数学分析定义、定理、推理一览表
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
大学数学数学分析的基本概念与定理
大学数学数学分析的基本概念与定理数学分析是大学数学的基础课程之一，它研究实数域上的函数及其性质，是数学学科的重要组成部分。
在学习数学分析的过程中，掌握一些基本的概念与定理是非常重要的。
本文将介绍数学分析中的一些基本概念与定理。
一、实数与数集在数学分析中，实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，记作R。
实数具有完备性和有序性等基本性质。
数集是指一些数的集合，它可以是有限集也可以是无限集。
常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
二、极限与收敛在数学分析中，极限是数列或函数的重要概念之一。
数列极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个固定的数。
函数极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数的值趋向于一个固定的数。
收敛是指数列或函数具有极限的性质。
如果一个数列或函数存在极限，我们称它为收敛的；如果不存在极限，我们称它为发散的。
三、连续性与导数在数学分析中，连续性与导数是函数的重要性质。
连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质，如果一个函数在某个点处连续，则在该点处左右极限存在且相等。
导数是函数的变化率的概念。
对于实数函数，如果该函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。
导数的计算公式和性质是数学分析中的重要内容之一。
四、积分与微分方程积分是函数的逆运算。
在数学分析中，我们通过积分可以计算曲线下的面积、求定积分、解微分方程等。
微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是工程技术和物理学中常见的数学模型。
五、级数和函数项级数级数是数列之和的概念。
在数学分析中，级数是由一系列无穷多个数相加得到的结果。
常见的级数有等比级数和调和级数等。
函数项级数是将函数的无穷项和考虑进去的级数，它在实际问题中具有重要的应用。
六、基本定理与中值定理在数学分析中，基本定理起到了核心作用。
常见的基本定理有微积分基本定理、泰勒展开定理等。
中值定理是函数与导数之间的关系定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
总结起来，数学分析包含了实数与数集、极限与收敛、连续性与导数、积分与微分方程、级数和函数项级数、基本定理与中值定理等基本概念与定理。
数学分析导论
数学分析导论数学分析是一门研究实数集上的函数性质的学科，是数学的基础学科之一。
在数学分析导论中，我们将深入探讨数学分析的基本概念、定理和技巧。
1. 实数与数轴实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。
在数轴上，我们可以将实数与点一一对应，利用数轴可以直观地了解实数的大小和相对关系。
2. 有界性与极值定理对于函数而言，有界性是一个重要的性质。
有界函数不会无限增长或减小，并且可以在一定区间内取到最大值和最小值。
极值定理告诉我们，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。
3. 无穷小与极限无穷小是研究极限的基本工具。
对于给定的函数序列，当自变量趋于某个特定值时，函数值也相应地趋于一个特定的常数。
这个过程可以用极限来描述，而无穷小是极限的基本构成要素。
4. 连续性与间断点连续性是分析学中的重要概念。
一个函数在某点连续，意味着当自变量接近该点时，函数值也会趋于该点。
间断点则是指函数在某点不连续的情况，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。
5. 导数与微分导数是分析学中的核心概念，代表了函数在某点的变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，也可用来求解函数的极值和函数的图像特征。
微分则是导数的基本运算，将函数变化量与自变量变化量之间的关系联系起来。
6. 级数与收敛性级数是由无穷个数相加所得的结果。
我们将研究级数的收敛性，即级数是否可以无限地逼近一个特定的数。
通过研究级数收敛性，我们可以解决很多数学和物理方面的问题。
总结：数学分析导论是数学学科中具有重要基础性的一门课程。
通过对实数与数轴、有界性与极值定理、无穷小与极限、连续性与间断点、导数与微分、级数与收敛性等概念和定理的学习，我们可以更好地理解函数的性质和数学推理的方法。
数学分析导论不仅在理论研究中具有重要地位，也在实际问题的求解中起到关键作用。
通过对数学分析导论的学习，我们可以培养出扎实的数学基本功和严谨的逻辑思维能力，为深入研究数学建立坚实的基础。
数学分析的基本定理与推导
数学分析的基本定理与推导数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微积分等基本概念和定理。
本文将介绍数学分析中的一些基本定理以及它们的推导过程。
定理一：极限的定义与性质极限是数学分析中最基础的概念之一，可以用来描述函数在某一点的趋势。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，则称函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。
定理二：函数的四则运算定理设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$，则有以下四则运算定理：1. $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$2. $\lim_{x \to x_0}(f(x)-g(x))=A-B$3. $\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B$4. $\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）定理三：函数的复合运算定理设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，$g(x)$在$f(x_0)$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{y \tof(x_0)}g(y)=B$，则有$\lim_{x \to x_0}g(f(x))=B$。
