直线与直线方程经典例题doc资料
必修2 第二章 解析几何初步
第一节：直线与直线方程（王建明）
一、直线的倾斜角和斜率
（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，
把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，
叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）
（2）斜率k=tan α=1
212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k
的取值范围。
例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。
练习：
1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12
，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4
变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--
2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．
点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．
答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直
1.平行的判定：
2. 垂直的判定：
例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？
（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。
练习：
的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+
的值平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++
例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）.
例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。
练习：
1.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？
答案：a=-1
2.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．
答案：3x －2y －5＝0.
三、直线的方程
1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0)
1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)
2、 两点式: 121y y y y --=1
21x x x x -- (斜率存在，不能为0) 3、 一般式：A x +B y +C=0 (任意直线)
4、 截距式：
a x +b
y =1 (斜率存在且不过原点且不为0) 典型例题 表示
b ＋kx ＝y 的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D 1表表
by x 可以用方程．不经不经过原点的直C 表示
)y －)(y x －(x ＝)x －)(x y －(y 程 的直线直线都可以
)y ，(x P 、)y ，(x P ．经经过任意两个不同B 表示
)x －k(x ＝y －y 的直线直线都可以用)y ，(x P ．经经过定A )
(四种种法中正确的1.下12112122211100000=+a 面例 例2.求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
例3.已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，2
3)． (1)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．
例4.方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2
＋m －1)y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．
(1)方程能够表示一条直线；（答案：m 1-≠）
(2)方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：m 2-=）
例5.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．
(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35
)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）
(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
练习：
1.若直线7x ＋2y －m ＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m ＝( )
A ．14
B ．－14
C ．0
D ．14或－14
2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。
4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。
5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
四、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21=0相交于一点，则k=
（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱= 212212)()(y y x x -+-
例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。
例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA ︱值。
例.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．
(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35
)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）
(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）
五、点到直线的距离
例1：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。
例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。
(a ＜0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
练习：
1.已知△ABC 中，A (－2，1)，B (3，－3)，C (2，6)，试判断△ABC 的形状
2.求过点M (－2，1)且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线方程．
3.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )
A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1
4.已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，求△ABC 的面积．
六、两平行直线间的距离
例1：求平行直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0的距离
例2：已知直线l1：（t+2）x+(1-t)y=1与l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。
例3：求点A（2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。
练习：
1.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，
求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．。
直线方程及常考题型
