1 第1课时 集合的概念

1．1 集合的概念 第1课时 集合的概念

考点 学习目标 核心素养 集合的概念 了解集合与元素的概念 数学抽象

元素与集合的关系 理解元素与集合的关系，掌握数学中一些常见的集合及其记法 数学抽象、逻辑推理

集合中元素的特征及应用 理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题 数学运算、数学抽象

问题导学 预习教材P2－P3，并思考以下问题： 1．集合和元素的概念是什么？ 2．如何用字母表示集合和元素？ 3．元素和集合之间有哪两种关系？ 4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

1．元素与集合的概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． (4)元素的特性：确定性、无序性、互异性． ■名师点拨 在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物． 2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法

属于 a是集合 A中的元素 a∈A a属于集合A

不属于 a不是集合 A中的元素 a∉A a不属于集合A ■名师点拨 对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 3．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R

4.集合的分类

集合有限集（含有有限个元素的集合）无限集（含有无限个元素的集合）

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( ) (2)高一四班的全体同学组成一个集合．( ) (3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N中的最小元素为0.( ) (6)若a∈Q，则一定有a∈R.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个．

下列关系①0.21∈Q；②105∉N*；③－4∈N*；④4∈N.其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①是正确的，②中105＝2∈N*，③中－4＝－2∉N*，④4＝2∈N是正确的，故①④正确． 已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________． 解析：由题意知a＋1＝4，即a＝3. 答案：3

集合的概念 2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg的同学； (6)学习成绩比较好的同学 【解】 (1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合． (6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．

判断一组对象能否构成集合的方法 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为： 1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( ) ①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合． 2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍； (2)CBA中比较著名的队员； (3)CBA中得分前五位的球员； (4)CBA中比较高的球员． 解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合． (2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．

元素与集合的关系 (1)下列关系中，正确的有( )

①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数． 因此，①②③正确，④错误． (2)因为a∈A且4－a∈A， a∈N且4－a∈N， 若a＝0，则4－a＝4， 此时A满足要求； 若a＝1，则4－a＝3， 此时A满足要求； 若a＝2，则4－a＝2， 此时A含1个元素不满足要求． 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C

判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．

1．用适当的符号填空： 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有： 17________A；－5________A. 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z， 令3k＋2＝17得，k＝5∈Z . 所以17∈A.令3k＋2＝－5得， k＝－73∉Z.所以－5∉A. 答案：∈ ∉ 2．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为________． 解析：因为1∉A，2∈A，

所以2×1＋a≤0，2×2＋a>0， 即－4答案：－4

集合中元素的特征及应用 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 【解析】 若1∈A，则a＝1或a2＝1， 即a＝±1. 当a＝1时，集合A中有重复元素， 所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1. 【答案】 －1

1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为集合A中含有两个元素a和a2， 所以a≠a2， 即a≠0且a≠1. 2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？ 解：因为2∈A， 所以a＝2或a2＝2， 即a＝2或a＝±2. 3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？ 解：因为由a和a2构成的集合只有一个元素，所以a＝a2，即a＝0或a＝1.

由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

1．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，求实数x的值． 解：因为A＝B，

所以x＋1＝x2，1＝x2＋x或x＋1＝x2＋x，1＝x2. 解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合， 所以x＝－1.

1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A．数学必修1课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 解析：选B.A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合． 2．下列结论中，不正确的是( )