广义相对论之7局域惯性系、黎曼曲率张量与里奇张量PPT演示课件
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专题讲座—广义相对论.ppt
？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。
高二物理竞赛课件：广义相对论(引力的时空理论)简介(共14张PPT)
E0 m0c2 1 (3108)2 9 1016 J
相当于20吨汽油燃烧的能量。
粒子的静质量一般用静能量表示
电子 0.510 999 06 Mev/c2
质子 938.272 31 Mev/c2
中子 939.565 63 Mev/c2
氘核 1875.613 39 Mev/c2
3
质能相互依存，且同增减
1.37 1025 kg
(2) E2 E02 ( pc)2 E E0 Ek
2E0Ek Ek2 ( pc)2
p 2E0Ek Ek2 4.11017 kg m / s c
例3、在一惯性系中一粒子具有动量6Mev/c（c为 光速），若粒子总能量E＝10Mev，计算在该系 中（1）粒子的运动速度；2）粒子的运动动能。
利用三角形有助记忆：Pc
E
E0
1）质速关系
m
m0
1
v
2
c
2）动量
P mv
m0 v
小
1 (v / c)2
结
3）质能关系 E mc2 m0c2 Ek
4）动量能量关系 E2 E02 (P c)2
5）动力学方程
F
d
(mv)
m
d
v
v
dm
dt
dt dt
例1、 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求
2克氘核反应结果可产生相当于60吨煤燃烧的能量
重核裂变 X Y Z 质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c2
6
【例】氘核的结合能
+
mnc2 mpc2
mn 939.565 63 Mev / c 2 mp 938.272 31 Mev / c 2 md 1875.613 39 Mev / c 2
相当于20吨汽油燃烧的能量。
粒子的静质量一般用静能量表示
电子 0.510 999 06 Mev/c2
质子 938.272 31 Mev/c2
中子 939.565 63 Mev/c2
氘核 1875.613 39 Mev/c2
3
质能相互依存，且同增减
1.37 1025 kg
(2) E2 E02 ( pc)2 E E0 Ek
2E0Ek Ek2 ( pc)2
p 2E0Ek Ek2 4.11017 kg m / s c
例3、在一惯性系中一粒子具有动量6Mev/c（c为 光速），若粒子总能量E＝10Mev，计算在该系 中（1）粒子的运动速度；2）粒子的运动动能。
利用三角形有助记忆：Pc
E
E0
1）质速关系
m
m0
1
v
2
c
2）动量
P mv
m0 v
小
1 (v / c)2
结
3）质能关系 E mc2 m0c2 Ek
4）动量能量关系 E2 E02 (P c)2
5）动力学方程
F
d
(mv)
m
d
v
v
dm
dt
dt dt
例1、 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求
2克氘核反应结果可产生相当于60吨煤燃烧的能量
重核裂变 X Y Z 质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c2
6
【例】氘核的结合能
+
mnc2 mpc2
mn 939.565 63 Mev / c 2 mp 938.272 31 Mev / c 2 md 1875.613 39 Mev / c 2
广义相对论_ppt07
练习：证明这样一个光信号的世界线必然有
。
其他自由下落粒子的世界线不是直线。例如，图中的虚线表示一个 粒子落入BH的一条典型的世界线。 曲面 把时空分割为两部分：BH（区域II）和它周围的渐进 平直空间（区域I）。 由时空图可直接看出，在 存在一个事件视界：宇航员穿越 后发射一个光信号，将在时空图中沿45度方向前进，并最终与 相交。该光信号总是朝着ｒ值减小的方向运动，它永远不会到 达 。光信号之外的其他信号必须位于前向光锥之内，它们更无 法逃逸。
广义相对论_黑洞 2
7.1 引言
无量纲量 可以看作是引力场强度的一个量度。这个量成 为光线偏移、光的延迟、引力红移、近日点进动等公式的一部分。太阳 系中相对论引力效应很小，就是与这个量很小有关，即使在太阳表面，
因此，大的相对论效应是在极端致密的天体附近的引力场中发现的，在 那里 的值可以达到１的量级。例如，在这样一个致密天体附 近，在半径 处，Schwarzschild场中的光线偏折变得如 此之大，使得光信号在一个围绕中心天体的闭合轨道上运行。 当 时，相对论效应变得异常强大。在这一半径处， 引力场强到使得没有任何东西能够摆脱引力场的控制而逃逸，甚至光。 下面基于Newton引力理论的一个简单计算给出，存在一个对于光的 “不可逃逸”半径。在半径ｒ处，一个向外发射的粒子的逃逸速度是 。因为这个表示式与粒子的质量无关，我们可以希望它 也适用于光的情况。于是得到 的半径。马赫和拉普拉斯 很早就得到了这个结果：他们推测，一颗质量足够大、足够致密的恒星， 可能看上去是暗的和黑的。
2010-4-14 广义相对论_黑洞 14
