人教版七年级数学下册教案 6.1 平方根(3课时)

第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1 平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．【过程与方法】加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】算术平方根的概念．【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P40的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0.4．求下列各数的算术平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)23.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)0.36；(3)214；(4)412－402.【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？ 【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6. (3)∵⎝⎛⎭⎫322＝94＝214，∴214的算术平方根是32. (4)∵412－402＝81，92＝81，∴81＝9.∵32＝9， ∴412－402的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为( A ) A.5 B ．25 C ．±25D ．±52．一个数的算术平方根是34，这个数是( C )A.32 B ．34C.916D ．不能确定3．要切一块面积为0.81 m 2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是 2.5．已知3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知x 、y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？【解答】由题意，得x －1＝0，y －2＝0， 所以x ＝1，y ＝2. 所以x －y ＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即a ≥0，|a |≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0a ≥0练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 估算算术平方根教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识． 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数． 【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小． 【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7)都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍⎝⎛⎭⎫1100，10000倍⎝⎛⎭⎫110000…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍⎝⎛⎭⎫110，100倍⎝⎛⎭⎫1100… 3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法： 大多数计算器都有 键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON 键开机，再按键、“被开方数”、＝，即可显示“算术平方根”． 4．与37最接近的整数是( B ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小： (1)5与1.9； (2)6＋12与1.5. 【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小，再比较6与2的大小，从而进一步比较6＋12与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以5>4，即5>2，所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以5>1.9.(2)因为6>4，所以6>4，所以6>2，所以6＋12>2＋12＝1.5，即6＋12>1.5.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．估计5＋1的值，应在(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．估算19－2的值(B)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．计算：(1)1225；(2)36.42(精确到0.001)；(3)13(精确到0.001)．解：(1)1225＝35.(2)36.42≈6.035.(3)13≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时，d＝7×16－12＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时，即7×t－12＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】平方根的概念．【教学难点】求一个数的平方根．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．4．下列说法不正确的是(C)A．－2是2的平方根B.2是2的平方根C ．2的平方根是 2D ．2的算术平方根是 2 5．求下列各数的平方根： 16,0，49，242.解：16的平方根是±4. 0的平方根是0. 49的平方根是±23. 242的平方根是±24. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根： (1)12425； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)81.【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵12425＝4925，⎝⎛⎭⎫±752＝4925，∴12425的平方根是±75，即±12425＝±75. (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±(－4)2＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？ 【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0. 即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．活动2 巩固练习(学生独学)1．关于平方根，下列说法正确的是( B ) A ．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数 B ．负数没有平方根C ．任何一个数只有一个算术平方根D ．以上都不对2．如果a 、b 分别是16的两个平方根，那么ab ＝－16. 3．若25x 2＝16，则x 的值为±45.4．求下列各数的平方根：(1)196； (2)10－4； (3)144169； (4)3625.解：(1)±14. (2)±10－2. (3)±1213. (4)±95.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x 的值． (1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x 的值吗？【解答】(1)∵x 2＝361，∴开平方，得x ＝±361＝±19. (2)整理，得x 2＝4981，∴开平方，得x ＝±4981＝±79. (3)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x －1＝±5. 当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方根⎩⎪⎨⎪⎧平方根的概念平方根的性质开平方及相关运算练习设计请完成本课时对应练习！。