可逆矩阵判定典型例题
线性代数2.4可逆矩阵
= O + 4E = 4E 所以
A
1 4
(A
−
3E )
=
E
所以
A 可逆，且
A−1 =
1 (A − 3E)
4
。
（2）因为 (A- 2E)(A − E) = A(A − E)− 2E(A − E) = A2 − A − 2A + 2E
= A2 − 3A − 4E + 6E = O + 6E = 6E
所以 (A- 2E)16 (A − E) = E 也就是 A - 2E 可逆，且 (A - 2E)−1= 1 (A − E)
( ) ( ) 求（1） A∗ （2） A-1 （3） A∗ -1 （4） A∗ ∗
解：（1）因为
21 0
A = 0 1 -3 =2
20 4
又
AA∗ = A∗A = A E
等号各边取行列式有 AA∗ = A E ，
所以 A A∗ = A 3 E = A 3 得到 A∗ = A 2 = 22 = 4
（对于n阶方阵 A ，我们有 关系式 A∗ = A n−1 ）
所以 E − A 可逆，且 (E − )A −1 = E + A + A2 ++ An−1 。
例5 已知 A2 − 3A − 4E = O
证明（1）A 可逆 ，并求 A−（1 2）A - 2E 可逆，并求 (A - 2E)−1 证（1）因为 A(A − 3E) = A2 − 3A= A2 − 3A − 4E + 4E
A31= (−1)3+111 -03 = −3
A32
=
(−
)1 3+2
2 0
−03 = 6
判断矩阵可逆的练习题
判断矩阵可逆的练习题判断矩阵可逆的练习题矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
而判断矩阵是否可逆是矩阵理论中的一个重要问题。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
在开始之前，我们先回顾一下什么是可逆矩阵。
一个n阶方阵A称为可逆矩阵，当且仅当存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵。
练习题1：设A是一个3×3的矩阵，其行列式为2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的行列式必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用伴随矩阵的性质。
伴随矩阵的定义是：若A是一个n阶方阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则adj(A)的元素是A的代数余子式的代数余子式。
对于3×3的可逆矩阵A，其伴随矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/2)adj(A)练习题2：设A是一个2×2的矩阵，其特征值为3和-2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的特征值必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用逆矩阵的性质。
对于2×2的可逆矩阵A，其逆矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/det(A))adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
通过以上两个练习题，我们可以看出，判断矩阵可逆性的关键在于判断矩阵的行列式是否为0。
如果行列式不为0，则矩阵可逆；如果行列式为0，则矩阵不可逆。
在实际应用中，判断矩阵可逆性是非常重要的。
例如，在线性方程组求解中，如果系数矩阵可逆，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或有无穷多解。
因此，掌握判断矩阵可逆性的方法对于解决实际问题具有重要意义。
总结起来，通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
第三章 矩阵的逆例题
1 1 2 2 3 0 1 1 0 0 0 c3 + c1(1) 0
1 0 5 0 0 1
0 1 0 0 1 2 0 1 0 5 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 c3 + c2(2) c3(1/2) 0
3 2 2 1 0 0 3 r2 ( 2) 1 0 1 0 2 3 ， X A B 2 3 . r3 ( 1) 1 3 0 0 1 1 3
1 0 1 求 A1. A 2 1 0 3 2 5 1 1 0 1 0 2 1 0 5 A 3 2 5 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0 0 1 1
在 (A1E)B = 6E 两边左乘 (A1E) 1, 得
0 6 0 0 1 0 B = 6(A1E) 1 6 0 1 3 0 0 2 0 . 0 0 1 6 0 0 1
例 设A, B, ABE 可逆, 证明: (1) AB1 可逆, (2) (AB1)1 A1 可逆. 证明: (1) AB1 = (AB E)B1 因为AB E及B1可逆, 故AB1 可逆. (2) (AB1)1 A1 = (AB1)1 (AB1)1(AB1)A1 = (AB1)1 [E (AB1)A1] = (AB1)1 [E AA1 +B1A1] = (AB1)1 B1A1 为可逆矩阵之积, 故可逆.
第三章 矩阵的逆 例题
思考: 若 A 可逆, A*是否一定可逆?
可逆矩阵264191
1 1 1
例
设A 2 1
0
求 A1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
解 A I 2 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
1 1
1 2
1 2
0 1
0 0
0 2 1 1 0 1
r1 r2 r3 2r2
(1)r2
1 0
0 1
1 2
1 2
1 1
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1) k
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
书后习题：逆矩阵的证明题
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足： 试证A可逆， 试证A可逆，并求 证： 由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆， 且 可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 是 k ≠0
作业： ）、2 ）、4 ）、10、13、 作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1） ）、19（ ）、22（ ）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个 阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空： ） 是两个3阶方阵 、 是两个 阶方阵， 则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵， 是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明： 证明： 因
( E A)( E + A + A + + A
矩阵可逆的若干判别方法.doc
山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号**********指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
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典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则TT A A )()(11--=；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）TT A A )()(**=；（4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n A A A A A A A A A A212221212111*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n Ta a a a a a a a a A 212221212111 可推出TA 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且l l A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ijn A k 1-, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**==反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==* （2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a aa a a a aa a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i ni ini i i ni ni i ni ii n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=故), ,2 ,1( 021n j a a a jn j j =====l 个l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此)())(()())((11BA BA AB BA AB AB --= 即BA AB = 充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n --=--= 所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12 因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E例6 设A 是)2(>n n 阶方阵, **)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明： （1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*= 即 E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有nA E A A A AA ||||||||||||**=== 若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆. 由 E B A A B =+--)()(12可知A B B A 121)()(---=+由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+= E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A11111)()()(-----+=+=+（2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A 两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A因为A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A 故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故 1111111)()(-------+-=+A B A A A B A同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .。