共线向量与共面向量
共线向量与共面向量.
加法结合律（点乘不适用） 数乘分配律(点乘分配律也适用) 即：a · (b
± c )= a ·b ± a ·c
2
二、有关概念：
1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量
(说明：平行向量与直线的平行是有区别的) 符号：“∥” 例如：右图中三线段互相平行， b a 则有： a∥ b ∥ c 读作： , , 是共线向量。 b a c c 2，对共线向量的理解： （1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位 置关系有哪些？ （2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化： 3 主要是直线位置摆放的变化（ 0 怎么认识？ ）
2，判定三个向量共面方法： 共面向量定义和定理（两种判定方法），要素为：
定义法：这多个向量与同一平面平行； 定理判定：一向量是另外两个向量的线性组合 3，作用：判定向量、四点共面，向量间计算等 推论：点P在面MAB内 存在x、y∈R，满足： MP=x MA +y MB 或 OP= OM+x MA+y MB(O为任一点) P 分析： 点 P 已在平面 MAB 内， y MB MP 必有 MP MA MB在同一面内 B （还有 PM PA PB 在同一面内） 则：一个是另外两个的线性组合 MP =x MA +y MB 成立 M x MA 15A 由共面向量定义及有公共点M即证
19
2,判断正误(其中x、y ∈R)： ①若 a b c 共面，则有： a =x b +y c ( ) ②若 a b c不共面，则： a =x b +y c 不成立（ ） b c不共线，则：a =x b +y c ( ) ③若 a b c 共面， ④若 a =x b +y c ，则： a b c 共面。（ ）
共线向量
①或②都叫做空间直线的向量参数方程
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；
纵深排列的六间正房是保存完好的六处画廊，收藏着五千年来汉文化的稀世珍品： 最早的“象形阁”四壁皆是卓然独立的景物画，日月山川，草木虫鱼，人物鸟兽在远祖的石笔下从容点染，栩栩如生。 爬满古藤的“指事厅”集中了大量象征画，那是取材于世间万象，提炼为写意符号的精纯 之作，线条洗练流畅，画简意赅。 翠柏掩映的“会意堂”布满粘贴画，五彩的偏旁部首带给先祖多少灵感，任他随心取舍，率性成趣。 湖石装饰的“假借斋”有常人难以想见的印象画，千古流传的画风自成一体，琢丑石为美玉，化平凡为神奇，恰是先祖的“雕虫小技”；小巧别致的“转注 馆”是不同手笔的同题画，相同的物象，不一样的意韵，随画家相异的视角自然流转，丰富而本真。 藏品最丰名气最大的当属金碧辉煌的“形声轩”，这是一整屋形声俱备的视听画，你随意选取一幅，只需轻轻掸去五千年的浮尘，画幅上的世事云烟立刻跃入眼帘，耳旁骤然响起来自远古的 歌声与呼唤。你见过这种特殊的绘画形式吗？你听说过这种不同凡响的绘画技巧吗？千百年来慕名而至的人们无不叹服我的祖先的聪明才智——这是举世无双独一无二的艺术绝唱啊！ 这就是汉字，我的祖屋，我的家！我迷恋它雕梁画栋的亭阁楼台，我更迷恋它朝晖夕阴中隶楷行草的万千气 象： 赏心悦目的，是旭日的光箭穿过宽阔而幽深的甬道，照亮祖屋的身躯，优雅而颀长；令人陶醉的，是正午的艳阳放射出道道金辉，铺撒祖 屋的胸襟，舒展高贵，气度雍容；心驰神曳的，是脉脉的斜晖将祖屋分明的棱角慢慢隐去，只留轻盈身姿，飘飘欲飞；最最摄魂夺魄的，当是梦幻的 烟月下，斑驳的树影中，祖屋如龙蛇行走，曼妙莫测！ 探不完的深宅奇景，品不够的千古神韵。这就是汉字，我的祖屋，我的家！ 这里埋藏着我祖先的经脉，这里跳动着我世族的心。我感知着它们才能安然入睡，我触摸着它们才能无所惧怕。 我在祖屋的世代书香中孕育，我在祖屋的千年 墨韵里成长。看五千年的辉煌历史从祖屋门前静静流淌，望五千年的灿烂文明依旧在祖屋的头顶熠熠生光。 我把汉字刻在了心底，我心灵的蜗居建在汉字方正的屋檐下。 怎么跟你说呢？ 无论岁月把我带到世界的哪一个角落，看见汉字，我就找到了家。 [教师语] 你读懂了吗？“我家”是 由汉字构成的，上下左右内外的间架结构、横竖撇捺点折提钩的笔画、象形指事会意假借转注形声的六书、隶楷行草字体等博大精深的汉字知识都被巧妙地包容在其中了，如此别致，如此让人流连忘返！ 吟唱与道路? 张? 睿 我的故乡是那种真正地理意义上的穷乡僻壤。除了生生不息的风沙， 广袤的空间里别无他物。通向外部世界的道路是有的，那甚至还是资格很老的一条商路，曾经忝称汉唐“丝绸之路”的北线干道，振响过西域胡商的驼铃，但在漫长的岁月里久已沦为毛驴车的便道。很少有人循着道路走向广大纷繁的世界，追求轻松如意的生活。 生活对于我恩宠有加，我走 出来了。为了求学，我乘坐破旧不堪的“驼铃”汽车，在故乡大靖镇和凉州城之间的这条路线上来来去去。深刻的荒凉和不停顿的吟唱，构成了我少年生活的特殊断面。