直线的方程经典例题一 定点问题3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点____4方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫ ⎪⎝⎭7求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点二直线系方程1当210<<k 时，直线k x ky l k y kx l 2,1:21=--=-：直线的交点在（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限B2若直线l ：3y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 （） .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于13 9三 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ） A12mn B 1||2mn C 12mn D 12||mn 6 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．7．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程 35340x y +-=．8.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。
9三 最值问题1 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 43.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ）A （5,0）B （13,0）C （0,13）D （3.4,0）6已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.7810已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）5直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是（）.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=10已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=15求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标17求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.2021。
(完整版)直线与方程练习题及答案详解
直线与方程练习题及答案详解一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线与直线的方程(超经典)
课题：直线与直线方程考纲要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系 •教材复习1.倾斜角：一条直线I 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角， 叫做直线的倾斜角， 范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是 90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ;当直线的倾斜角等于 90时，直线的斜率不存在。
若X i x ，则直线RP 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .3. （课本R 36）直线的方向向量：设 A, B 为直线上的两点，则向量 AB ^与它平行的向量都称为直线的方向向量.若AX|,y i ， B x 2, y 2 ，则直线的方向向量为 A B x 2为，『2 y i直线Ax By C 0的方向向量为 B,A .当x i x 2时，i,k 也为直线的一个方向向量. 4. 直线方程的种形式：基本知识方法1. 直线的倾斜角与 斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角 90时，k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率.2. 求直线方程的方法：2.过两点 R X i ,y i , F 2 x 2, y 2x ix 2的直线的斜率公式：k tany 2 y i1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程；2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程•再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.4. 直线方程一般要给出一般式.典例分析：考点一直线的倾斜角和斜率问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角;2求直线AB的方程；3若实数m，求AB的倾斜角的范围.问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域.3 cos考点二求直线的方程I、可题3 .求满足下列条件的直线I的方程：L1 过两点A 2,3 , B 6,5 ;2 过A 1,2，且以了 2,3为方向向量;3过P 3,2，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；4过A5,2，且在x轴，y轴上截距相等；5在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为考点三与直线方程有关的最值问题问题4. 1 （06上海春）直线I过点P 2,1，且分别与x, y轴的正半轴于A,B两点，O 为原点•求厶AOB面积最小值时I的方程，2 PA PB取最小值时I的方程•6 ；考点四直线方程的应用内部有一文物保护区不能占用，经测量，AB 100m，BC 80m，AE 30m，问题5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△ EFA课后作业：1. （01上海春）若直线xA.等于0B.等于一42. （95全国）如右图，直线1的倾斜角为，则C.等于一D.不存在211,12,13的斜率分别为k1,k2,k3，则k? C. k3 k? & D. & k3 k?3.（04合肥模拟）直线I的方向向量为1,2，直线1的倾斜角为，则tan26.（ 95上海）下面命题中正确的是：A. 经过定点P 0 x ）,y 0的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0表示.B. 经过任意两个不同的点 R 为，如，F 2 x 2, y 2的直线都可以用方程yx y一 x x 1 y 2 %表示；C.不经过原点的直线都可以用方程 1表示a bD.经过点A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b 表示4 33B.-C.-D.-3444. （ 2012西安五校联考）直线 2I 经过 A 2,1 , B 1,m( m R )两点, 倾斜角范围是A. 0,B. 0,, 4^2C. 0,4D.那么直线I 的J25.直线xcos R 的倾斜角范围是A.6E U 2,56B. 0,_6C.D. 6y 1 X 2 为7.已知三点A 3,1、B 2,k、C 8,11共线，则k的取值是A. 6 B. 7C. 8 D. 98. ( 2013常州模拟)过点P 2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线I的方程是9.直线xtan5 y 0的倾斜角为-----------------------------10. 一直线过点A 3,4，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是______________12.若两点A( 1, 5)，B(3, 2)，直线I的倾斜角是直线AB的一半，求直线I的斜率13.已知A a,3，B 5, a两点，直线AB的斜率为1,若一直线I过线段AB的中点走向高考：14. ( 04湖南文)设直线 ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0，则a,b满足： Aab1 B. a b 1 C.abO D. a b 01 115. ( 06北京)若三点A(2,2), B(a,0), C(O,b) (ab 0)共线，则的值等于________a b16.( 05湖南文)设直线的方程是 Ax By 0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同 的数作为A,B 的值，则所得不同直线的条数是 A. 20 B.19 C.18 D.16且倾斜角的正弦值为3 10求直线I 的方程.。
直线的方程(解析版)
