与单位矩阵$I$进行行初等变换，得到一个增广矩阵，其中方阵部分为单位矩阵，若能将$A$化为单位矩阵，则增广矩阵右侧部分即为$A^{-1}$。
3. 矩阵的初等行变换法求解逆矩阵通过将$n$阶方阵$[A|I]$进行一系列的初等行变换，可以将$A$化为单位矩阵，此时$[I|B]$即为$A^{-1}$。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
高中数学教案学习矩阵的逆
高中数学教案学习矩阵的逆高中数学教案：学习矩阵的逆一、引言矩阵是高中数学中的重要概念之一，它在数学和其他学科中起到了重要的作用。
在学习矩阵的过程中，一个关键的概念是矩阵的逆。
本教案将详细介绍矩阵的逆以及它在求解线性方程组和线性变换中的应用。
通过本教案的学习，学生将能够熟练地应用矩阵的逆来解决相关的问题。
二、理论部分1. 矩阵的逆的定义在数学中，如果一个n x n矩阵A乘以一个n x n矩阵B，得到的结果是单位矩阵I，那么B就是A的逆矩阵，记作A-1。
即：AB = BA = I。
2. 矩阵逆的存在性只有方阵（即行数和列数相同的矩阵）才有可能存在逆矩阵。
对于一个方阵A，当且仅当它的行列式（det A）不等于0时，A才存在逆矩阵。
否则，A被称为奇异矩阵，无逆矩阵。
3. 求解矩阵的逆为了求解一个矩阵的逆，我们可以利用伴随矩阵和行列式的关系来简化计算。
具体的步骤如下：（1）计算矩阵A的行列式det A。
（2）如果det A = 0，则A是奇异矩阵，无逆矩阵。
（3）如果det A ≠ 0，则计算矩阵A的伴随矩阵adj A。
（4）矩阵A的逆矩阵A-1等于adj A除以det A。
4. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：（1）（A-1）-1 = A（2）(AB)-1 = B-1A-1（3）(AT)-1 = (A-1)T三、应用部分1. 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
考虑一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n x n非奇异矩阵，x和b分别是n维列向量。
通过矩阵的逆，我们可以将方程组表示为x = A-1b。
2. 线性变换逆矩阵也在线性变换中起着重要作用。
给定一个线性变换T：Rn → Rn，如果存在逆变换T-1使得T(T-1(x)) = x对所有的向量x成立，那么T是可逆的。
我们可以通过计算其矩阵的逆来确定线性变换的可逆性。
四、实践部分在本部分，学生将通过训练来巩固他们对矩阵逆的理解。
建议包括以下实践内容：1. 计算方阵的逆矩阵：给出一些方阵，要求学生计算其逆矩阵，并验证结果是否正确。
第三节 可逆矩阵
例5 （选择题） B C 均为ｎ阶方阵，且 ABC = E 均为ｎ阶方阵， 选择题） A 则：下列矩阵为单位矩阵的是
( 4)
(1) ACB (2)CBA (3)BAC (4)BCA
-13-
例6
设 A 为 n阶 方阵 , 证明
(1)
证
A = 0 ⇒ A∗ = 0
( 2)
A∗ = A
n −1
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立 如果 则结论显然成立.如果 如果A≠O, 反证 反证:
线性方程组
(1)
记 A = (a ij ) n×n ，称为 的系数矩阵。 称为(1)的系数矩阵。 记
b1 b= M , bn
称为(1)的常数项向量或右端项(向量 称为 的常数项向量或右端项 向量 。 的常数项向量或右端项 向量)。
x1 x= M 记 xn
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为 称为A的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的, 并把矩阵 称为 的逆矩阵 易知,如果 可逆 则其逆矩阵是唯一的,记作 易知 如果A可逆 则其逆矩阵是唯一的 记作 A −1 . 如果 可逆,则其逆矩阵是唯一的
-7-
定理 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
n
n −1
-14-
例7 设列矩阵 α = (a 0 L 0 a )T ,
a<0
其中A的逆矩阵为 其中 的逆矩阵为B, 则a= ? 的逆矩阵为 1 T 1 T T T 解: Q AB = E ⇒ E + αα − αα − αα αα = E
a
1 T E是n阶的单位矩阵 A = E − αα , B = E + αα 阶的单位矩阵, 是 阶的单位矩阵 a
矩阵的逆
第三节 矩阵的逆教学目的：1、使学生掌握矩阵可逆的定义、性质、判定。
2、用伴随法和初等行变换的方法求逆矩阵教学重点：逆矩阵的判定及求法。
教学过程：由第1节中单位矩阵的第三个性质知，对于n 阶方阵A 和n 阶单位矩阵E ，有AE EA A ==从矩阵乘法的角度来看，n 阶单位矩阵E 在n 阶方阵中的地位类似于数中的1在乘法中的地位。
对于一个不等于零的数a 的倒数可以用等式111aa a a --==来刻画。
那么对方阵A 来说能不能也类似存在一个方阵1A -，有11AA A A E --==呢？由此我们给出了逆矩阵的定义。
