2019高中自主招生必做试卷(数学)含答案
2019年上海中学自招数学试卷
2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案解析)
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值一定是( )A. 非负数B. 负数C. 正数D. 零 2. 将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2−100a +7=0以及7b 2−100b +6=0，且ab ≠1，则ab 的值为( )A. 503B. 67C.1007D. 764. 若a =√3√2+√3+√5，b=2+√6−√10，则ab 的值为( )A. 12B. 14√2+√3√6+√105. 满足|ab|+|a −b|−1=0的整数对(a,b)共有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：27. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+⋯+20192的个位数字是( )A. 0B. 1C. 5D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 369. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组{ax +by =22x +y =3，只有正数解的概率为( ) A. 112B. 16C. 518D. 133610. 方程3a 2−8a −3b −1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个12. 若关于x 的方程x 2+ax +b −3=0有实根，则a 2+(b −4)2的最小值为( )A. 0B. 1C. 4D. 9二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）13.已知x=3+√132，则代数式x4−3x3−3x+1的值为______．14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，则BE的长为______．16.已知关于x的方程√x2−2x+1−√x2−4x+4+2√x2−6x+9=m恰好有两个实数解，则m的取值范围为______．17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE=5DF，则PFPE=______．18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN=DM，则线段MN的最小值为______．19.若−12<x<1，x1+x−2x2=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．三、解答题（本大题共2小题，共38.0分）20.已知二次函数y=x2+(a−7)x+6，反比例函数y=ax(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；(3)若这两个函数的交点都在直线x=12的右侧，求a的取值范围．21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF=∠ABE(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=23，GE=3，求AE的长(用含n的代数式表示)；(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE，求DE的长．的对称点A′，A′到CG的距离为3√24答案和解析1.【答案】A【解析】解：M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13=4x 2−12xy +9y 2+y 2−4y +4+x 2−6x +9=(2x −3y)2+(y −2)2+(x −3)2≥0，故M 一定是非负数． 故选：A ．通过配方法配出平方根，从而判断M 值的大小．本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键． 2.【答案】C【解析】解：将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6(m −2)2=12×12(m −2)， 解得m 1=26，m 2=2(舍去)， 故选：C ．只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m 的值． 本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D【解析】解：∵7b 2−100b +6=0， ∴6×1b 2−100×1b+7=0，∵6a 2−100a +7=0，∴a 、1b 是方程6x 2−100x +7=0的两根， ∴由根与系数的关系可知：ab =76，故选：D ．根据根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 4.【答案】B【解析】解：a =√3√2+√3+√5√2+√3−√5√2+√3−√5=√3(√2+√3−√5)2√6=√2(√2+√3−√5)4=b4．∴ab =14． 故选：B ． 将a 乘以√2+√3−√5√2+√3−√5可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出ab 的值．本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．5.【答案】C【解析】解：∵|ab|+|a−b|=1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a−b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1①当|ab|=0，|a−b|=1时，Ⅰ、当a=0时，b=±1，∴整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)，Ⅱ、当b=0时，a=±1，∴整数对(a,b)为(1,0)或(−1,0)，②当|a−b|=0，|ab|=1时，∴a=b，∴a2=b2=1，∴a=1，b=1或a=−1，b=−1，∴整数对(a,b)为(1,1)或(−1,−1)，即：满足|ab|+|a−b|=1的所有整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)或(1,0)或(−1,0)或(1,1)或(−1,−1)．∴满足|ab|+|a−b|−1=0的整数对(a,b)共有6个．故选：C．先判断出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|= 0，|ab|=1是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BF//AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF//AD∴∠F=∠DAO∵BO=DO，∠BOF=∠DOA∴△FOB≌△AOD(AAS)∴FO=AO∵AO=2EO∴FO=2EO∴EO=EF，∵E为BC边的中点∴BE=CE∵∠BEF=∠CEO∴△BEF≌△CEO(SAS)∴∠BFE=∠COE∴BF//OCAD//OC∴S△ACD=S△AOD，∵BD=2OD∴S△ABD=2S△AOD，∴S△ABD=2S△ACD∴S△ACD：S△ABD=1：2；故选：D ．