定理四：函数的单调性定理设函数$f(x)$在$(a,b)$上可导，则有以下结论：1. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递增；2. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递减；3. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不减；4. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不增。
数学分析定义、定理、推理一览表复习课程
数学分析定义、定理、推理一览表定义1给定两个非负实数x a0.a1.a2L a n L , y b0.b1.b2L b n L其中a o,b o为非负整数，a k,b k k 1,2,L为整数，若有0 a k 9,0 b k 9.则称x与y相等，记为x y .若a0b0或存在非负实数l,使得a kb k k 0,1,2丄l 而a i b 1,则称x大于y或y小于x,分别记为x y或y x.定义2设x a0.a1a2L a n L为非负实数.称有理数a。
.q a? L a为实数x的n位不足近似，而有理数x n x n称为x的n位过剩近似, n 0,1,2,L .实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a b,a b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4.实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3绝对值得一些性质1. a a 0;当且仅当a=0时有a 0.2. a a a .3. a h h a h; ah h a h(h 0). 4. 对于任何a 、b R 有如下三角形不等式：a b a b a b .5. ab a||b .a |a|&冷0)定义4 实数a 的绝对值定义为a 从数轴上看，数a 的绝对值 a, a 0, a, a 0. a 就是a 到原点的距离区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间闭区间：a,b x|a x b ,半开半闭区间：a,b xa x b , 区间(,a] x|x a , , a,b R.工(a, ) xx a ,无限区间(,a) x|x a ,(,)x x R,邻域：a R, 0.满足x a 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;,或U (a),即有U(a; ) {x||x a| } (a ,a ).点a的空心邻域：U°(a; ) {x| 0 | x a| }.点a的右邻域：U (a; ) [a,a );点a的左邻域：U (a; ) (a ,a];点a的空心右邻域：U 0(a; ) (a, a );点a的空心左邻域：U 0(a; ) (a , a);邻域U( ) {X||x| M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；定义5有界的定义设S为R中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x S,都有x M (x L),则称S为有上界(下界)的数集，数M (L)称为S的一个上界(下界)■简记：S R, M 0, x S x M ,称S有界■若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集■若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义1设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的上界；ii , x o S,使得x o ，即又是S的最小上界,则称为数集S的上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的下界；ii , x0 S,使得x0，即又是S的最大下界,则称为数集S的下确界，记作=inf S定理1设数集S有上确界•i) =sup S S =max S.ii) =inf S S min S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.定理2设A B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y.数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的) 函数的概念定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f : D M,x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (x).全体函数值的集合f(D) y| y f (x),x D ( M ) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f ,x ^和g,x D 2,记D=D 11 D 2,并设D .定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：F(x) f(x) g(x),x D,G(x) f(x) g(x),x D,H(x) f(x)g(x),x D.若在D 中剔除g(x) 0的x 值，即令D * D i I x| g(x) 0,x D 2, 则除法如下L(x) f (x)/g(x),x D *. 初等函数定义2给定实数a 0,a 1设x 为我们规定sup {a r | r 为有理数}，当a 1时， a x r xi n f {a r |r 为有理数}，当0 a 1时.r x几个重要的等式(不等式)数列极限定义1收敛数列的性质定义1设a-为数列，n k为正整数集N +的无限子集，且n i n2 L n k L ，则数列a-i,a-2,L ,a-k,L称为数列a-的一个子列，简记为a-k.平凡子列：数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列a-收敛的充要条件是：a-的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定义1设f为定义在a, 上的函数，A为定数若对人给的0,存在正数Ml（ a）,使得当x M时有f x A ，则称函数f当x趋于时以A为极限，记作lim f x A或f x Ax .x2设函数f在点怡的某个空心邻域U。