定义8.10 对于n 阶方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ，使得AB BA E == 则称方阵A 是可逆的，并把方阵B 称为方阵A 的逆矩阵，记作1A -。
如果方阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是惟一的。
这是因为：设12,B B 都是A 的逆矩阵，则有11121222()()B B EB AB B A B EB B =====所以A 的逆矩阵是惟一的。
下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵A 是可逆的？如果A 可逆，怎样求1A -？ 定义8.12 若n 阶方阵A 的行列式||0A ≠，则称A 为非奇异矩阵(或非退化矩阵)，否则称为奇异矩阵(或退化矩阵)。
定理8.1 若方阵A 可逆，则A 为非奇异矩阵。
(||0A ≠)。
证明 A 可逆，即1A -存在，使1A A E-=。
故1||||||1A A E -==，所以||0A ≠。
定义9.13 设ij A 是矩阵111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中元素ij a 的代数余子式，矩阵1121112222*12n n nnnn A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵。
由行列式按一行(列)展开的拉普拉斯定理得**||000||0||0||A A AA A A A E A ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪⎪⎝⎭，即 **AA A A ==||A E。
（完整版）可逆矩阵教案.doc
（完整版）可逆矩阵教案.doc§1.4可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。
★教学课时： 100 分钟 /2 课时。
★教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。
3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 21 0 1 0A ， B1，则 A 可逆；1 1 11 0 0（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；0 0 31 1 1 1 1 0（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。
0 0 1 0 0 14.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；（ 3）可逆矩阵A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、B 为方阵，则 ABEA 1B 。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：例 5例 61 1 A0 01 2 A24不可逆；不可逆；2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷；3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论a i1A s1a i 2As2La inAsnD,is(i 1,2,L , n) ，0,isa 1 jA 1ta 2 jA2tLa njAntD, j t( j 1,2,L , n) ；0, j t2）写成矩阵乘法的形式有：a11a12La1nA11A21L An1A 0 L 0 a21 a22La2 nA12 A22LAn20 A LM M O M M M O MA EM M O M aan 2LannA1nA2nLAnn0 0 LA3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则A 11 A 21 LA n1A *A 12A22L A n 2MM OMA1n2nLAnn称为 A 的转置伴随矩阵。
高中数学教案矩阵的逆与行列式的计算
高中数学教案矩阵的逆与行列式的计算高中数学教案：矩阵的逆与行列式的计算矩阵是数学中重要的概念之一，而矩阵的逆和行列式的计算是矩阵运算中的关键内容。
本教案将重点介绍矩阵的逆和行列式的计算方法，帮助学生掌握矩阵运算的基础知识。
一、矩阵的逆1.1 矩阵的逆的定义在矩阵运算中，如果对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，矩阵A也被称为可逆矩阵。
1.2 矩阵的逆的计算方法对于一个矩阵A，要求其逆矩阵B，可以使用以下方法进行计算：（1）利用伴随矩阵求逆矩阵：首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将Adj(A)除以A的行列式det(A)，即可得到矩阵A的逆矩阵B，即B = Adj(A) / det(A)。
（2）利用初等变换求逆矩阵：首先，将矩阵A进行扩展，形成一个增广矩阵[ A | I ]，然后通过初等变换将矩阵A化为单位矩阵I，此时，增广矩阵变为[ I | B ]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