常常是，当圆润的红日从高丘的烽火台上跳溅而出，使远近的沙海金黄而耀眼，汽车穿过边墙（明长城）的豁口，追逐着自 己长长的影子钻进茫无人烟之地。一种清冷的、离乡背井的凄楚控制了乘客们的内心，在车厢内造成了长时间不自然的死寂。人们在剧烈的颠簸中，梳理各自如麻的思绪。蜥蜴在沙地上游窜，刺猬躲在白刺果丛中发呆，线条柔和的沙丘宛若稍事歇息的大军，平静耐心地等候汽车通过。 一个 吆着毛驴车以卖水为生的小伙子多年不变地迎面而过，他的冲着阳光的脸庞安祥而茫然，大开大阖的嘴里一如既往地高唱着一支大家都无比熟悉亲切的民歌：“太阳一出来唉，唉咳唉咳唉咳唉咳唉……”于是，我的蜷缩成一团的、恐惧与悲伤交织的情感仿佛找到了出口，化作低徊的旋律尽情 宣泄。我开始哼唱。一连串沉重、单调、互相因袭的音符从声带升起，在牙关紧咬的口腔内回荡，然后自翕动的鼻腔冲出，紧紧包裹了我自己。那是不通乐理的嗓子发出的嗡声，有点像神经质的自言自语，却很快给我带来抵御寒冷的温暖和缓解精神压力的安全感。 哼唱—起头就没个完，那 真是—种绝妙的经验。随着平铺直叙的旋律，不断得到暗暗的扩展，营追出令人神往的美妙意境；对自然和生命的感知一点点深入，或者令我悚然而惊，或者使我喜极而泣。这普通的哼唱，表现出好像不是出自哼唱者凡胎俗体一般的深沉莫测，以至于我成了 躲在一边的欣赏者和旁观者，为 之陶醉或迷惑。有时我感到，它就像灵魂深处钻出来的一只鹰隼，以比我苍老得多的眼和心，满怀悲悯地巡视着了无生气的大地和懦弱的生灵。 我生来是—个缺乏音乐细胞的农人之子，对于这一点我遗憾不大：人可以借由不同的方式存活于世。我那种槽践艺术的放肆哼唱，虽然不能给别的 耳朵带来快乐的享受，却反映了成长的心灵与大自然进行交流对话的愿望。它对整个世界不具什么影响，却涵盖了少年内心生活的全部，指引着它的选择和方向。 这样的哼唱，可以持续很长时间；这样的哼唱，坚持了许多年。 喑哑的声音，宛如窗外田塬上纵辔奔驰的野马，柔韧有力地伸展 蔓延，其中包含着感伤的、无以名状的情感，零星断片的思虑和无限沉迷直达生命根底的痴醉。它是生命忠实的使者，不但使个人的历史有机成序，也以一种磁性的力量搭上未来生活的脉搏。 因而我可以说是哼哼不已地远离了家乡，那也算得上一次激越光辉的旅程。直到某个难以确定的时 间界点，命运的进程“咔嚓”一声出了问题，显示出逆转的迹象。野性的哼唱失去了精神催动和肺部支撑，逐渐衰微以至于无。我丢了这份哼唱的本领已有一些年头，现在虽也并非全然哼不成调，但冒出来的干脆就是声音垃圾，略无旧时况味了。 严酷的生活环境酿生的哼唱激情被严酷的心 灵现实所扼杀。而道路是另一回事。道路有自己的生长方式，真正的道路永远是激情和思想发育滋长的摇篮，昭示着俯视人类的古老尊严和气节。我经常怀着感念的心情想起故乡的道路。十多年前它像一条疙疙瘩瘩的旧麻绳，随随便便被流沙掩埋、扭曲和拗断，波浪形的砂石路面使汽车舞蹈 不止，路边除了稀稀拉拉的骆驼草、白刺果和红柳丛，罕有生机；如今它已出落成一条优雅笔挺的柏油路，蜿蜒于日见茂盛的绿色原野。一项大型水利工程的建设迅速改变着这片沙塬的面貌，流沙远避而去，植物和庄稼忙于恢复失地。越来越多年轻或不年轻的乡亲，经由道路外出寻求不依赖 于土地的别样的活法。我所熟悉的道路和故乡，差不多只是个人心中的历史了。 偶尔走在还乡的路上，我已不再哼唱。家乡的阳光豪爽明艳，我倒宁愿在车上酣睡一场。 没有借口? 寒涛 美国的西点军校在世界上名气很大，它不仅培养了一批批优秀的军事人才，也培养出无数商界的精英。 在这所学校里有一个久远的传统，就是学生遇到军官问话时，只能有四种回答：“报告长官，是！”、“报告长官，不是！”、“报告长官，不知道！”、“报告长官，没有借口！”。除此之外，不能多说一个字。比如，军官派你去完成一项任务，但由于种种原因，你没能按时完成，当军官 问你为什么时，如果你为自己辩解，说由于这样或那样的原因，导致自己没有按时完成任务，那就错了，你只能说：“报告长官，没有借口！”因为军官看重的是结果，他根本不会听你的长篇大论的解释。 这所学校之所以采取这种方式，就是为了让学生学会适应压力，培养他们不达目的誓 不罢休的毅力，尽量把每一件事都做得更好。它让每一个学生懂得：失败是没有任何借口的。 在生活中，我们经常会听到一些借口，上班迟到了，会有“路上堵车”、“手表停了”或者“家务事太多”的借口；考试不及格，会有“出题太偏”、“监考太严”，“题量太大”的借口；做生意 赔了本会有借口；工作落了后也有借口……只要细心去找，借口总会有的。借口成了一 面挡箭牌，某件事一旦办砸了，就能找出一些冠冕堂皇的借口，以换得他人的理解和原谅。找到借口的好处是能把自己的过失掩盖住，把应该自己承担的责任推卸掉，心理上得到暂时的平衡。但长此以往 则有害而无益，，因为有各种各样的借口可找，自己就会疏于努力，不再是想方设法争取成功，而是把大量的时间和精力放在如何寻找一个更合适的借口上。 “没有借口”看似冷漠，缺乏人情味儿，但它却可以激发一个人最大限度的潜力。在人生中，不要把太多的时间花费在寻找借口 上，失败了也罢，做错了也罢，再美妙的借口对于事情本身的改变没有丝毫作用。