直线的方程题型一：倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．30D ．60答案： A解析： 求出直线斜率，可得倾斜角．【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-，所以倾斜角为150°． 故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题时可先求得直线斜率，由斜率与倾斜角关系得倾斜角． 典例2、如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案： A解析： 根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2） 答案： D解析： 由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。
答案： 3[0][)44πππ⋃，，解析： 依题意可得，直线l 的方向向量为(1,cos )θ-，则tan cos [1,1]αθ=-∈-，所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案： （-∞，-4+∞）解析： 求出直线,OA OB 的斜率，观察线段AB 是否过y 轴，即可得。
完整版)直线与方程测试题及答案解析
完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果三个点A(3,1)。
B(-2,b)。
C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。
y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。
y - 2 = 3/2(x - 1) C。
3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。
3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。
√(23/2) B。
√(2/23) C。
√(23+5) D。
√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。
y = -2x + 4 B。
y = (1/2)x + 4 C。
y = -2x - 3 D。
y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。
3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。
直线与方程知识点及典型例题.docx
第三章直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2. 直线的斜率① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即 k=tan 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;°当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 .当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。
例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 .y解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l13∴ k2 =—32x1例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()ol2°°°°②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y1 ( x1x2 )x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与 P1、 P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当 (1) l / / l2(2) l⊥l时分别求出 m 的值111※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。
直线方程典型例题
【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是A ．5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式】已知动直线21y kx k =++ 与直线l : 122y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围。
类型二：两直线的位置关系例2．四边形ABCD 的顶点为(22A +，，(22)B -，，(02C -，，(42)D ，，试判断四边形ABCD 的形状．【举一反三】【变式1】直线l 1: ax+(1-a)y=3与直线l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值。
类型三：直线的方程例3．过点P(2，1)作直线l 与x 轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程.【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；【变式2】直线l 过点(1,4)P -，且在两轴上的截距之和为零，求l 的方程。
类型三：对称问题例4．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程。
【举一反三】【变式】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．类型五：综合应用例5.（2014秋 渝中区校级期中）已知点A （1，1），B （2，2），C （4，0），D （，），点P 在线段CD 垂直平分线上，求：（1）线段CD 垂直平分线方程；（2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P 点的坐标．【举一反三】【变式】（2014秋 渝中区校级期中）已知三角形的顶点是A （﹣5，0）、B （3，﹣3）、C （0，2），（1）求直线AB 的方程；（2）求△ABC 的面积；（3）若过点C 直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的范围．。
直线与直线方程-练习
索引
1.直线 x＋ 3y＋3＝0 的倾斜角 α 为( D )
A.30° C.120°
B.60° D.150°
解析 由已知得斜率 k＝－ 33＝tan α，
又倾斜角 0°≤α<180°，所以 α＝150°.
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2.直线ax2－by2＝1 在 y 轴上的截距是( B )
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(2)若直线l在x轴、y轴上的截距均不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最 小值. 解 由题意及(1)得l的方程为x＋y－3＝0， ∵点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＝3， ∴3a＋3b≥2 3a·3b＝2 3a＋b＝6 3， 当且仅当 a＝b＝32时等号成立.
∴3a＋3b 的最小值是 6 3.
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5.(多选)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m
可以取下列哪些值( ACD )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，
所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，
两式同时成立时解得m＝1，所以m≠1.故选ACD.
7.过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是__3_x_＋__y_－__6_＝__0. 解析 由题意知直线过点(2，0)和点(1，3)，由两点式可得3y－－00＝x1－ －22， 整理得 3x＋y－6＝0.
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8.若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为___32_，__＋__∞__ . 解析 方程可化为 y＝(3－2t)x－6，因为直线不经过第一象限， 所以 3－2t≤0，得 t≥32.
直线与方程例题与练习（含答案）