二、行列式的计算2.1 行列式的定义在矩阵运算中，行列式是一个重要的概念，用于求解矩阵的性质和方程组的解。
对于一个n阶方阵A，其行列式表示为|A|，计算公式为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12 * a23 * ... * a(n-1)n + ... + a1n * a2(n-1) * ... * ann-1 * ann其中，aij表示矩阵A中的第i行第j列元素。
2.2 行列式的计算方法计算n阶方阵A的行列式的方法主要有两种：代数余子式法和按行（列）展开法。
（1）代数余子式法：首先，根据矩阵A的元素，按照某一行（列）展开，得到n个(n-1)阶子行列式，分别乘以相应的余子式，并进行加减操作，最后得到行列式的值。
（2）按行（列）展开法：首先，选择一行或一列，将矩阵展开成n个n-1阶子行列式的和，然后根据这些子行列式的值，按照正负号的规律进行计算，并最终得到行列式的值。
可逆矩阵的教学设计
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１可逆矩阵的教学设计可逆矩阵的教学设计Һ周倩楠㊀卢㊀勇㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了可逆矩阵的教学设计．首先，从数的四种基本运算这一简单问题出发，引出可逆矩阵的定义；其次，给出可逆矩阵的相关性质；最后，运用依行依列展开定理给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法，并在课堂教学中融入思政教育，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ矩阵；逆矩阵；教学设计ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金青年基金（１１９０１２５３），江苏省高校自然科学基金面上项目（１９ＫＪＢ１１０００９）．一㊁引㊀言逆 在‘现代汉语词典（第７版）“中的解释为：向着相反的方向（跟 顺 相对）．在数学学科中，我们也经常遇到这个字．如高等数学中映射的逆映射㊁初等数学中一个命题的逆命题等．当然，我们也学过一些与逆有关的运算．在数的运算中，加法㊁减法㊁乘法和除法是四种基本运算，其中，数的减法可以看成加法的逆运算，数的除法可以看成乘法的逆运算．可以看出，逆运算使得数的运算更加完善，有助于我们更深入地研究数的相关性质．在我们学习数学知识的过程中，数的加法㊁减法㊁乘法和除法无处不在，每个研究方向都离不开数的四种运算．同样，对于其他理工学科来说，数的四种基本运算也是基本运算，起着不可或缺的作用．所以说，逆运算不仅在数学中占有重要地位，在其他学科中也具有广泛的应用．本次课程涉及的知识点主要来源于线性代数．线性代数是数学的一个重要分支，它的研究对象是向量和向量空间（或称线性空间）．线性代数作为高等教育，尤其是高等数学中的一门重要学科，是理工科包括部分文科学生需要学习的一门专业必修课．在线性代数这一学科中也有许多逆运算．矩阵作为线性代数中的重要知识点和常见的工具之一，其运算中是否存在相应的逆运算？这是一个值得我们思考的问题．本文主要是分析关于可逆矩阵知识点的教学设计．首先，通过简单问题的引入 数的四种基本运算，引出矩阵的逆矩阵问题．其次，通过与学生互动，不断引导学生思考，并给出可逆矩阵的相关性质，如唯一性等．最后，给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题，运用伴随矩阵法求解可逆矩阵的逆矩阵．本文结尾结合本节课知识点的特点融入课堂思政，结合目前在校大学生遇到的实际问题和困难传递正能量，引导学生不断努力拼搏，克服逆境和困难，真正做到教书育人，从而使得本次教学内容更加丰富，并具有启发性．二㊁教学过程（一）问题引入我们知道，关于数有加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，其中数的减法可以看成加法的逆运算．在数的乘法运算中，给定一个非零数ａ，存在唯一的非零数ｂ，使得ａｂ＝ｂａ＝１，我们称数ｂ为ａ的倒数，记为ａ－１．利用非零数的倒数，数的除法可以转化为乘法，如ａｂ＝ａｂ－１，其中ｂʂ０．因此，我们可以说，数的除法运算可以看成乘法运算的逆运算．矩阵作为学习线性代数课程的重要知识点和工具，贯串整个线性代数的学习．矩阵的运算也是我们首先需要考虑的问题．在前面，我们已经学习了矩阵的加法㊁减法及乘法等运算．其中，矩阵的减法是利用矩阵的加法和负矩阵定义的，因此，可以看成矩阵加法的逆运算．对于矩阵乘法，我们思考：是否可以像数的乘法那样定义它的逆运算（即除法运算）？这一问题值得我们研究，而这就是矩阵的逆矩阵问题．我们可以注意到，在矩阵乘法运算中，单位阵Ｅ所起的作用与数的乘法运算中的１相当．因此，类似数的倒数，我们提出问题：对于一个矩阵Ａ，是否存在矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？在不引起歧义的情况下，我们不具体给出单位阵的阶数．由矩阵乘法的定义我们知道，要想讨论这一问题，首先必须确保这一式子是有意义的．