不如仔细地想一想，下一步究竟该怎样去做。 雪的面目 林清玄 在赤道，一位小学老师努力地给儿童说明"雪"的形态，但不管他怎么说，儿童也不能明白。 老师说：雪是纯白的东西。 儿童就猜测：雪是像盐 一样。 老师说：雪是冷的东西。 儿童就猜测：雪是像冰淇淋一样。 老师说：雪是粗粗的东西。 儿童就猜测：雪是像砂子一样。 老师始终不能告诉孩子雪是什么，最后，他考试的时候，出了"雪"的题目，结果有几个儿童这样回答："雪是淡黄色，味道又冷又咸的砂。" 这个故事使我们知道， 有一些事物的真相，用言语是无法表白的，对于没有看过雪的人，我们很难让他知道雪。像雪这种可看的、有形象的事物都无法明明白白，那么，对于无声无色、没有形象、不可捕捉的心念，如何能够清楚地表达呢？ 我们要知道雪，只有自己到有雪的国度。 我们要听黄莺的歌声，就要坐到 有黄莺的树下。 我们要闻夜来香的清气，只有夜晚走到有花的庭院去。 那些写着最热烈优美情书的，不一定是最爱我们的人；那些陪我们喝酒吃肉搭肩拍胸的，不一定是真朋友；那些嘴里说着仁义道德的，不一定有人格的馨香；那些签了约的字据呀，也有抛弃与撕毁的时候！ 这个世界最 美好的事物都是语言文字难以形容与表现的。 就像我们站在雪中，什么也不必说，就知道雪了。 雪，冷面清明，纯净优美，在某一个层次上像极了我们的心。 鸟儿中的理想主义? 筱敏 我对笼中继续扑翼的鸟一直怀有敬意。 几乎每一只不幸被捕获的鸟，刚囚入笼中都是拼命扑翼的，他 们不能接受突然转换了的现实的场景，它们对天空的记忆太深，它们的扑翼是惊恐的，焦灼不安的，企图逃离厄运的，拒绝承认现实的。然而一些时日之后，它们大都安静下来，对伸进笼里来的小碗小碟中的水米，渐渐能取一种怡然的
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解
共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面平面向量是在平面上有大小和方向的矢量，可以用有向线段表示。
共线是指两个或多个向量具有相同的方向或相反的方向；共面是指多个向量所在的直线都在同一个平面上。
本文将从定义、判定条件、性质和几何意义等方面探讨平面向量的共线与共面。
一、定义平面向量是具有大小和方向的有序对。
用有向线段AB表示向量，表示为AB。
向量有起点A和终点B，起点和终点相同的向量为零向量，记作0。
在平面上，如果两个向量的起点或终点相同，则这两个向量是共线向量。
二、共线的判定条件两个向量共线的判定条件有两种：一种是通过向量的倍数关系判定，另一种是通过向量的坐标表示判定。
1. 倍数关系判定：给定两个向量a和b，如果存在一个数k，使得a=k·b，则a和b共线。
根据这一判定条件，可以得出两个向量共线的必要条件为它们的方向相同或相反。
2. 坐标表示判定：设向量a的坐标表示为a=(x1, y1)，向量b的坐标表示为b=(x2, y2)。
如果a、b不是零向量且有x1/x2=y1/y2，则a、b共线。
三、平面向量共线的性质共线向量具有以下性质：1. 共线向量的线性运算：对于共线向量a、b和任意实数k，有a+b和ka也是共线向量。
2. 共线向量的倍点共线：给定向量a和b，那么a和b的中点与a之间的向量、a和b的中点与b之间的向量也共线。
3. 共线向量的加法：对于共线向量a和b，它们之和等于共线化简为k个单位向量（k为实数），即a+b=k。
四、共面的判定条件三个平面向量A、B和C共面的判定条件为：存在实数x、y和z，使得A=x·B+y·C。
五、平面向量共面的性质共面向量具有以下性质：1. 共面向量的线性运算：对于共面向量A、B和任意实数x、y，有x·A+y·B也是共面向量。
2. 共面向量的线性组合：对于共面向量A1、A2、A3和任意实数x1、x2、x3，有x1·A1+x2·A2+x3·A3也是共面向量。
课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法 判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法 即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质， 结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共 线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定 例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？ 【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都 在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
共线向量与共面向量
