算法合集之《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》
《数学乐园教案设计：100以内数的双倍数加减运算》
数学乐园教案设计：100以内数的双倍数加减运算在数学学科中，双倍数加减运算是基础且必要的内容。
对于小学低年级的孩子们来说，更是非常重要的一环。
通过这个教学内容的学习，可以帮助孩子们提高他们的数字计算能力，培养他们的数字感知能力以及提升他们的逻辑思维水平，在以后的数学学习中也会起到不可忽略的推动作用。
为了更好地促进教学效果，本文将对《数学乐园教案设计：100以内数的双倍数加减运算》这一教学内容进行详细阐述，帮助教师们更好地实现这个教学内容的目标。
1、教学目标本次教学的主要目标如下：1、掌握基本的双倍数的概念及其运算方法2、掌握无进位减法的运算方法3、提高孩子们的数字计算能力和逻辑思维能力2、教学准备为了更好地开展这次教学，教师需要进行些准备。
具体内容如下：1、准备相关教学资料，如教材、作业本等2、准备教学用具，如白板、笔等3、培养良好的课堂氛围，创造积极向上的学习氛围3、教学过程实际教学过程可能因教师的个人教学风格等因素而有所不同，但我们推荐一个较为完整的教案设计过程，供教师参考。
Step1、知识导入在进行这个教学内容之前，教师首先需要对双倍数的概念和无进位减法的基本操作进行详细介绍。
可以通过各种课件、板书或者小游戏等形式，引导孩子们了解双倍数是什么，以及它与其他数字之间有何特殊关系。
帮助孩子们理解“双倍”是什么意思，能够提前让他们掌握“倍数”的概念。
Step2、教学重点突出在整个中段教学过程中，需要强调数的规律性，并且对于该阶段难点部分进行重点突出讲解。
这个过程较为复杂，需要教师有良好的教学经验和丰富的教学内容能力。
Step3、巩固练习通过一些练习来巩固学生们掌握的知识和技能，设计一些应用性、实践性得让孩子们根据情境解题的综合练习题，或者通过游戏等方式进行教学巩固，加深孩子们的理解和掌握水平，并提高其教学自觉性和积极性。
Step4、课后作业通过布置课后作业，引导孩子们自学，促进思考和探究。
教师可以根据巩固性、迁移性和应用性进行选择和编写作业内容。
从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
这是因为若正整数 m0、n0 使得 NP(m0,n0)=1，则对于任意 n>n0,m=m0 都有 NP(m,n)=1。这是因为，状态(m0,n0)时玩家可以完成的操作，在状态(m,n)也允许 操作（这利用了 n>n0） ，且到达相同的状态(这利用 m=m0)。
NOI2009 冬令营论文
从“k 倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
摘
要
组合游戏是指，信息完全轮流操作的双人游戏。本文将从一个游戏——k 倍 动态减法游戏（k-based dynamic subtraction game）的解答出发，讨论游戏中的一 个重要分支——组合游戏， 并探讨解决这一类的问题的高效方法。探索的过程力 求兼顾游戏论中的普遍真理以及问题的独特性质。 作为一篇信息学的论文， 本文将着重讨论与组合游戏有关的相关算法和这些 算法时间复杂性分析， 而不是游戏论中的一些经典的理论、典型的游戏实例或者 一些存在性的证明。 “k 倍动态减法游戏”在 k 为一般正实数的情况，在 2002 年的国家集训队 论文中已经给出 O(S3)的算法，本文将在第 4．1 节给出一个优化到 O(S)的算法。 “Nim 积”运算是利用 SG 函数解决游戏论问题的必要工具之一。本文将在 第 4．4．5 节给出一个 O(log2x)的计算“Nim 积”的算法。 2008 年的 BOI（Baltic Olympiad in Informatics）中 knight 一题就是游戏论问 题，官方解答给出了 O(n3)的算法，但没有给出算法时间复杂度的证明。本文在 第 5 章提出了对这个 O(n3)的上界的质疑，并举出了质疑的确实依据，举出反例 证明了官方解答时间复杂度估计的错误之处。 同时， 本文经过对算法进一步优化， 得到了一个 O(n2)的算法。 上面这些内容都是原创的独立研究成果。
幼儿园“加减法游戏：趣味计算方案
幼儿园“加减法游戏：趣味计算方案1. 引言在幼儿园阶段，学习是通过玩耍和游戏来进行的。
学龄前儿童的学习方式与成年人截然不同，他们需要在轻松愉快的氛围中学习。
幼儿园教育应该注重培养孩子的兴趣和好奇心，帮助他们建立学习的基础。
在数学教育方面，为了让幼儿对加减法感兴趣并能够掌握基本算术概念，设计一些趣味的加减法游戏显得尤为重要。