过点B 作BF//AD 交AE 延长线于F ，连接OC ，先证明△FOB≌△AOD ，再证明△BEF≌△CEO ，可得AD//OC ，可得S △ACD =S △AOD ，由S △ABD =2S △AOD ，可得S △ACD ：S △ABD =1：2；本题考查了全等三角形判定和性质，三角形面积，平行线间的距离等知识点，有一定的难度，解题关键是作平行线构造全等三角形． 7.【答案】A【解析】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，∵2019÷10=201…9，(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1) =45×201+45 =9045+45 =9090，∴12+22+32+42+⋯+20192的个位数字是0． 故选：A ．由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可．此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律． 8.【答案】D【解析】解：∵x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，[(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2][12+12+12]≥[(1×(x +1)+1×(y +2)+1×(z +3)]2=(x +y +z +6)2(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2≥36∴(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为36． 故选：D ．根据已知条件可得x 、y 、z 的值即可求解．本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是合理分析已知条件． 9.【答案】B【解析】解：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ， ∵使x 、y 都大于0则有x =3b−22b−a >0，y =4−3a2b−a >0， ∴解得a <43，b >23或者a >43，b <23，∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是1，2，3，4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 无解， 这两种情况的总出现可能有6种； (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为=636=16， 故选：B ．首先分两种情况：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ，再由x 、y 都大于0可得x =3b−22b−a >0，y =4−3a 2b−a>0，求出a 、b 的范围，列举出a ，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率．此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，题目综合性较强． 10.【答案】B【解析】解：∵3a 2−8a −3b −1=0， ∴b =a 2−83a −13=(a −43)2−259，∵0≤a ≤5， ∴−43≤a −43≤113， ∴0≤(a −43)2≤1219， ∴−259≤(a −43)2−259≤969，即−259≤b ≤969，∴整数b =−2，−1，0，1，…，10，共13个，故选：B ．首先将方程3a 2−8a −3b −1=0进行变形，变成用含a 的代数式表示b ，然后把含a 的代数式配方，再根据a 的取值求出b 的取值范围，由于是求b 的整数的个数，所以再找b 的取值范围内的整数解即可．此题主要考查了利用配方法求一元二次方程的整数根，做此题的关键是用含a 的代数式表示b ，然后根据a 的取值求b 的取值，综合性较强，难度不大． 11.【答案】C【解析】解：根据题意得三角形的三边都小于20， 设最小的两边为x ≤y ≤19，x +y >20 当x =2时，y =19， 当x =3时，y =18， 当x =4时，y =17，18， 当x =5时，y =16，17， 当x =6时，y =15，16，17， 当x =7时，y =14，15，16， 当x =8时，y =13，14，15，16， 当x =9时，y =12，13，14，15，当x =10时，y =11，12，13，14，15， 当x =11时，y =11，12，13，14， 当x =12时，y =12，13，14， 当x =13时，y =13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33， 故选：C ．首首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三边和为40长，得到三角形的三边都必须小于20；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件．12.【答案】B【解析】解：由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，∵a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，则两点的距离d=2√12+x2=2√x2+1=√x2+1≥1，∴点(a,b)到(0,4)距离的最小值为1，即a2+(b−4)2的最小值为1，故选：B．由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，而a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，再根据点到直线的距离公式求解可得．本题主要考查两点间的距离公式，熟练掌握公式的定义是解题关键．13.【答案】2【解析】解：当x=3+√132时，原式=x4−3x3−3x+1=(x2)2−3x(x2+1)+1=[(3+√132)2]2−3×3+√132[(3+√132)2+1]+1=(11+3√132)2−3×3+√132×13+3√132+1=119+33√132−117+33√132+1=1+1=2．故答案为：2．将原式适当变形，再代入进行计算便可．本题主要考查了求整式的值，二次根式的计算，适当进行整式的变形，可以减小计算的难度．14.【答案】60【解析】解：设正十边形为A1A2 (10)以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形，则以4个顶点为顶点的梯形有：30+20+10=60(个)，故答案为：60．分以A1A2为底边、A1A3为底边、A1A4为底边，根据梯形的概念、正多边形的性质解答．本题考查的是梯形的概念、正多边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15.【答案】√52【解析】解：如图，连接AA′，延长ED交AA′于点M∵∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=√AC2+BC2=√5∵D为AB中点，∴AD=DB=√5 2∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD=A′D，AE=A′E∴ED垂直平分AA′∴EM⊥AA′，∵AD=DB=AA′=√5 2∴△ABA′是直角三角形∴∠AA′B=90°，即AA′⊥A′B∴ME//A′B∴∠MEF=∠FA′B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，∴S△DEF=14S△AEB，∴DF=14AB=12DB∴DF=FB，且∠MEF=∠FA′B，∠A′FB=∠EFD ∴△A′FB≌△EFD(AAS)∴EF=A′F，且DF=FB，∠EFB=∠A′FD∴△BFE≌△DFA′(SAS)∴AD=BE=√5 2故答案为：√52连接AA′，延长ED交AA′于点M，由勾股定理可求AB=√5，可得AD=DB=√52，由折叠的性质可得AD=A′D=DB，AE=A′E，可得AA′⊥A′B，EM⊥AA′，由题意可得DF= BF，由“AAS”可证△A′FB≌△EFD，可得EF=A′F，由“SAS”可得△BFE≌△DFA′，即可求BE的长．本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△A′FB≌△EFD是本题的关键．16.【答案】1≤m<3或m>3【解析】解：原方程变形为：|x−1|−|x−2|+2|x−3|=m，①当x≥3时，x−1−(x−2)+2(x−3)=m，x=m+52≥3，∴m=2x−5，此时m≥1；②当2≤x<3时，x−1−(x−2)+2(3−x)=m，x=7−m 2∴m=7−2x，此时1<m≤3；③当1≤x<2时，x−1−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=3(不符合题意)；④当x<1时，1−x−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=5−2x，此时m>3．恰好有两个实数解，所以1≤m<3或m>3，故答案为1≤m<3或m>3．解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质等知识点．17.【答案】310【解析】解：连接OE，如图，∵AB⊥PO，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，sin∠DAO=ODOA =23，设OD=2x，OA=3x，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠APO=∠OAD，在Rt△APO中，sin∠APO=OAOP =23，∴OP=32×3x=92x，∵∠APD=∠OPA，∴Rt△PAD∽Rt△POA，∴PD：PA=PA：PO，即PA2=PD⋅PO，∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、∴PA2=PF⋅PE，∴PD⋅PO=PF⋅PE，即PF：PO=PD：PE，而∠DPF=∠EPO，∴△PDF∽△PEO，∴DFOE =PFPO，∴PF=92x3x⋅DF=32DF，而PE=5DF，∴PFPE =32DF5DF=310．故答案为310．连接OE，如图，利用正切的定义得到sin∠DAO=ODOA =23，则可设OD=2x，OA=3x，再根据切线的性质得OA⊥PA，所以∠APO=∠OAD，利用正弦的定义得到OP=92x，证明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比得到PA2=PD⋅PO，而PA2=PF⋅PE，所以PD⋅PO=PF⋅PE，则可判断△PDF∽△PEO，利用相似比得到PF=32DF，然后利用PE=5DF可得到PFPE的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的性质和切割线定理．18.【答案】60√213【解析】解：连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，如图所示：则PN≥PE，在△ABC和△ADC中，{AB=AD BC=DC AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAP=∠DAP，在△ABP和△ADP中，{AB=AD∠BAP=∠DAP AP=AP，∴△ABP≌△ADP(SAS)，∴∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，∵∠ABP=∠NBP=12∠ABC=45°，∴∠NBP=∠MDP，在△NBP和△MDP中，{BN=DM∠NBP=∠MDP BP=DP，∴△NBP≌△MDP(SAS)，∴PM=PN，∠BPN=∠DPM，∴∠BPD=∠MPN，∵BP=DP，PM=PN，∴∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，∴△PMN∽△PBD，∴MNBD =PNBP≥PEPB，∵sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，∴MNBD ≥√22，∴MN≥√22BD，在△ABH和△ADH中，{AB=AD∠BAH=∠DAH AH=AH，∴△ABH≌△ADH(SAS)，∴BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=√52+122=13，S△ABC=12AB⋅BC=12BH⋅AC，∴BH=AB⋅BCAC =5×1213=6013，∴BD=2BH=12013，∴MN≥√22×12013=60√213，∴线段MN的最小值为60√213，故答案为：60√213．连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，则PN≥PE，证明△ABC≌△ADC(SSS)，得出∠BAP=∠DAP，证明△ABP≌△ADP(SAS)，得出∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，易证∠NBP=∠MDP，证明△NBP≌△MDP(SAS)，得出PM=PN，∠BPN=∠DPM，推出∠BPD=∠MPN，证出∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，得出△PMN∽△PBD，则MNBD =PNBP≥PEPB，由sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，推出MNBD≥√22，即MN≥√22BD，证明△ABH≌△ADH(SAS)，得出BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=13，由S△ABC=1 2AB⋅BC=12BH⋅AC，求出BH=6013，得出BD=2BH=12013，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 19.【答案】2【解析】解：x =(1+x −2x 2)(a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3…+a n x n )， 当x =0时，a 0=0，∴1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)， 当x =0时，a 1=1，a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0， ∴a 2=−1，a 3=3， ∴a 3+a 2=2， 故答案为2．先去分母，第一次赋值x =0求出a 0=0，再化简式子为1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)，第二次赋值x =0，求出a 1=1，再由等式的性质得到a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0即可求解．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，给式子恰当的赋值运算是解题的关键．20.【答案】解：(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0…①，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0， 解得：x =1或2+√2或2−√2，故函数交点坐标为：(1,2)或(2+√2,2−√2)或(2+√2,2−√2)； (2)①式中含有(x −1)的因式，即：(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0， 故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根， △=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)， 即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)， 整理得：(a −8)2−k 2=28，即：(a −8+k)(a −8−k)=28=4×7=2×14=1×28， 而a −8+k ≥a −8−k ，当a −8+k =7，a −8−k =4时，解得：a =13.5(舍去)； 当a −8+k =14，a −8−k =2时，解得：a =16； 当a −8+k =28，a −8−k =1时，a =23.5(舍去)； 故a =16；(3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，只会出现如下图所示的情况，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧， 故只需要确定x 2+(a −6)x +a =0根的情况，只要左侧的根在x =12右侧即可， 解上述方程得：x =6−a±√a 2−16a+362，即6−a−√a2−16a+362>12，解得：a >116．故：a 的取值范围为：a >116．【解析】(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0，即可求解；(2)(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0，故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根，△=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)，即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)，讨论确定a 的值； (3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧，即6−a−√a2−16a+362>12，即可求解．本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的性质，涉及面较广，难度较大．21.【答案】解：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ， ∵GE =3，cos∠AEB =23，∴EH =2，HG =√5，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，∴GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ， ∴DH =DE +EH =n +2， ∵∠ADF =∠ABE ，∴∠DHG =∠AIB =90°， ∴△GHD∽△AIB ， ∴DH BI=HG AI，∴n+2n+3−2x =√5√5x ， 解得：x =n+3n+4， ∴AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点，∴CG =DG ，∴∠GCD =∠GDC ，∴∠BCG =∠ADG =∠ABE =90°−∠CBG ， ∴∠BCG +∠CBG =90°， ∴CG ⊥BE ，∵AA′⊥BE ，A′N ⊥CG ， ∴四边形MA′NG 是矩形， ∴GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2， ∴AM 2=AG 2−GM 2=AE 2−EM 2=(x +3√24)2−(34√2)2=1−x 2， 解得：x =√24，∴BG =GE =ME +GM =√2， ∴BE =2√2，∵∠ABE =∠BCG ， ∴△GCB∽△ABE ， ∴BC BE =BG AE，∴2√2=√21， 解得：BC =4，∴AD =BC =4， ∴DE =AD −AE =4−1=3．【解析】(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ，根据已知条件得到EH =2，HG =√2，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，得到GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ，根据相似三角形的性质得到AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，根据矩形的性质得到CG =DG ，求得∠GCD =∠GDC ，推出四边形MA′NG 是矩形，得到GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2，根据勾股定理列方程得到BG =GE =ME +GM =√2，求得BE =2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组 有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．
江苏省启东中学2019级高一实验班自主招生数学试题及答案【PDF版高清打印】
江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。
上海交大附中2019自招数学真题及答案
2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。
上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版 含答案)
2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。
2019高中自主招生数学试题
2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（ 1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。
另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。
每小题均给出了代号为 A ，B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0 C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20 C 的月份有 5 个十二月一月二月20 C十一月15 C三月10C5Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O 2 5x 第2 题2．上图是二次函数y ax2 bx c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2b x c 0 的解集为A ． x 1 或 x 5B ． x 5 C． 1 x 5 D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是 M , I , N中的一个字母，第二位是1，2， 3， 4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开 机的概率是A ． 1B ． 8C ． 1D ． 115 15 8 304．在 ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 2 2b 4c 5 且 a 2 b 2 c 2bc ，则 ABC 的面积为 2 B ． 3 C ． 2 D． 3 A ．2 2 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则 该几何体的 表面积 （表面面积，也叫全面积） 为2 3 ．．．A ． 20B ． 24 C． 28 D ．324 参考公式： 圆锥侧面积 S rl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，4 4其中 r 为底面圆的半径，l 为母线长． 正视图 侧视图 6．如下图，在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， 第 5题图BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3 ， PE 1， 俯视图 则AE6 B ． 2 C ．3 D ． 6 A ．2 ． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a 5 ， c 2， cos A 2 ，7 3则 bA ． 2B ． 3C ． 2 D．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，G 则小明到老年公寓可以选择的 最短 路径条数为F ．．A ．9B ．12C ． 18 E D ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
2019年浙江省温州中学中考自主招生数学试卷解析版
2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷解析版
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．（5分）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．2
【解答】解：∵x ＝，
∴2x ＝﹣3，
2x+3＝
（2x+3）2＝（）2，
4x2+12x+9＝5，
∴x2+3x＝﹣1，
∴原式＝（x2+3x）（x2+3x+2）
＝﹣1×（﹣1+2）
＝﹣1；
故选：C．
2．（5分）对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”
为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（）
A．（0，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v），
∴ux+vy＝u，uy+vx＝v，
∵对于任意实数u，v都成立，
∴x＝1，y＝0，
∴（x，y）为（1，0）．
故选：B．
3．（5分）已知A，B 是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）
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2019高中自主招生必做试卷（数学）（满分150分 时间120分钟）一、选择题（每题4分，共40分）1、在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的是 ( ) A 、－|－3|3 B 、－(－3)3 C 、(－3)3 D 、－332、已知114a b -=，则2227a ab ba b ab ---+的值等于 （ ） A 、215 B 、27- C 、6- D 、63、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是 （ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==4、a 、b 是有理数，如果,b a b a +=-那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中 ( ) A 、只有(1)正确 B 、只有(2)正确C 、(1)，(2)都正确D 、(1)，(2)都不正确5、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203bx a x 的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所 有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )A 、1B 、2C 、4D 、66、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( ) 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， A 、 3x + 4y ≥9， B 、 3x + 4y ≥9， C 、 3x + 4y ≥9， D 、 3x + 4y ≤9， y ≥0 x ≥0 x ≥0 y ≥07、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于 ( )A 、43 B 、54 C 、32 D 、658、若b x ax x x +++-732234能被22-+x x 整除则a ：b 的值是 （ ） A 、-2 B 、-12 C 、6 D 、49、在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝9，点E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE ＝6，DF ＝4，AE 、FC 相交于点G ，GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则GH 的长为 （ ） AB C DEF G第3题图第9题图 第7题图第6题图学校 姓名 考号装 订 线 外 请 不 要 答 题10、若a 与b 为相异实数，且满足：21010=+++a b b a b a ，则ba＝ （ ）A 、0.6B 、0.7C 、0.8D 、0.9二、填空题（每题5分，共20分）11、已知,αβ是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为12、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（,x y ）的个数为 13、今年参加考试的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%。
设今年参加考试的总人数为a ，其中女生人数为b ，则ba= 14、在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝ ．三、解答题（共90分）15、（12分）因式分解：224443x x y y --+-16、（14分）如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17、（15分）如图所示，有一张长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，然后把它们剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值．18、（15分）如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G.（1）求证：AG=GC；（2）若AG=3，AH：AB=1：3，求△CDG的面积与△BOF的面积.19、（16分）已知直角三角形ABC 和ADC 有公共斜边AC ，M 、N 分别是AC ，BD 中点，且M 、N 不重合．（1）线段MN 与BD 是否垂直?请说明理由． （2）若∠BAC = 30°，∠CAD = 45°，AC = 4，求MN 的长 . 20、（18分）已知实数,,a b c 满足：2,4a b c abc ++==。
（1）求,,a b c 中最大者的最小值；（2）求a b c ++的最小值。
装 订 线 外 请 不 要 答 题参考答案二、填空题（每题5分，共20分）11、2- 12、9 13、51314三、解答题（本题6小题，共90分）15、224443x x y y --+-22(441)(44)x x y y =-+--+ …………6分122= （2x-）-(y-2)= (2x+y-3)(2x-y+1) …………12分17、要考虑的不同画线方案，可归纳为如下4类：（1）如图（1），其周长和=112(212)5.33⨯⨯+⨯= …………3分（2）如图（2），其周长和=[]2(3)2(1)3(1)8.x x x x ++-+-= …………6分 （3）如图（3），其周长和=8. …………9分 （4）如图（4），其周长和=3162(3)2(3)8.33x x x x x -⎡⎤++-+=+⎢⎥⎣⎦∵031x <≤，10.3x <≤∴当13x =时，周长和有最大值79.9…………14分综上所述，剪得的两个小长方形周长之和的最大值为79.9…………15分18、（1）证明：连接AD ，BC ，BD ∵AB 是直径，AB ⊥CD,∴BC=BD ，∠CAB=∠DAB, ∴∠DAG=2∠CAB, ∵∠BOF=2∠CAB, ∴∠BOF=∠DAG ,又∵∠OBF=∠ADG, ∴△BOF ∽△DAG , ∴OB DAOF AG=, ∵OB=OC=2OF,∴2DAAG=, 又∵AC=DA ，∴AC=2AG , ∴AG=GC; …………7分 （2）解：连接BC ，则∠BCA=90°， 又∵CH ⊥AB,∴2AC AH AB =,∵222,:1:3AC AG AH AB === ∴21(23),3AB AB =∴AB=6，∴AH=2，∴CH=22,∴S △ACD =1124242,22CD AH =⨯⨯=又∵AG=CG ，∴S △CDG = S △DAG =12S △ACD =22, …………11分 ∵△BOF ∽△DAG , ∴23(),4BOF DAG S OB S AD == ∴S =32. …………15分19、（1）证明：如图（1）当B,D 在AC 异侧时，连接BM,DM901224M AC ADC BM DM ACBDM N MN BD∠∠=∴==∴∴⊥为中点，ABC=分为等腰三角形又为BD 中点分如图（2）当B,D 在AC 同侧时同理可证MN BD ⊥ …………6分 （2）如图三：连接BM 、MD ，延长DM ，过B 作DM 延长线的垂线段BE ， 则可知在Rt △BEM 中，∠EMB=30°， ∵AC=4，∴BM=2，∴BE=1，EM=3，MD=2，从而可知 BD=1223+=+2（2+3），∴BN=23+ 由Rt △BMN 可得：MN=2622232--=-=2（2+3）（不化简不扣分） …………11分 如图四：连接BM 、MD ，延长AD ，过B 作垂线BE ， ∵M 、N 分别是AC 、BD 中点，∴MD=12AC ，MB=12AC ， ∴MD=MB ∵∠BAC=30°，∠CAD=45°， ∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，∴∠BMD=30°，∴∠BDM=18030752-= ∵∠MDA=45°，∴∠EDB=180°-∠BDM -∠MDA=60°令ED=x ，则BE=3x ，AD=22，AB=23 ∴由Rt △ABE 可得：222(23)(3)(22)x x =++， 解得23x =-，则BD=223- ∵M 、N 分别是AC 、BD 中点 ∴MD=2，DN=23- 由Rt △MND 可得：MN=22622(23)232+--=+=（不化简不扣分） …………16分 15注：本题也可以用75或三角函数解答，答案对就给分20、解：（1）由题意不妨设a 最大，即,,0.a b a c a ≥≥>且42,.b c a bc a+=-=∴ b 、c 是方程24(2)0x a x a--+=的两实根 △24(2)40a a=--⨯≥∴2(4)(4)0a a +-≥∴4a ≥（当4a =时，1b c ==-满足题意） ……………9分 （2）∵0abc > ∴,,a b c 全大于0，或一正二负若,,a b c 均大于0，由（1）知，,,a b c 最大者不小于4，这与2a b c ++=矛盾，故此情况不存在 故,,a b c 为一正二负，不妨设0,0,0a b c ><<(2)226a b c a b c a a a ++=--=--=-≥（当4a =时成立）所以a b c ++最小值为6 …………18分。