由ＡＢ有意义，我们可以得出Ａ的列数必须等于Ｂ的行数．同时由ＢＡ有意义，我们可以得出Ｂ的列数必须等于Ａ的行数．再由ＡＢ＝ＢＡ，我们可以得出Ａ与Ｂ必须是同阶方阵．因此，这类问题只能针对方阵来研究，这是我们研究可逆矩阵的前提和基础．（二）研究问题下面，我们具体给出可逆矩阵的概念．定义１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，则称矩阵Ａ是可逆矩阵，简称Ａ可逆（或非退化），而Ｂ就称为Ａ的一个逆矩阵，否则就称矩阵Ａ不可逆（或退化）．根据可逆矩阵的定义，我们知道，要想判断给定的ｎ阶方阵Ａ是否可逆，就要看是否存在一个ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，如果存在，则矩阵Ａ可逆；如果不存在，则矩阵Ａ不可逆．接下来我们思考：类似非零数的倒数，对一个可逆矩阵Ａ而言，它的逆矩阵Ｂ是否可以写成Ａ－１这一问题将在后㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１面的讨论中解决．首先，由可逆矩阵的定义我们知道：零矩阵一定是不可逆的．因为，对于任意零矩阵而言，它乘以任意与其同阶的方阵都为零矩阵，不为单位阵．同时，由逆矩阵的定义可以看出，单位矩阵的逆矩阵就是其本身．因为单位阵乘以其本身还是单位阵．下面，我们再看这样一个例子：设Ａ＝００１２æèçöø÷，对于任意一个二阶方阵Ｂ＝ａｂｃｄæèçöø÷，由Ａ的第一行元素全为０可知，ＡＢʂＥ，因此，矩阵Ａ一定不可逆．那么，我们就需要思考：什么样的方阵一定可逆？如果可逆，其逆矩阵是否唯一？我们该如何求出可逆矩阵的逆矩阵？下面我们将围绕这三个问题进行讨论，并分别给出回答．首先，我们看唯一性．性质１㊀设Ａ是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一．证明思路：假设矩阵Ａ可逆，且Ｂ，Ｃ是Ａ的任意两个逆矩阵，则有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ及ＡＣ＝ＣＡ＝Ｅ．为了与矩阵Ｃ相联系，我们可得Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）．注意到矩阵乘法满足结合律，所以Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ．因此，我们知道可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的．因为可逆矩阵的逆矩阵具有唯一性，为了方便起见，我们将可逆矩阵Ａ的逆矩阵用Ａ加上上标 －１ 表示，记作Ａ－１，读作Ａ逆（这一写法类似非零数的倒数）．由可逆矩阵的定义，我们还能得到如下一些性质．性质２㊀若方阵Ａ可逆，则Ａ－１可逆，且有（Ａ－１）－１＝Ａ．性质３㊀若方阵Ａ可逆，ａ是一个非零常数，则矩阵ａＡ可逆，且（ａＡ）－１＝１ａＡ－１．性质４㊀若方阵Ａ和Ｂ具有相同阶数且均可逆，则ＡＢ可逆，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．性质２，３和４可以由可逆矩阵的定义得出，其证明可作为课后作业留给学生．下面，我们将具体讨论如何求一个可逆矩阵的逆矩阵．我们做如下分析：设Ａ＝（ａｉｊ）ｎˑｎ是一个可逆矩阵，如何求出矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎˑｎ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？目前，我们只能从可逆矩阵的定义出发．由矩阵乘积的定义，我们知道，ＡＢ＝Ｅ可写成ａｉ１ｂ１ｊ＋ａｉ２ｂ２ｊ＋ ＋ａｉｎｂｎｊ＝１，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（１）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ．根据上式特点，要想通过这样一组式子求出矩阵Ｂ是有困难的，因为通过公式（１），我们还是求不出矩阵Ｂ的元素ｂｉｊ．但是，我们发现，公式（１）与我们之前学过的一个定理类似：依行展开定理．当我们结合依行展开定理ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ ＋ａｉｎＡｊｎ＝Ａ，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（２）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ，即把（１）式中的ｂｉｊ换成矩阵Ａ的元素ａｊｉ的代数余子式Ａｊｉ．通过观察公式（２），我们可以将等号左边看成两个矩阵乘积的（ｉ，ｊ）元，其中ａｉ１，ａｉ２， ，ａｉｎ就是矩阵Ａ的第ｉ行元素．而Ａｊ１，Ａｊ２， ，Ａｊｎ可以看成一个矩阵的第ｊ列元素．为了方便起见，我们将这个矩阵用Ａ加上上标 ∗ 来表示，记作Ａ∗，读作Ａ的伴随矩阵．具体写出来就是Ａ∗＝Ａ１１Ａ２１ Ａｎ１Ａ１２Ａ２２Ａｎ２︙︙ ︙Ａ１ｎＡ２ｎＡｎｎæèççççöø÷÷÷÷．这里需要注意的是，Ａｉｊ位于Ａ∗的第ｊ行第ｉ列．与之对应，等号右边可以看成以Ａ为主对角元的主对角阵．所以，公式（２）可以写成ＡＡ∗＝ＡＥ．