级 名倾斜角α的取值范围： . 角α与斜率 pp 平行的直线方程可设为 ， ⇔PP的距离为 “直线定界，特殊点定域＝－a b x ＋z b ，距z b距zb取距z b取距zb 取距z b取22()()x a y b -+-表示表示22x y +示 示示 示 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 [[3π，)a －2a ＋1＝a ＋，－2≤0，－a ＋＝－2≤0，≤－≤－1. 1.103)线所在的直线方程为0104=+-y x ，求BC 边所在的直线方程。
边所在的直线方程。
答案：得B （10，5），A 的对称点（1，7），故BC 方程为06592=-+y x例6 6 ．设．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +³ìï-³-íï-£î则则z x y =+（ ）A ．有最小值2,2,最大值最大值3 3B B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,3,无最大值无最大值无最大值D D D．既无最小值．既无最小值．既无最小值,,也无最大值也无最大值 此题中，y x 的最大值是的最大值是2 最小值是最小值是 0 22x y +的最小值是的最小值是 165例7． 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +³ìï-³-íï-£î，目标函数2z ax y =+仅在点（仅在点（11，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）(A) (A) （（1-，2 2 ）） (B) (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)-作业：作业：1．已知点A (1(1，－，－，－2)2)2)，，B (m,2)2)，且线段，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是的值是( ( )A ．－．－2B 2 B 2 B．－．－．－7 7 7C C ．3D D．．12．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点变化时，所有的直线恒过定点 ( ( )A ．(1,3)B (1,3) B．．(－1，－，－3) 3) 3)C C ．(3,1)D D．．(－3，－，－1) 1) 3、直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是所得的直线方程是( ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B B．．x ＋2y －4＝0 C 0 C．．x －2y －4＝0 0 D D ．x ＋2y ＋4＝04、在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点内，过点(0,1)(0,1)(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是( ( )A.π6B.B.π4C.π3 D.3π45、已知变量,x y 满足约束条件2823y xx y x y £ìï-£íï+³î,则目标函数62z x y =-的最小值为的最小值为（ ）A ．32B ．4C ．8D ．26、若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-³ìï--£íï-+³î且x y +的最大值为9，则实数m =( )（A ）2- （（B ）1- （（C ）1 （（D ）27．直线l 过点P (－2,3)2,3)，且与，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为________________．．3x －2y ＋1212＝＝08．在直角坐标系中，若不等式组ïîïíì++££-³1)1(00x k y y x x 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是___（-1，1）__ 9、 给出平面区域如图所示给出平面区域如图所示..若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是围是 （－（－（－ 125，－，－ 310）. .1010．已知直线．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4(4－－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，平行，则k= 3或5 l 1与l 2的距离为的距离为________________________．．55210或1111．已知两条直线．已知两条直线l 1：(3(3＋＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5(5＋＋m )y ＝8.8.当当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)(1)相交？相交？相交？ (2) (2) (2)平行？平行？平行？ (3) (3) (3)垂直？垂直？垂直？[解析] (1)(1)当当m ＝－＝－55时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－≠－55时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m4，k 2＝－25＋m， 它们在y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m . 由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，即m ≠－≠－77，且m ≠－≠－1. 1.∴当m ≠－≠－77，且m ≠－≠－11时，l 1与l 2相交．相交．(2)(2)由由îïíïìk 1＝k 2，b 1≠b 2，得îïíïì－3＋m 4＝－25＋m，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－＝－7. 7.∴当m ＝－＝－77时，l 1与l 2平行．平行．(3)(3)由由k 1k 2＝－＝－11，得－3＋m 4·(－25＋m)＝－＝－11，m ＝－133.＝－时，11，使得y O A xBP(3, 1)【答案】【答案】AB=AB=22(16)(42)29-+-=，直线AB 的方程为264216y x --=--，即25220x y +-=，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积等于1414，，设C 的坐标为(,)m n ，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C 到直线AB 的距离为|2522|29m n d +-=，由于三角形ABC 的面积等于1414，则，则11|2522|29142229m n AB d +-××=××=，|2522|28m n +-=，即2550m n +=②或256m n +=-③.联立①②解得13511m =，5611n=；联立①③解得3m =-，0n =.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C 13556(,)1111或(3,0)-，使得三角形ABC 的面积等于14.。
直线与方程典型题(完)
4．若原点和点(4,-1)到直线 的距离相等,则a=____________;
5．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.
6. 过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．
7．点 在直线 上，则 的最小值是___________。
15．一直线过点 ，并且在两坐标轴上截距之和为 ，这条直线方程是__________．
16．已知直线 与 关于直线 对称，直线 ⊥ ，则 的斜率是______.
三、解答题
1已知 ，在直线 和 上各找一点 ，使 的周长最小。
解：作点 关于直线 的对称点 ，再做点 关于 轴的对称点 ，连接 ，且 与 和 轴交于 两点，可知这样得到的 周长最小。如图
由点 及直线 ，可求得点 关于直线 的对称点 ，同样容易求得 关于 轴的对称点 。
所以直线 的方程为
令 ，得到直线 与 轴的交点 ，
解方程组 解得交点 。
综上，有 ，
2求经过点 ，并且在2个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程
3.。已知点 ，若直线l过点 。且与线段 相交，求直线l的斜率 的取值范围.
4.已知直线 和点A（-1，2）、B（0，3），试在 上找一点P，使得 的值最小，并求出这个最小值。
5.求经过直线 的交点且平行于直线 的直线方程.
6．求函数 的最小值
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
15.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A 2 B C 1 D
16.已知 ，则直线 通过（ ）
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限