2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充 推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问 是否共面? x+y+z≠1,则结论是否 是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立? 依然成立?
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，而共线和共面则是用来描述向量之间的关系的。
共线指的是多个向量在同一直线上，共面则意味着多个向量在同一平面上。
平面向量的共线与共面是一种重要的概念，在几何学和物理学中都有广泛的应用。
一、共线向量共线向量是指多个向量位于同一直线上的情况。
为了判断向量是否共线，我们可以通过以下两种方法：方法一：向量的数量积法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们的数量积（又称为点积）的结果为0。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
方法二：向量的比例法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们之间存在一个实数k，使得a=kb。
也就是说，如果一个向量是另一个向量的k倍，那么它们是共线的。
二、共面向量共面向量是指多个向量位于同一平面上的情况。
为了判断向量是否共面，我们可以通过以下方法：方法一：向量的数量积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的数量积的结果为0。
数量积的计算公式如下：(a × b)·c = 0其中，×表示向量的叉积运算。
如果三个向量的数量积为0，则它们共面。
方法二：向量的混合积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的混合积的结果为0。
混合积的计算公式如下：(a × b)·c = 0同样，如果三个向量的混合积为0，则它们共面。
三、应用举例1. 平面几何中的共线与共面在平面几何中，通过判断点是否共线或者判断线段是否相交，我们可以应用共线和共面的概念来求解几何问题。
例如，当我们需要判断三个点A、B和C是否共线时，可以计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
如果它们共线，则说明三个点在同一直线上。
同样地，如果我们需要判断四个点A、B、C和D是否共面，可以计算向量AB、向量AC和向量AD，然后判断它们的混合积是否为0。
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OP OA ta
其中向ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa叫做直线l的方向向量(图9－48)．
l
P
Ba
A
o (图9－48)
其中向量a叫做直线l的方向向量(图9－48)．
P l
Ba
A
OP OA ta ①
作AB a
o
(图9－48)
OP OA t AB
或OP （1 t）OA tOB ②
①或②都叫做空间直线的向量参数方程
例2 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C， 问满足向量式
的四点P、A、B、C是否共面．
解: 原式可变为
OP (1 y z)OA yOB zOC OP OA y(OB OA) z(OC OA)
AP Y AB Z AC
∴点P与A、B、C共面
OH kOD, 求证：
(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面AC∥平面EG．
共线向量与共面向量
与平面一样，如果表示空间向量的有向线段所在 的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量．a平行于b记作a∥b．
共线向量定理
对空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的 充要条件是存在实数λ使a=λb．
a
a b
推论
如果l为经过已知点A且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上 的充要条件是存在实数t，满足等式
线段AB的中点公式
面α，记作a∥α(图9－49)．
们就说向量a平行于平
平行于同一平面的向量， 叫做共面向量
共面向量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量p与 向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y， 使 p=xa＋yb
推论
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件 是存在有序实数对x，y，使
或对空间任一定点O，有
OG kOC,