利用依列展开定理，可得Ａ∗Ａ＝ＡＥ，结合起来就有ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝ＡＥ．当Ａʂ０时，该式两边同时乘以１Ａ，可得Ａ１ＡＡ∗()＝１ＡＡ∗()Ａ＝Ｅ．由可逆矩阵的定义，我们知道，矩阵Ａ可逆，并且其逆矩阵就是Ａ－１＝１ＡＡ∗．另外，当矩阵Ａ可逆时，有ＡＡ－１＝Ｅ，两边同时取行列式，可得ＡＡ－１＝１，所以Ａʂ０．结合上述分析就有下面的定理：定理１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，则Ａ可逆的充要条件是Ａʂ０，且此时Ａ－１＝１ＡＡ∗．定理１不仅给出了可逆矩阵的一个充要条件，同时给出了求可逆矩阵的逆矩阵的方法，我们将这一方法称为伴随矩阵法．伴随矩阵法是我们求一个可逆矩阵的逆矩阵的有效方法，它区别于逆矩阵的定义．当需要求可逆矩阵Ａ的逆矩阵时，不需要找到矩阵Ｂ，而通过矩阵Ａ自身即可，即求出矩阵Ａ的行列式及伴随矩阵．因此，对于伴随矩阵法，学生需要结合具体例题不断练习，从而真正掌握这一方法，进而计算可逆矩阵的逆矩阵．下面，我们结合一个例题具体应用伴随矩阵法．例１㊀判别矩阵Ａ是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵．其中Ａ＝１１０２１０１－１１æèççöø÷÷．分析㊀要想判别矩阵Ａ是否可逆，结合定理１，需要看其行列式是否不等于０．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１设Ａ＝１１０２１０１－１１，通过计算，可得Ａ＝－１ʂ０，所以Ａ可逆．接下来，我们运用伴随矩阵法求Ａ的逆矩阵．计算Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，得Ａ∗＝１－１０－２１０－３２－１æèççöø÷÷，因此Ａ－１＝１ＡＡ∗＝－１１０２－１０３－２１æèççöø÷÷．课后思考：结合例题及求逆矩阵的伴随矩阵法，我们容易看出，对于一个ｎ阶可逆矩阵Ａ，当ｎ比较小时，如例１中的矩阵Ａ，因为Ａ是３阶方阵，因此，计算其行列式从而判定其是否可逆的难度不大，同样，计算Ａ的伴随矩阵难度也不大，大多数学生都能计算出来．但是，我们在之前学习计算行列式时能够知道，对于一个给定的ｎ阶方阵，当ｎ比较大时，比如一个６阶方阵Ａ，用伴随矩阵法求逆矩阵是比较困难和复杂的．因为我们首先要计算这个６阶方阵的行列式，判定其是否为０，如果不为０，我们还需要计算一些５阶方阵的行列式，从而得到其对应的伴随矩阵，这一计算过程比较烦琐，且计算量较大，很多学生在计算过程中会出现错误．因此，我们发现，用伴随矩阵法计算一个可逆矩阵的逆矩阵要根据给定矩阵的阶数来看，如果阶数较小，可以考虑使用伴随矩阵法，如果阶数较大，那么就需要运用其他方法进行求解．是否还有其他求可逆矩阵的逆矩阵的方法呢？我们将在下节课与大家一起探讨和学习另一种计算可逆矩阵的逆矩阵的方法 初等变换法，建议做好相应的预习和复习工作．（三）内容小结本次课程主要讲解的知识点是可逆矩阵．首先，通过数的加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，以及倒数引入了主要问题 可逆矩阵．其次，我们给出了矩阵的逆矩阵的概念，并通过部分特殊矩阵分析了矩阵可逆的相关性质．再次，通过问题引入引导学生得到了可逆矩阵的几种性质．最后，结合可逆矩阵的定义及依行依列展开定理得到了伴随矩阵的概念以及求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题运用伴随矩阵法计算给定矩阵的逆矩阵．在本次课程的最后，我们还留下相关问题，就是当给定矩阵的阶数比较大时，运用伴随矩阵法是否还能求出其逆矩阵，计算量大不大，同时引出下次课程需要学习的内容 初等变换法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导，让学生思考一些常见的问题，并结合学生之前所学知识（数的加法㊁减法㊁乘法㊁除法㊁倒数问题，以及矩阵的加法㊁减法和乘法运算）一步步达到教学目的．本次课堂的内容由浅入深，主要目的是启发学生在学习过程中不断发现问题㊁思考问题，从而解决问题．希望通过本次课程的学习，学生能够掌握可逆矩阵的相关性质，以及求解可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法．三㊁课堂思政本次课程我们主要教学了可逆矩阵和可逆矩阵的逆矩阵的求法 伴随矩阵法．通过可逆矩阵，我们可以研究类似数的除法的问题．通过学习可逆矩阵，我们能够发现，逆运算能够使数学更加完美．学习数学知识能够锻炼我们的思维能力，培养我们发现问题㊁思考问题及解决问题的能力．同时，我们要学会总结学过的知识．在数学中有逆运算，我们在人生的道路上也会遇到种种逆境与不顺． 逆 字也经常出现在我们的生活中，对于很多人来说，人的一生不一定是一帆风顺的，生活往往会给我们出一些难题．比如，作为一名大学生，在大学学习和生活中，我们离开了父母，很多事都需要自己去面对，要学习如何和老师与同学相处，还要学习如何不断适应社会，从而走入社会．很多学生都经历了线上学习，而线上学习的效果在一定程度上不如线下学习，部分学生在学习过程中产生了抱怨㊁烦躁的心理．他们会担心知识点掌握不牢，不能跟老师和同学近距离讨论问题，等等，学习的效率和效果都达不到预期目标．这些在一定程度上对于学生来说就是逆境．再如，受疫情的影响，很多毕业生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的压力．但是，这些在逆境中成长的学生会更快适应身边不断变化的环境，更快地投入学习，能够通过回看授课视频重复学习，查漏补缺，更好地掌握知识点．当学生走向社会，可能会面临生活和工作中的其他问题，然而，这些困难和逆境往往能使他们的人生更加完美，因为他们在克服困难的过程中得到了知识，获得了成长．相信临近毕业的大学生在回首大学四年的学习生活时，每个人都会有不同的感悟，每个人都有不同的成长．我们也许该感谢这些困难和逆境，因为它磨炼了我们的意志，给予了我们更多的勇气去面对困难，挑战困难．所以，不管我们是在求学过程中还是在工作中，遇到困难和逆境都不要气馁，只要我们坚定信心，勇往直前，不断克服它们，就终将实现人生的理想和目标，真正成为一个对国家和社会有用的人．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１６．［２］同济大学数学系．工程数学线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］潘璐璐，徐根玖，张莹，等．函数在一点处的极限教学设计［Ｊ］．高等数学研究，２０２０（２）．。
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一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定
Good
（11统计数学与统计学院 1111060231）
摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。
在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。
由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。
对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。
在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。
然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。
关键字：阶方阵；；；；
0 引言
逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。
这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。
对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。
然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。
比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。
对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。
由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。
在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。
对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。
就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。
只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。
而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。
对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。
研究方阵的可逆，对于实际
应用才存在实际意义。
那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。
最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。
1 矩阵的概念
1.0矩阵的定义
定义1：令F是一个数域，用F上的个数排成行列的矩阵列，则称为阵，也称为一个F上的矩阵，简记为。
1.1逆矩阵的定义
定义2：设是数域F上的阶方阵，若数域F上同时存在一个阶方阵,使得
则称是的逆矩阵，记作：。
2 矩阵可逆的判定
2.0矩阵可逆判定的前提
对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。
跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。
如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。
内容不一样，但思想是相通的。
