2简谐运动的描述

2 简谐运动的描述
【学科素养与目标要求】
物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.知道简谐运动的数学表达式，知道描述简谐运动的基本物理量．
科学思维：理解周期和频率的关系，结合简谐运动的图象会进行有关判断． 科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义．
【学习过程】
一、课程预习内容及要求 一、描述简谐运动的物理量
1．振幅：振动物体离开平衡位置的 距离． 2．全振动(如图1所示)
图1
类似于O →B →O →C →O 的一个 的振动过程． 3．周期和频率 (1)周期
①定义：做简谐运动的物体完成 所需要的时间． ②单位：国际单位是 (2)频率
①定义：单位时间内完成全振动的 ②单位：
(3)T 和f 的关系：T ＝1
f .
4．相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同 二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x ＝
1．x 表示振动物体相对于平衡位置的 ；t 表示 2．A 表示简谐运动的
3．ω叫做简谐运动的“ ”，表示简谐运动的快慢，ω＝2π
T ＝ (与周期T 和频率f 的
关系)．
4． 代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做 5．相位差
若两个简谐运动的表达式为x 1＝A 1sin(ωt ＋φ1)，x 2＝A 2sin(ωt ＋φ2)，则相位差为Δφ＝ =
1．判断下列说法的正误．
(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的．( )
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．( )
(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．( )
(4)按x ＝5sin (8πt ＋1
4π) cm 的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s ．( )
2．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时(t ＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x ＝__________________________ m. 二、课堂探究、交流,方法归纳 一、描述简谐运动的物理量
如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中A 、A ′点关于O 点对称．
(1)振子从某一时刻经过O 点计时，至下一次再经过O 点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A 点和B 点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
1．振幅和位移的区别 (1)振幅等于最大位移的数值．
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．
(3)位移是矢量，振幅是标量． 2．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅． (2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅． (3)振动物体在1
4
个周期内的路程不一定等于一个振幅．
3．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关． 例1 如图2所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx ，释放后振子在A 、B 间振动，且AB ＝20 cm ，振子由A 首次到B 的时间为0.1 s ，求：
图2
(1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由A 到O 的时间；
(3)振子在5 s 内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
例2 (多选)如图3所示为一质点的振动图象，曲线满足正弦变化规律，则下列说法中正确的是( )
图3
A ．该振动为简谐振动
B ．该振动的振幅为10 cm
C ．质点在前0.12 s 内通过的路程为20 cm
D ．0.04 s 末，质点的振动方向沿x 轴负方向 二、简谐运动表达式的理解
2．从表达式x ＝A sin (ωt ＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt 2＋φ)－(ωt 1＋φ)＝2n π时，Δt ＝2n π
ω
＝nT ，振子位移相同，每经过周期T 完成一次全振动．
3．从表达式x ＝A sin (ωt ＋φ)体会特殊点的值．当(ωt ＋φ)等于2n π＋π
2时，sin (ωt ＋φ)＝1，
即x ＝A ；当(ωt ＋φ)等于2n π＋3π
2时，sin (ωt ＋φ)＝－1，即x ＝－A ；当(ωt ＋φ)等于n π时，
sin (ωt ＋φ)＝0，即x ＝0.
例3 (多选)一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝0.1sin 2.5πt ，位移x 的单位为m ，时间t 的单位为s.则( ) A ．弹簧振子的振幅为0.2 m B ．弹簧振子的周期为1.25 s
C ．在t ＝0.2 s 时，振子的运动速度为零
D ．若另一弹簧振子B 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝0.2sin (2.5πt ＋π4)，则A 滞后B π
4
三、简谐运动的周期性和对称性 (如图4所示)
图4
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即t DB ＝t BD .
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中t OB ＝t BO ＝t OA ＝t AO ，t OD ＝t DO ＝t OC ＝t CO . (2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D )时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C 点)时，位移相同．
②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D )时，位移大小相等、方向相反．
例4 如图5所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 两点间做简谐运动，在t ＝0时刻，振子从O 、B 间的P 点以速度v 向B 点运动；在t ＝0.2 s 时，振子速度第一次变为－v ；在t ＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v ，已知B 、C 之间的距离为25 cm.
图5
(1)求弹簧振子的振幅A ；
(2)求弹簧振子的振动周期T 和频率f .
三、适时检测
1．(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图6所示，下列叙述中正确的是( )
图6
A ．质点的振动频率为4 Hz
B ．在10 s 内质点经过的路程为20 cm
C ．在5 s 末，质点做简谐运动的相位为3
2
π
D ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm
2.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x 1＝5sin(8πt ＋1
4π) cm 的规律振
动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x 2＝5sin(8πt ＋5
4π) cm ，求它们的相位差．
3．(简谐运动的分析)如图7所示为A 、B 两个简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答：
图7
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是______cm，周期是______s.
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
4．(简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间t ab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b 点．O点为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
图8。