高等流体力学第1讲
高等流体力学_第一讲.
曲面所围体积之比的极限值；
div
a
lim
a
S
nds
V 0 V
封闭曲旋线度所（张cu的rl面or积r比ota值tio的n极）限：；向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该
a dl
rot a lim
S S 0
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
课程简介
一、课程名称:
高等流体力学——水利水电工程 高等水力学——给排水工程（土木工程）
——学什么？
二、教材：
1、高等流体力学？天津大学——新世纪研究生适用教材
相对于本科“水力学”或“流体力学”，在相关问题上进行更深入的理论分析 和论述，以满足现代水力工程对流体力学的要求，有助于提高理论修养，深入理解现代 流体力学的内容。是水力工程以及学科各硕士专业的学位课。
8、地下水中的弥散
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高等流体(水）力学讲稿
2
课程简介
三、内容
环境流体力学——董志勇（共8章）
1、绪论； 2、迁移扩散理论； 3、剪切流离散； 4、射流、羽流和浮射流； 5、水质模型； 6、地下水污染模型； 7、分层流； 8、生态水力学引论。
北京工业大学市政学科部——马长明
五、教、学与评价探讨
课程特点： 1）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐；解题 难度大。 2）学时少（32），所留自学时间也少，而教学内容多。
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数学基础知识
一、正交曲线坐标系
1、直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 1）坐标线与坐标面 2）坐标系间的转化
高等流体力学课件 第一章 流体力学的基本概念
J 0
x y z x0 x0 x0 J x y z 0 y0 y0 y0 x y z z0 z0 z0
有限大的正数
rr r0 , r
互为反函数。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
若已知流线经过点 (x0,y0,z0) ,则参数方程的初始条件可定为，
《高等流体力学》电子课件
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
着眼于流体质点。 描述每个流体质点自始至终的运动，即位置随时间的变化。
r r r r(x 0,y0,z0,t) 式中x0 , y0 , z0 是t =t0 时刻流体质点的空间坐标，用来区分不同的流体质点。
二、流线
1.定义
某时刻，流场中的一条曲线，曲线上各点的速度矢量方向和曲线在 该点的切线方向相同。
2.流线方程的微分方程
d r d i x d j y d k z u u i v j w k
i dru dx u
j dy v
k dz0 w
2.流动物理量随时间的变化
加速度：
ai
ui t
uj
ui xj
其他物理量：
d dt
t uj
xj
dp dt
p t
uj
p xj
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
1.两个参考系间相互联系——雅可比行列式
0 初始时刻流体微团体积 T时刻变形后流体微团体积
1.流动的描述
着眼于空间点。 描述流过每个空间点上的流体质点的运动。
高等流体力学讲义
高等流体力学授课提纲第一章概论§1.1 流体力学的研究对象§1.2 流体力学发展简史§1.3 流体力学的研究方法§1.3.1 一般处理途径§1.3.2 应用数学过程§1.3.3 流体力学方法论：一般方法§1.3.4 流体力学方法论：特殊方法●Lagrange描述和Euler描述●无量纲化●线性化●分离变量法●积分变换法●保角映射法●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法）●控制体积法●微元法第一章概论§1.1 流体力学的研究对象（1）物质四态：●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度；●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、等离子体物理学）；●液体与气体的差别：液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力；气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。
（2）流体的基本性质：易流动性：静止流体无剪切抗力；压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数；粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数；热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。
（3）流体的分类：i）按有无粘性、热传导性分：真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）；理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）；ii）按压缩性分：不可压缩流体，可压缩流体；iii）按本构关系分：牛顿流体（牛顿粘性定律成立），非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）；粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）；时间依存性流体（触变流体、振凝流体）；粘弹性流体拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、高分子流体、纤维树脂；涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减小，如淀粉中加水、某些水-砂混合物；粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流动，如粘土泥浆、沥青、油漆、润滑脂等，所有粘塑性流体为非宾汉流体，宾汉流体为近似；触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高分子物质的油、粘土悬浊液；振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶胶、五氧化钒溶液等；粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒，也不像纯粘性体全部耗散。
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
22
第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
《高等流体力学》第1章 流体运动学
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来
流体微元的旋转角速度 对比：
2
1 ∂v2 ∂v1 1 ∂v2 ∂v1 )+ ( ) ωπ 4 = ( − − 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1
A1 A2
因A1与A2是任取的，故在同一时刻，沿同一涡管各 界面的涡通量不变—涡管通量守恒。 结论： (1)对于同一微元涡管，面积越小，流体旋转角速度 越大； (2)涡管截面不可能收缩到零。
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − −aβα 2 ∂xα ∂xβ
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ Байду номын сангаасαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
高等流体力学第一讲.ppt
v v v v a b (a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 a1 a2 v (a1b2 a2b1 )e3 b1 b2
3
v e1
v e2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v e3 a3 b3
第一讲，附录部分：数学基础
二、场的概念，梯度及方向导数
v v v ai a1e1 a2e2 a3e3
a11 a ij a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
2.求和约定
①在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:
aibi a1b1 a2b2 a3b3
n为自由指标 m为哑指标
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
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第一讲，附录部分：数学基础
3.张量的基本运算规则
（1）克罗内克（Kroneker）符号δ
ij
1 i j ij 0 i j
是二阶单位张量。 符号具有以下重要性质：
v v ij ei e j
两矢量的点积可表示为：
ai bj aiei bj e j aibjij aibi a jbj
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第一讲，附录部分：数学基础
1 i j 符号具有以下重要性质： ij 0 i j
ij jk i11k i 22k i33k
12
第一讲，附录部分：数学基础
（2）里奇（Ricci）置换符号ε
ijk
ijk
1 1 0
偶排列，即：123,231,312； 奇排列，即：213,321,132 有两个或两个以上指标相同。
高等流体力学
概念第一章绪论连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。
流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0.可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。
反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。
牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。
凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。
否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。
运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。
表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。
若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层第二章流体运动学描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数那布拉P9流体质点的运动轨迹称为迹线流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。
流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
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第一讲绪论一、参考教材1.流体力学，周光炯等编写，高等教育出版社2.流体力学，吴望一编写，北京大学出版社3.流体力学的先期课程：数学（微积分、线性代数、复变函数、数理方程、场论、张量分析、数值分析、偏微分方程数值解法乃至泛函分析等等）、力学（分析力学）基础。
二、流体力学的研究方法实验方法:同物理学等其它的自然科学学科的研究方法一样，非牛顿流体力学的研究方法包括理论方法和实验方法。
理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律；实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。
在非牛顿流体力学的发展过程中，实验方法是最先采用的方法，也是最基本的方法。
即使到现在，不使用实验方法，航空航天、大型水利枢纽、聚合物驱油等复杂系统的研究几乎是不可能的。
实验方法主要包括以下几个步骤：○1运用相似理论，针对具体的研究对象确定相似准数和相似准则；○2依据模型律来设计和制造模型，确定测量参数，选择相应的仪器仪表，建立实验装置；○3制定实验方案并进行实验，观察流动现象，测量流动参数；○4运用量纲分析等方法整理和分析实验数据，与其它方法或著作所得的结果进行比较，从中总结出流动规律。
实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。
实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。
解析方法:解析方法是非牛顿流体力学各种研究方法中最为准确的和最为理想的方法。
解析方法主要包括：○1详细分析问题的物理学本质，通过适当的简化建立物理模型；○2运用物理定律建立数学模型，通常是建立起微分方程或微分方程组，确定流动方程边界条件和初始条件；○3运用数学方法求解出流动方程的解析解；○4列举计算实例，然后再与其他方法所得的结果进行比较，以检验物理模型和数学模型的合理性。
解析方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给出各个流动参数之间的函数关系。
解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。
数值方法:数值方法是上个世纪中叶随着电子计算机的问世发展起来的一种求解流动方程的方法。
这种方法的前两个步骤与解析方法相同，所不同的是，○1数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；○2将流动方程转化为关于各个节点上流动参数的代数方程；○3运用计算机技术求解出各个节点上的流动参数。
由于数值方法所得的结果不是连续函数的表达式，而是流动参数在各个节点上的数值，所以这种方法属于一种近似解法。
数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。
数值方法的缺点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。
三、 矢量分析与场论初步（一）标量、矢量和张量在力学、物理学以及其它应用学科中，时常会遇到各种各样的物理量，其中仅用数值大小就能描述的物理量叫做标量，例如温度、密度和高度等；同时还有另外一类量，它们既有大小又有方向，这类量叫做矢量，例如力、位移、速度、加速度等等。
在数学上，往往用一条具有方向的线段来表示矢量。
线段的长度代表矢量的大小，有向线段的方向代表矢量的方向。
一般用黑体字母表示矢量，如用F 、r 、v 、a 来表示力、位置、速度、加速度等等。
矢量也可以用其三个分量来表示，例如直角坐标系中，用于表示位置的矢量r 可表示为r = x i ＋ y j ＋ z k ，矢量的大小称为矢量的模，用|r |来表示矢量r 的模，即r =|r如果两个矢量的大小相等，方向相同，我们就说这两个矢量相等，记为a =b 。
大小为|a |=1的矢量称为单位矢量。
另外一个特殊的矢量就是零矢量，其起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的。
在力学和物理学中，我们还经常会遇到这样的物理量，在3维空间中需要用3n 个分量才能描述的物理量，我们称之为n 阶张量。
例如工程流体力学中遇到过的应变张量和应力张量等。
（二）矢量的加减设有两个矢量a 、b ，其和c =a ＋b 可用下图所示的三角形法则或平行四边形法则表示，按照矢量的三角形法则，可得n 个矢量a i 相加的法则：前一个矢量的终点作为下一个矢量的起点，依次做出各个矢量，则第一个矢量的起点便为和矢量s 的起点，最后一个矢量的终点便是和矢量s 的终点。
设a 为一矢量，与a 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作－a 。
由此规定两个矢量a 与b 的差c =b －a = b ＋(－a )。
a bc ＝a ＋b三角形法则平行四边形法则图1－1 矢量的相加a 1a 2a 3a 5sa 4图1－2 多个矢量的相加（三）矢量的数量积矢量的数量积也称为矢量的点乘，记作a ·b ，表示一个矢量在另一个矢量方向上的投影的大小，即a ·b = |a ||b | cos θ。
由物理学知识可知，力F 从M 1到M 2所做的功为 W =|F | |s | cos θ=F ·s 。
流体力学中的速度环量为xyzu dx u dy u dz Γ=++=⋅⎰⎰u dl 。
由矢量数量积的定义可知， （1）a ·a =|a |2； （2）如果a ·b =0，则a ⊥b ，即两个矢量相垂直的充分必要条件是数量积为0。
（四）矢量的矢量积设矢量c 由两个矢量a 和b 按下列方式确定：（1） c 的模|c |=|a ||b | sin θ，其中θ为a 、b 间的夹角；（2） c 的方向垂直于a 、b 所确定的平面，并且c 的方向按右手规则从a 转向b 来确定，如图A －5所示，即当右手的四指从a 以不超过180度的转角转向b 时，竖起的大拇指指向是c 的方向。
则c 称为a 与b 的矢量积，矢量积也称为矢量的叉乘，即c =a ×b 。
设a =a x i + a y j + a z k ，b =b x i + b y j + b z k ，c =a ×b 也可表达为矢量的数量积21力F 从M 1到M 2所做的功图1－4 矢量的数量积a cb三角形法则平行四边形法则图1－3 矢量的相减c =x y z xyza a ab b b ijk。
由矢量数量积的定义可知， （1）a ×a =0； （2）如果a ×b =0，则a ∥b ，即两个矢量相平行的充分必要条件是其矢量积为0。
（五）矢量的混合积设已知三个矢量a 、b 和c ，先把作a 、b 的矢量积可得到一个新的矢量（a ×b ），再将矢量（a ×b ）与矢量c 作数量积所得到的标量（a ×b ）·c 便是矢量a 、b 和c 的混合积，记为[abc ]。
混合积也可以表示为[abc ]=xy zxy z xyza a ab b bc c c 。
由此可见，[abc ]的大小就是以a 、b 和c 为棱的六面体的体积。
（六）场的概念。
如果某一空间区域内的每一点都对应着某一个物理量的确定值，则称该空间区域为该物理量的场。
而场论就研究标量场和矢量场数学性质的一个数学分支。
如果这个物理量是标量，就称这个场为标量场；如果这个物理量是矢量，就称这个场为矢量场。
例如温度场、密度场等是标量场，而重力场、速度场、电场等是矢量场。
例如，密度场和速度场依次可表述为ρ=ρ（x ，y ，z ，t ）， u =u （x ，y ，z ，t ）。
此外，如果场中物理量不随时间变化，则称为稳定场；如果场中物理量随时间变化，则称为不稳定场。
例如，稳定的密度场和速度场依次可表述为ρ=ρ（x ，y ，z ）， u =u （x ，y ，z ）。
如果场中物理量不随空间位置变化，则称为均匀场；如果场中物理量随空间位置变化，则称为不均匀场，则。
均匀的密度场和速度场依次可表述为ρ=ρ（t ）， u =u （t ）。
如果场的物理量可用一个空间坐标来描述的话，则称之为一维场，即ρ=ρ（x ，t ）， u =u （x ，t ）。
同样定义二维场和三维场，即ρ=ρ（x ，y ，t ）， u =u （x ，y ，t ）。
图1－6 矢量的混合积aba ×b图1－5 矢量的矢量积ρ=ρ（x ，y ，z ，t ）， u =u （x ，y ，z ，t ）。
用几何图形来表述场便于直观地理解问题，并且有实用价值。
在空间标量场φ(r , t )中，由φ(r , t )=c 的点组成的面称为等值面，平面场φ(r , t )=c 的点构成的线称为等值线。
我们可以依据等值面或等值线的相互位置和它的疏密程度看出标量场的变化情况。
例如，等值线比较密的地方场的变化较为剧烈；等值线比较疏的地方场的变化较为平缓。
可用矢量线表述矢量场。
矢量线是指矢量场中的这样一条曲线，在某一瞬时该曲线上每一点的切线方向与该点的场的方向重合。
由此可见，以前所学过的电力线、磁力线和流线等都是矢量线。
设d r 是矢量场u 的矢量线的切向微元矢量，则由d r ∥u 的平行条件u ×d r =0可得(,,,)x dxu x y z t =(,,,)y dy u x y z t =(,,,)z dz u x y z t 。
矢量线不仅可以反映出矢量场的方向，而且还可以反映出矢量场中矢量大小，矢量线密集处矢量较大，反之亦然。
（七）标量场梯度（gradient ） 给定的标量场φ(r , t )如图1-7所示。
过M 点等值面φ(r , t )=φ(M , t )=c 及等值面的法线方向n ，n 指向增加的方向。
再在法线n 上取一个与M 点无限接近的点M 1，过M 1点作等值面φ(r , t )= φ(M 1, t )=c 1。
现在我们过M 点再作任意方向的矢量s ，与φ=c 1交与M’点。
根据方向导数的定义，则n 、s 方向上的导数可分别表示为1011()()limMM φM φM φn MM →-∂=∂， 10(')()lim'MM M M s MM ϕϕϕ→∂-=∂， 从图中可以看出MM 1='cos(,)MM n s ，而φ(M 1, t )=φ(M’, t )。
所以有s∂∂ϕ=10(')()lim'MM M M MM →-ϕϕ=1011()()cos(,)limMM M M MM →-ϕϕn s=cos(,)n∂∂ϕn s 上式表明，任意方向上的方向导数s ∂∂ϕ都可以通过n ∂∂ϕ及s 与n 两方向间夹角的余弦表示出来。