2. 游戏设计原则在设计幼儿园的加减法游戏时，需要考虑以下几个原则：2.1 游戏性加减法游戏应该具有足够的游戏性，让幼儿感到有趣和有挑战性，从而激发他们学习数学的兴趣。
2.2 体验性游戏应该注重幼儿的体验，让他们通过操作和互动来深入理解加减法的意义和运用。
2.3 差异性鉴于幼儿个体差异性较大，游戏设计应该充分考虑到不同幼儿的学习特点和能力，注重个性化的设计。
3. 游戏方案基于以上原则，我们设计了以下几种趣味的加减法游戏方案：3.1 数学扑克制作一副加减法扑克牌，每张牌上印有一个算术题目，幼儿可以通过玩扑克游戏的方式来学习加减法。
3.2 数学小电影制作一些生动有趣的动画短片，以故事情节的方式来让幼儿学习加减法。
通过观看小电影，他们能够轻松地理解算术概念。
3.3 数学猜谜设计一些有趣的加减法猜谜游戏，让幼儿通过猜谜的方式来锻炼自己的加减运算能力。
4. 游戏教学在进行加减法游戏教学时，老师需要注重以下几点：4.1 激发兴趣通过引入趣味性的游戏元素，激发幼儿对加减法学习的兴趣和热情，让他们在轻松愉快的氛围中学习。
4.2 引导探究提供相关材料和指导，引导幼儿自主探究和体验，帮助他们在游戏中掌握加减法的基本概念。
4.3 个性化辅导针对幼儿个体差异，采用个性化的辅导方式，帮助每个孩子根据自己的能力和兴趣自由地学习和探索。
5. 总结回顾在幼儿园阶段，引入趣味的加减法游戏能够有效地激发幼儿学习数学的兴趣，帮助他们在愉快的氛围中轻松掌握数学算术的基本概念。
通过设计和实施这样的游戏方案，能够让幼儿对数学产生浓厚的兴趣，为以后的学习打下良好的基础。
幼儿园趣味数学：加减法游戏方案分享
幼儿园趣味数学：加减法游戏方案共享幼儿园是培养孩子兴趣、提高学习能力的关键时期，而数学作为一门基础学科，早期的培养尤为重要。
为了让孩子在玩中学，在学中玩，幼儿园数学教育必须加入趣味性元素。
在这篇文章中，我们将共享一些有趣的幼儿园加减法游戏方案，以启发孩子对数学的兴趣，提高他们的学习效果。
1. 游戏一：小动物加减法这是一个适合幼儿园儿童的简单加减法游戏。
老师需要准备一些小动物玩具，例如小熊、小猫、小狗等，每个小动物对应一个数字。
老师会给出一些简单的加减法题目，例如“小熊加上小猫等于几？”，“小狗减去小猫等于几？”孩子们可以通过移动小动物玩具来进行计算，从而在玩乐中学习加减法的基本概念。
这个游戏不仅可以增加孩子们对数字的理解，还可以锻炼他们的逻辑思维能力。
通过观察和操作小动物玩具，孩子们能够更直观地理解加减法的运算过程，从而提高数学的学习兴趣。
2. 游戏二：数字拼图游戏这是一个结合数字游戏和拼图游戏的创意教学活动。
老师可以准备一些数字拼图卡片，每张卡片上有一个数字，然后将这些卡片分成两份，一份是加法，一份是减法。
孩子们可以根据自己的兴趣选择不同的卡片来进行游戏。
在游戏过程中，孩子们要根据卡片上的数字进行加减运算，并按照计算结果将拼图卡片组合在一起，完成一个完整的数字拼图。
通过这种方式，孩子们不仅能够学习加减法的运算规则，还能培养他们的动手能力和想象力。
3. 游戏三：数学小宝贝比赛这是一个能够激发孩子学习兴趣的竞赛游戏。
老师可以将班级分成几个小组，每个小组分别派出一名“数学小宝贝”代表参加比赛。
比赛分为加法比赛和减法比赛，每个小宝贝需要在规定的时间内完成一系列的加减法题目，根据答题速度和正确率来确定胜负。
通过这个比赛，孩子们不仅可以感受到学习数学的乐趣，还能在竞争中提高自己的数学运算能力。
比赛的氛围也能够激发孩子们学习数学的兴趣，让他们在快乐中学习，激发他们对数学的探索欲望。
总结与回顾通过上述三个幼儿园趣味数学游戏方案的共享，我们可以看到，趣味性是幼儿园数学教育的重要元素。
北师大版二年级下册数学《小蝌蚪的成长》加与减培优说课教学复习课件巩固
这节课你们都学会了哪些知识？
课堂小结
课本：第55页第8题
课后作业
数学二年级
下册
第五单元
万以内数的认识
小蝌蚪的成长第1课时
课件
一、导入新课
小蝌蚪的成长(1)
二、探究新知
1．解决“东池塘有多少只蝌蚪没有变成青蛙？”
412
－
89
412
－
89
－9答：东池塘有321只蝌蚪没有变成青蛙。
300-76=
224
300-76 =300-70-6 =230-6 =224
300-76=
224
300-76 =299-76+1 =223+1 =224
300-76=
224
3 0 0 - 7 6
.
.
2
3 6
－
1
8
125
2 1 0
1 4 5
－
5
6
65
3 3 1
1 3 8
－
3
8
183
9 0 0
2 2 9
－
1
7
671
6
1
五、课堂总结
在这节课上，你学到了什么？你觉得自己表现得怎么样？
4 0 0- 1 5 4 2 4 6
246
2 0 0- 2 4 1 7 6
176
5 0 0- 1 2 8 3 7 2
学而思讲义四年级第三讲(游戏与对策)(2024版)
第三讲 游戏与对策一、基本前提游戏双方足够聪明，目的都是获胜。
二、方法：倒推三、游戏类型（一）拿火柴棍/抢数如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
你知道必胜的方法吗？分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。
所以我们尝试从结果倒推。
如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。
照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。
同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。
那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。
所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。
总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。
掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了：解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1（2）总数÷周期1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
你知道必胜的方法吗？解析： 周期为 3+1=4（根）60÷4=15（组） （整除，应该抢后）制胜点：4,8,12 (60)做法：1、让对方先取2、对方取a 根，自己就取4-a 根2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。
如“抢50”，规定每次必须报1或2个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10有余数：抢先拿余数整除（余数为0）：抢后自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。
趣味数学：解密加减法
趣味数学：解密加减法数学一直被认为是一门严肃的学科，但其实在数学的世界里也隐藏着许多有趣的事物。
其中，解密加减法就是一种充满趣味性的数学游戏。
通过一些简单的技巧和规则，我们可以轻松地解密加减法算式，让数学学习变得更加有趣和富有挑战性。
首先，让我们来看一下如何解密加法算式。
在解密加法算式时，我们需要注意每一位数字的进位规则。
例如，当两个数字相加的结果大于等于10时，就需要进位。
我们可以通过以下步骤来解密加法算式：1. 从个位数开始相加，如果结果小于10，则直接写下结果；2. 如果结果大于等于10，则需要将进位的数字加到十位数上；3. 依次类推，直到所有位数相加完毕。
举个例子，我们来解密一个加法算式：358 + 247。
首先，我们从个位数开始相加：8 + 7 = 15，写下5，进位1；然后是十位数相加并加上进位：5 + 4 + 1 = 10，写下0，进位1；最后是百位数相加：3 + 2 + 1 = 6。
所以，358 + 247 = 605。
接下来，让我们看一下如何解密减法算式。
在解密减法算式时，我们需要注意借位的规则。
当被减数小于减数时，就需要向高位借位。
我们可以通过以下步骤来解密减法算式：1. 从个位数开始相减，如果被减数小于减数，则需要向高位借位；2. 借位后，继续相减；3. 依次类推，直到所有位数相减完毕。
举个例子，我们来解密一个减法算式：542 - 189。
首先，我们从个位数开始相减：2 - 9，由于2小于9，所以需要向十位借位；借位后，十位数相减：4 - 8（借了1位）= 3；最后是百位数相减：5 - 1 = 4。
所以，542 - 189 = 353。
通过以上的解密加减法的方法，我们可以更加轻松地解决数学算式，让数学学习变得更加有趣和富有挑战性。
希望大家在学习数学的过程中能够发现其中的乐趣，享受数学带来的挑战和成就感。
让我们一起探索数学的奥秘，挑战自己的智力，让数学不再枯燥，而是充满趣味和创意！。
学案13：1.1.1 算法的概念
1.1.1算法的概念情景引入现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你知道中间一堆牌有多少张吗？新知导学1．算法的概念2算法是做一件事情的方法和步骤．在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，我们设计的算法应本着简捷方便的原则．要正确地设计一个算法就需要了解算法的特征：1．下列不能看成算法的是()A．洗衣机的使用说明书B．烹制红烧肉的菜谱C．从山东济南乘火车到北京，再从北京乘飞机到伦敦D．小明不会洗衣服2．算法的每一步都应该是正确的、能有效执行的，并且能得到明确的结果，这是指算法的()A．有穷性B．确定性C．逻辑性D．不唯一性3．下面对算法的描述正确的一项是()A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同4．已知一名学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分D 和平均成绩E的一个算法为：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.第二步，_________________.第三步，_________________.第四步，输出D，E.5．写出解方程ax＋b＝0(a、b是常数)的一个算法．互动探究解疑命题方向1⇨算法含义的正确理解典例1(1)下列关于算法的描述正确的是()A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果(2)下列描述不能看作算法的是()A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42C．解不等式2x2＋x－1>0D．求过M(1,2)与N(－3，－5)两点的直线方程可以先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．规律总结(1)算法实际上是一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．(2)算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．跟踪练习1下列说法中，能称为算法的是()A．巧妇难为无米之炊B．炒菜需要洗菜、切菜、刷锅、炒菜这些步骤C．数学题真有趣D．物理与数学是密不可分的命题方向2⇨数值性问题的算法典例2写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．规律总结设计此类问题的算法通常有两种．一种称为累加或乘法，将步骤一直写下去，便得到任意有限个数相加或相乘的算法．另一种具有代表性，是对这一类问题的机械的、统一的求解方法．跟踪练习2写出满足1＋2＋3＋…＋n＞20的最小自然数n的值的算法．解：第一步，计算1＋2＝3，显然3＞20不成立，执行第二步；第二步，将第一步计算的结果3与3相加，得到6，显然6＞20不成立，执行第三步；第三步，将第二步计算的结果6与4相加，得到10，显然10＞20不成立，执行第四步；第四步，将第三步计算的结果10与5相加，得到15，显然15＞20不成立，执行第五步；第五步，将第四步计算的结果15与6相加，得到21，显然21＞20成立，所以输出6.命题方向3⇨非数值性问题的算法典例3有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．规律总结对于非数值问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，在设计算法时应简洁、清晰，要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨性．跟踪练习3写出交换两个容量相同的杯子的液体(A杯中装有水、B杯中装有酒)的两个算法．易混易错警示算法中错用省略号而致误典例4设计一个算法，求a1，a2，a3，a4，a5五个不同实数中最小的数．[错解]第一步，比较a1，a2的大小．若a1＜a2，则令m＝a1；否则，令m＝a2.第二步，比较m，a3的大小．若a3＜m，则令m＝a3；否则，m的值不变．……第四步，比较m，a5的大小．若a5＜m，则令m＝a5；否则，m的值不变．第五步，输出m的值．以上错解中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何订正？你如何防范？[辨析]省略号表达的步骤不明确，不符合算法的确定性．学科核心素养分类讨论思想典例5写出解方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为实数)的一个算法．课堂达标验收1．下列叙述不能称为算法的是( )A ．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B ．解方程4x ＋1＝0的过程是先移项再把x 的系数化成1C ．利用公式V ＝13Sh 计算底面半径为2，高为3的圆锥的体积，V ＝13×π×22×h D ．解方程x 2－2x ＋1＝02．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法( )A ．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B ．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C ．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D ．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶3．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是( )A ．4B ．5C ．6D ．8 4．一个算法如下：第一步，S 取值0，i 取值1.第二步，若i 是不大于10，则执行下一步；否则执行第六步．第三步，计算S ＋i 且将结果代替S .第四步，用i ＋2结果代替i .第五步，转去执行第二步．第六步，输出S .则运行以上步骤输出的结果为_______.5．写出解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－2①7x －y ＝18②的一个算法．参考答案新知导学1．算术运算一定规则明确有限计算机程序计算机程序明确的步骤算法“语言”预习自测1．【答案】D【解析】由算法的概念可知，选项D并没有涉及程序和步骤，也不能够体现在有限步之间完成，故选D ．2．【答案】 B【解析】 算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．3．【答案】 C【解析】 根据算法的特征，同一问题可以有不同的算法，但结果是一样的．4．【答案】 D ＝A ＋B ＋C 计算平均成绩E ＝D 3【解析】 由题意，求总分的方法就是把三科分数求和，而求平均值就是把总分除以科目数3，因此第二步可为D ＝A ＋B ＋C ，第三步为E ＝D 3. 5．解：算法步骤如下：第一步，判断a 是否为0，若a ＝0，执行第二步；若a ≠0，执行第三步．第二步，判断b 是否为0，若b ＝0，则输出“x ∈R ”；否则输出“无解”．第三步，将ax ＋b ＝0变形为ax ＝－b ，得x ＝－b a ，输出x ＝－b a. 互动探究解疑命题方向1 ⇨算法含义的正确理解典例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A 项不对；算法能重复使用，故B 项不对；每个算法执行后必须有结果，故D 项不对；由算法的有序性和确定性可知C 项正确．(2)A 、B 、D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C 只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．跟踪练习1 【答案】 B【解析】 算法是做一件事的步骤或程序，不是解决问题的办法，因而只有选项B 正确． 命题方向2 ⇨数值性问题的算法典例2 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．解：算法1：第一步，计算1＋2得到3；第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6；第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10；第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15；第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21；第六步，输出运算结果．算法2：第一步，取n ＝6；第二步，计算n n ＋12； 第三步，输出运算结果．算法3：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7；第二步，计算3×7；第三步，输出运算结果．跟踪练习2 解：第一步，计算1＋2＝3，显然3＞20不成立，执行第二步；第二步，将第一步计算的结果3与3相加，得到6，显然6＞20不成立，执行第三步； 第三步，将第二步计算的结果6与4相加，得到10，显然10＞20不成立，执行第四步； 第四步，将第三步计算的结果10与5相加，得到15，显然15＞20不成立，执行第五步； 第五步，将第四步计算的结果15与6相加，得到21，显然21＞20成立，所以输出6. 