这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。
2.1由定义判定
由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵，使得矩阵，那么就可以称矩阵是可逆的，矩阵就是矩阵的逆矩阵。
记作：。
如果不存在方阵使得，那么就说矩阵是不可逆的。
但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。
下面通过一个例子来分析。
例子1：设存在一个方阵和方阵，如下所示：
解析：从题目可知矩阵和矩阵同时满足可逆的前提条件。
但对于矩阵来说，定义无法直接给出矩阵的逆矩阵，因而无法判断是否可逆。
但是却可以马上判断出矩阵是可逆的，并且可以马上写出矩阵的逆矩阵，即：
2.2矩阵秩的判定
定理1：设是数域F上的阶方阵，若可逆，那么。
从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。
在例子1中，矩阵很明显是满秩。
即，即矩阵是可逆的。
那么对于矩阵是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵是否是满秩的。
经过初等变换，可以得出,那么矩阵也是可逆的。
2.3行列式判别法
定理2：设是数域F上的阶方阵，若，那么是可逆的。
对于例子1中的方阵和方阵，可以求出，那么方阵可逆。
对于方阵，要求相对应的行列式的值。
通过行列式的性质可将化简。
由于，所以通过行列式判断也是可逆的。
2.4特征值判别法
定理3：设是数域F上的阶方阵，若存在特征向量λ使得，若特征向量λ中的任意的一个元素，那么是可逆的。
对于例子1中的矩阵有，即：
解析：
通过求解矩阵的特征值，对于，所以矩阵是可逆的。
3 逆矩阵的求解
3.1定义法求逆矩阵
从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。
3.2初等变换求逆矩阵
定义3：矩阵的初等变换
<第一类> 对调矩阵中任意两行（列）的位置。
<第二类> 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。
<第三类> 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。
定义4：若是数域F上可逆的阶方阵，则可以通过初等变换为单位矩阵,在变换的过程中，当转换为时，相应的也转换为。
记为：
对于例子1中的矩阵，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵的逆矩阵。
解析：
3.3伴随矩阵求逆矩阵
定理4：阶矩阵可逆的充要条件是非奇异,那么，为矩阵的伴随矩阵。
定义5：伴随矩阵：
,是中的代数余子式。
为矩阵的伴随矩阵。
定义6：<行列式展开式>
若,则；，，其中<代数余子式>
分析步骤：
<1>设阶矩阵是非奇异阵，那么可逆。
那么如下所示：
根据定义6可知的值为。
∵若,则；若，
∴
例子1中的矩阵
∵通过前面的判别分析可以知道矩阵是可逆的。
∴矩阵是非奇异的。
下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵的逆矩阵。
<1>求出伴随矩阵。
<2>求出矩阵的行列式。
<3>根据定理4求出矩阵的逆矩阵
<4>验证
<5>结论
用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。
除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等
多种方法。
这里就不一一介绍这些方法了。
在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。
4 总结
在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。
然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。
这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。
本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。
在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。
对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变换法，伴随矩阵法，对于不是研究的人员这已经足够了。
最后，在面对一个2阶方阵求逆矩阵时，也可以直接套公式
，这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程，也是较为方便的。
参考文献
[1]姚慕生，《高等代数学》[M],上海：复旦大学出版社（第二版），2002
[2]张禾瑞，郝炳新，《高等代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007
[3]同济大学数学系编，《线性代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007。