数学分析定义、定理、推理一览表汇编
定义1 给定两个非负实数 012..,n x a a a a = 012..,ny b b b b = 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.()0011,0,1,2,,,.k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或定义2012012..1100,1,2,.nnn n nx a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数为实数的位不足近似，而有理数 称为的位过剩近似，1.R 00.2.b b,b, b.3.b,b c, c.4.b R,b>>0,n n >b.5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.定义3,0,,0.a a a a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.绝对值得一些性质1.0;=00.2..3.;(0).4..5..6.(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a ab b b=-≥=-≤≤<⇔-<<≤⇔-≤≤>∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式： 定义4区间和邻域(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,,,,,.,],(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ⎧⎧=<<⎪⎪⎪=≤≤⎪⎨⎪⎪=≤<⎪⎪⎩⎪∈⎧-∞=≤⎨⎪⎪+∞=>⎪⎪⎨⎪-∞=<⎪⎪⎪⎪-∞+∞=-∞<<+∞=⎩⎩∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=-<=-+=<-<=+=-=+=-∞∞=>+∞+∞=。
【推理与证明的数学知识点总结】推理与证明知识点
【推理与证明的数学知识点总结】推理与证明知识点推理与证明的数学知识点总结推理与证明的数学知识点总结由一个或几个已知的判断(前提)，推导出一个未知的结论的思维过程。
推理是形式逻辑。
以下是有关推理与证明的数学知识点相关汇总,欢迎大家阅读! 推理与证明的数学知识点总结一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。
2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。
3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。
4. 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。
二、类比推理：一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。
如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。
三、证明：1.对某个命题进行推理的过程称为证明，证明的过程包括已知、求证、证明2.证明的一般步骤：(1)审清题意，明确条件和结论;(2)根据题意，画出图形;(3)根据条件、结论，结合图形，写出已知求证;(4)对条件与结论进行分析;(5)根据分析，写出证明过程3.证明常用的方法：综合法、分析法和反证法。
四、辅助线在证明中的应用：在几何题的证明中，有时了为证明需要，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅助线，常用虚线表示。
并在证明的开始，写出添加过程，在证明中添加的辅助线可作为已知条件参与证明。
常见考法(1)灵活运用基础知识进行推理，运用综合法、分析法，从条件和结论两方面出发进行证明;(2)在中考中，考查类比推理，先设计一个条件、结论明确的问题，以此作为类比对象，然后再对其改造。
比如，图形的变式，添加某些新的属性或改变某些属性，通过与原有问题的比较，推测新问题的结论与解决方法。
误区提醒(1)不能准确把握几何公理、定理的内容;(2)数学语言、符号语言、文字语言在相互转化中出现表述错误。
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定义1
收敛数列的性质
定义1设 为数列， 为正整数集N+的无限子集，且 ，
则数列 称为数列 的一个子列，简记为 .
平凡子列：数列 本身以及去掉有限项后得到的子列.
非平凡子列：不是平凡子列的子列.
数列 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.
定理2.9数列 收敛的充要条件是： 的任何非平凡子列都收敛.
2.考察函数的奇偶性、周期性；
3.求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
4.确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
5.考察渐近线；
6.综合以上结果画出函数图像.
定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
函数极限
定义
函数极限的性质
无穷小量阶的比较（定义见下页末）
函数极限存在的条件
两个重要极限
常见的几个等价无穷小量
函数的连续
区间上的连续函数
连续函数的性质
导数和微分
定义2单侧导数
导函数
导数的几何意义
求导法则
反函数的导数
复合函数的导数
基本求导法则
基本初等函数导数公式
参变量函数的导数
高阶导数
定义略
微分
定义1
定理5.10
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函数为可微函数.
微分的运算法则
高阶微分
微分中值定理
函数的极值与最值
通过比较 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值才能得到最大值或最小值.
函数的凸性拐点
函数图像的讨论
作函数图像的一般程序
1.求函数的定义域；
定义1给定两个非负实数
其中 为非负整数， 为整数，若有
则称 与 相等，记为 .
定义2
定义3
绝对值得一些性质
定义4
区间和邻域
定义5有界的定义
定义6确界的定义
定理1
定理一确界原理
定理2
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
函数的概念
定义1
函数的四则运算
初等函数
定义2
几个重要的等式（不等式）