命题方向3 ⇨非数值性问题的算法典例3 解：算法步骤如下：第一步，取一只空的墨水瓶，设其为白色．第二步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中．第三步，将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中．第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中．第五步，交换结束．跟踪练习3 解：算法1：第一步，找一个容量不小于A 的空杯子C .第二步，将A 中的水倒入C 中．第三步，将B 中的酒倒入A 中．第四步，将C 中的水倒入B 中，结束．算法2：第一步，再找两个容量不小于A 的空杯子C 和D .第二步，将A 中的水倒入C 中，将B 中的酒倒入D 中．第三步，将C 中的水倒入B 中，将D 中的酒倒入A 中，结束．易混易错警示 算法中错用省略号而致误典例4 [正解] 第一步，比较a 1，a 2的大小．若a 1＜a 2，则令m ＝a 1；否则，令m ＝a 2. 第二步，比较m ，a 3的大小．若a 3＜m ，则令m ＝a 3；否则，m 的值不变．第三步，比较m ，a 4的大小．若a 4＜m ，则令m ＝a 4；否则，m 的值不变．第四步，比较m ，a 5的大小．若a 5＜m ，则令m ＝a 5；否则，m 的值不变．第五步，输出m 的值．学科核心素养 分类讨论思想典例5 写出解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 为实数)的一个算法．解：第一步，当a ＝0，b ＝0，c ＝0时，原方程的解为全体实数．第二步，当a ＝0，b ＝0，c ≠0时，原方程没有实数解．第三步，当a ＝0，b ≠0时，原方程的解为x ＝－c b. 第四步，当a ≠0，b 2－4ac >0时，原方程有两个不相等实数解x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 第五步，当a ≠0，b 2－4ac ＝0时，原方程有两个相等实数解x 1＝x 2＝－b 2a. 第六步，当a ≠0，b 2－4ac <0时，原方程没有实数解．课堂达标验收1．【答案】 D【解析】 A 、B 两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法．C 项，利用公式计算也属于算法．D 项，只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．2．【答案】 C【解析】 选项A 所用时间为36 min ，选项B 所用时间为31 min ，选项C 所用时间为23 min ，选项D 不符合日常生活规律，故选C ．3．【答案】 B【解析】 按各放3张，可以算出答案是5，各放x 张答案也是一样．原因如下：设每堆有x 张，经过四个步骤后，中间一堆有(x ＋3)－(x －2)＝5(张)．4．【答案】 25【解析】 第1次运算结果S ＝1，第二次运算结果为S ＝1＋3＝4，第三次运算结果为S ＝1＋3＋5＝9，第四次运算结果为S ＝1＋3＋5＋7＝16，第五次运算结果为S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25，此时运算结束，输出S ＝25.5．解：算法1：第一步，由②得y ＝7x －18.第二步，将第一步结果代入①得3x －2(7x －18)＝－2. 第三步，解第二步得到的方程，得x ＝3811. 第四步，将第三步的结果代入第一步，得y ＝6811. 第五步，⎩⎨⎧ x ＝3811y ＝6811.就是方程组的解．算法2：第一步，方程②两边都乘2得14x －2y ＝36.③ 第二步，用方程③－①得关于x 的方程11x ＝38.第三步，解第二步得到的方程得x ＝3811. 第四步，将x ＝3811代入方程②，求得y ＝6811. 第五步，⎩⎨⎧ x ＝3811y ＝6811.就是方程组的解．。
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1．2．组合游戏需要解决的问题
由于组合游戏是一个双方博弈的游戏， 所以对于一个游戏的研究一般需要回
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从“k 倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题
答两个问题：谁有必胜策略？必胜策略是什么？ 而在信息竞赛学的问题中需要解决的问题，也与此相对应，分三个层次： （1）判断谁有必胜策略； （2）寻找单回合的必胜选择； （3）维护多回合的必胜选择（交互题涉及） 。
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摘
要
组合游戏是指，信息完全轮流操作的双人游戏。本文将从一个游戏——k 倍 动态减法游戏（k-based dynamic subtraction game）的解答出发，讨论游戏中的一 个重要分支——组合游戏， 并探讨解决这一类的问题的高效方法。探索的过程力 求兼顾游戏论中的普遍真理以及问题的独特性质。 作为一篇信息学的论文， 本文将着重讨论与组合游戏有关的相关算法和这些 算法时间复杂性分析， 而不是游戏论中的一些经典的理论、典型的游戏实例或者 一些存在性的证明。 “k 倍动态减法游戏”在 k 为一般正实数的情况，在 2002 年的国家集训队 论文中已经给出 O(S3)的算法，本文将在第 4．1 节给出一个优化到 O(S)的算法。 “Nim 积”运算是利用 SG 函数解决游戏论问题的必要工具之一。本文将在 第 4．4．5 节给出一个 O(log2x)的计算“Nim 积”的算法。 2008 年的 BOI（Baltic Olympiad in Informatics）中 knight 一题就是游戏论问 题，官方解答给出了 O(n3)的算法，但没有给出算法时间复杂度的证明。本文在 第 5 章提出了对这个 O(n3)的上界的质疑，并举出了质疑的确实依据，举出反例 证明了官方解答时间复杂度估计的错误之处。 同时， 本文经过对算法进一步优化， 得到了一个 O(n2)的算法。 上面这些内容都是原创的独立研究成果。
1．3．衡量解决组合游戏的算法的时间的尺度
作为信息学的问题，算法的时间效率至关重要。对于一般的信息学问题，算 法的时间复杂度是依据程序运行时间相对于输入文件规模增长的增长来衡量的。 这一衡量尺度对于游戏论问题当然是适用的，但是对于游戏论问题，特别是涉及 到前面提出的第三类交互式问题的时候，本文也会采用下面的衡量方式。 首先，所有当前状态的直接或间接的后继状态的数量 S(x)、描述当前状态所 必需的数据规模 D(x)、最坏情况下结束游戏的回合数 T(x)都可以衡量一个游戏 的复杂程度， 因此程序运行时间的增长与此三者之一的增长速度的关系，也可以 衡量一个算法的时间复杂度的尺度。 其次， 一方面由于对当前状态的描述必须能是的当前状态能区别于其它状态 （特别的，包括他的所有直接的或间接的后继状态） ，所以 D( x) (log S ( x)) 。 另 一 方 面 ， 由 于 表 达 游 戏 的 图 是 有 向 无 环 的 ， 所 以 对 任 意 y f ( x) 都 有
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大了。 对于第(3)类交互式问题而言，O(T(e))-O(1)的在线算题目的考察兼顾了动态规划的基本算法原理， 和各种分析手段的灵活 应用， 是一类没有固定公式的综合型问题。 这也正是游戏论越来越受欢迎的原因。 近些年，尤其最近一年，关于游戏论的问题在国际各大竞赛，各题库网站上屡见 不鲜。因此，游戏可以说已经成为信息学竞赛新热点。
在著名的 Nim 游戏中 S ( x) (T ( x) k ) （其中 k 是 Nim 中数的组数） ，在经典的 Green Hackenpush 中 S ( x) (2 T ( x ) ) 。 鉴于上面得出的 S(x)D(x)T(x)的相互数量关系，本文将选择 T(e)(e 表示初始 状态)这个游戏结束所需的最少时间作为衡量算法时间复杂度的尺度，正如一般 以输入时间这一程序运行的最少时间作为程序的运行标准一样。 而且，在一些问题中，游戏状态的描述的规模 D(x)（这很有可能就是输入 文件的规模，因为输入文件应当包含且只包含游戏规则描述以及初始状态描述， 例如下面的“k 倍动态减法游戏”中，整数 k 是游戏规则描述，整数 S 是初始条件 描述）可能很小，但 T(e)很大时，程序运行时间与输入规模的相对关系就意义不
3．2．NP 状态定理：
定理： P 状态是“胜利终止状态”或者它的一切后继都为 N 状态， N 状态是“失 败终止状态”或拥有至少一个后继是 P 状态。
3．3．通式的动态规划解法
根据上面的定理，可以利用动态规划求得每个状态是 P 状态还是 N 状态。 具体的实现方法，可以按照图的拓扑逆序倒推（常用方法） ，也可以从初状态出 发进行记忆化搜索（这个留在后面讨论） 。用递推实现，我们不难设计出下面算 法： 步骤 1：把所有“胜利终止状态”标记为 P 状态，“失败终止状态”标记为 N 状 态。 步骤 2：找到所有的未定状态中，所有后继都被确定是 N 状态的状态，设置 为 P 状态。
关 键 字
NP 状态、单调性、SG 函数、 “Nim 和” 、 “Nim 积” 、对称性分析、贪 心分析、时间复杂度分析
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一．引言
1．1．组合游戏的定义
“游戏”这个词包含的范围很广，像“石头剪刀布” “斗地主” “军旗” “象 棋” “Nim 游戏”等等。但是，一个游戏，作为组合游戏，必须具有以下特征： 1：双人游戏。 2：双方轮流操作。即，组合游戏不包含双方同时进行的操作。 3：在游戏中的任意一个时刻，当前玩家可以选择的操作，是一个有限的确 定的集合。即，组合游戏不包含随机化的操作。 4：信息完全。即，在游戏中的任意时刻，游戏中的任意一方都知道游戏的 初始状态，以及从“游戏开始”到“当前”为止的双方的所有的历史操作，没有 任何的保密。 5：游戏中的某一些状态被规定为“胜利终止状态”，到达这些状态的玩家 获胜 （即对方把胜利终止状态交给你的话， 你就输了） ； 某一些状态被规定为“失 败终止状态”，到达这些状态的玩家失败。本文只讨论，有限次操作后能分出胜 负的那一类组合游戏，这一类游戏中将没有“平局”的情况。由于平局的情况是 复杂的，本文不讨论。例如， “中国象棋” “围棋”都是经典的组合游戏，但不属 于本文讨论范围。 所以，像“推箱子”这样的单人游戏，不属于组合游戏；像“石头剪刀布” 这样包含同时操作的游戏，不属于组合游戏；像“飞行棋” “大富翁”这样包含 掷色子的随机行为的游戏不属于组合游戏；像“斗地主” “军旗”这样的对自己 当前状态保密的游戏，不属于组合游戏。 所以总结起来， 对于一个组合游戏， 一般可以用 f： XP(x)来描述游戏规则。 其中 X 表示状态集，P(x)表示 X 的子集簇。f(x)就表示玩家可以从 x 出发一步操 作后到达的状态的集合。我们称任一个 y f ( x) ，y 是 x 的一个后继。也就是说， 本文讨论的组合游戏可以被理解成一个有向无环图 G=(V,E)，图的点集 V=X，边 集 E=(xy| y f ( x) )。
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步骤 3：找到所有的未定状态中，可以一步到达 P 状态的状态，都设置为 N 状态。 步骤 4：若上两步中没有产生新的 P 状态或 N 状态，程序结束，否则回到步 骤 2。 上面这个算法是解决一切游戏论问题的普遍方法。不难发现，对于游戏 G(V,E)，这个算法的时间复杂度是 O(|E|)。 但是，这个算法的普遍适应性，意味着它时间效率不高。对于“k 倍动态减 法游戏”而言，|E|= (S 3 ) ，T(e)= (S) ，所以这个算法相对于 T(e)是立方阶的， 并不十分优秀。在 2002 年的集训队论文中提出的对于一般的 k 的算法正是这个 O(S3)的动态规划方案，接下去本文将在此基础上，获得一个相对于 T(e)线性的 算法。
S ( x) S ( y) 1 ，所以 S ( x) (T ( x)) 。有很多例子中， S ( x) (T ( x)) ，下文中
将会提及的“捡石子游戏”就是一个这样的例子；但是，在更多的游戏中
S ( x) (T ( x)) ，例如在本文主要讨论的“k 倍动态减法游戏”， S ( x) (T ( x) 2 ) ，
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四．基于动态规划的算法优化
4．1．基于单调性的方法 4．1．1． “k 倍动态减法游戏”的状态单调性
在 “k 倍 动 态 减 法 游 戏 ” ， 状 态 (m,n) 是 关 于 n 单 调 的 。 即 ， 若 记
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二．问题的提出
k 倍动态减法游戏：有一个整数 S（>=2） ，先行者在 S 上减掉一个数 x，至 少是 1，但小于 S。之后双方轮流把 S 减掉一个正整数，但都不能超过先前一回 合对方减掉的数的 k 倍，减到 0 的一方获胜。问：谁有必胜策论。 根据引言部分游戏论的理论，把这个游戏抽象成数学模型，可以用一个有序 数对(m,n)来表示状态，表示当前 S 剩下 m，当前回合操作者最多可以减去 n，于 是初始状态为(S,S-1)。 对于 k=1 或 2 的情况，2002 年国家集训队的论文中已给出结论。当 k=1， 当且仅当 S 是 2 的幂次时，后手胜。当 k=2，当且仅当 S 是一个费波纳切数时， 后手胜。显然这两个判定的时间复杂度都是 O(logS)，如果考虑高精度计算的话 时间复杂度是 O(log2S)。若要更进一步，找到必胜策略，并且在整个游戏过程中 维护它，这里先略去，后面会同一般的 k 的情况一起讨论。