对于ｒ的一个有限变化，相应的固有时的变化也是有限的。例如， 假设宇航员开始时在半径 处静止；这一半径比 大因而在黑洞之外。于是，他全程只需要用去固有时
4.6Riemann-Christoffel张量(曲率张量)
1 空间， 对于一个 m 维的 Riemann 空间，必定有一个 n = m(m + 1) 2 空间包容它， 空间是嵌入 维的 Euclidean 空间包容它，使 m 维的 Riemann 空间是嵌入 n 维 Euclidean 空间的一个子空间。 空间的一个子空间。 空间中， 在 Riemann 空间中，一般来说找不到一个适用于全空间的 笛卡儿坐标系（ 笛卡儿坐标系（即其度量张量的分量 gij 不一定能通过一种线性
yi 的非线性微分方程组。这组方程的可积性条件是 x p 对 yi 的非线性微分方程组。 混合偏导数与求导次序无关，此时这 个方程彼此是协调的 个方程彼此是协调的。 混合偏导数与求导次序无关，此时这18个方程彼此是协调的。
即
2x p x r x q p 2 x p x r x q p i′ j ′ + i′ j′ Γ rq = j ′ i′ k ′ + i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y y y y y
x r x q p i′ k ′ Γ rq j′ y y y
p x r x q x s Γ rs t p t p q Γ rq Γ ts Γ sq Γ rt = i′ j′ k′ y y y x
可积性条件可写成
p p Γ rq Γ rs x x x t p t p q + Γ rq Γ ts Γ rs Γ tq = 0 i′ j′ k′ s y y y x x (i′, j′, k ′, p = 1, 2, 3) r q s
s Γ ik r r r s r s r Sikj = ai,kj ar ,k Γ ij ai,r Γ kj ar , j Γ ik as j Γ rk Γ ij Γ ir Γ kj x
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何
广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的描述引力的理论。
这个理论认为，物体之间的引力作用是由于它们所在的四维时空的曲率引起的。
在这种观念下，引力不再是一种神秘的力量，而是物体沿着弯曲时空的自由下落运动。
黎曼几何在这背景下扮演了重要角色。
黎曼几何是一种研究曲率的数学工具，它研究的是弯曲的空间，而不是欧几里得空间（即平面几何和立体几何）。
在广义相对论中，黎曼几何为我们提供了一种描述时空曲率的方法。
通过黎曼几何，我们可以更好地理解爱因斯坦场方程，这是描述引力如何改变时空曲率的方程。
广义相对论的应用不仅仅局限于理论研究，它对我们日常生活也产生了深远影响。
例如，全球定位系统（GPS）就需要考虑广义相对论的效应。
由于引力使时空弯曲，卫星和地球之间的距离在引力场中会发生变化。
这种效应被称为“引力红移”。
如果不考虑这种效应，GPS的定位精度会受到影响。
此外，广义相对论还为其他领域的研究提供了理论基础。
例如，它与量子力学相结合，促使了量子引力理论的发展。
而黑洞研究、宇宙学等领域也离不开广义相对论的指导。
总之，广义相对论是我国科学家在物理学领域的重要贡献。
它不仅改变了我们对引力的认识，还为现代科学的发展奠定了基础。
里奇曲率张量
里奇曲率张量
里奇曲率张量是描述黎曼流形曲率的一种数学工具。
它是由德国数
学家里奇在19世纪末提出的，是黎曼流形上的一个二阶张量场。
里奇
曲率张量在数学、物理学等领域都有广泛的应用。
数学中的在数学中，里奇曲率张量是描述黎曼流形曲率的一种数学工具。
黎曼流形是一种具有内积的微分流形，它是欧几里得空间的推广。
里奇曲率张量是黎曼流形上的一个二阶张量场，它描述了曲率的大小
和方向。
里奇曲率张量可以用来计算黎曼流形上的测地线偏转和面积
变化等几何量，是黎曼几何中的重要工具。
物理学中的在物理学中，里奇曲率张量是描述引力场的一种数学工具。
爱因斯坦的广义相对论将引力场描述为时空的弯曲，里奇曲率张量是
描述时空弯曲的数学工具之一。
里奇曲率张量可以用来计算引力场的
强度和方向，是广义相对论中的重要工具。
应用领域
里奇曲率张量在数学、物理学等领域都有广泛的应用。
在数学中，里
奇曲率张量被广泛应用于黎曼几何、微分几何等领域。
在物理学中，
里奇曲率张量被广泛应用于广义相对论、引力波等领域。
此外，里奇
曲率张量还被应用于计算机图形学、机器学习等领域。
结语
里奇曲率张量是描述黎曼流形曲率的一种数学工具，它在数学、物理学等领域都有广泛的应用。
里奇曲率张量的研究不仅有助于深入理解黎曼流形的几何性质，还有助于研究引力场、计算机图形学等领域的问题。
《广义相对论》课件
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。
《广义相对论》课件
详细描述
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
《广义相对论简介》课件
局域性
引力场在局域范围内可近似为牛顿引力，满足线性 叠加原理。
引力场方程的推导与表述
80%
场方程的推导
基于爱因斯坦的场方程，通过数 学推导得到引力场方程。
100%
场方程的表述
引力场方程表述了物质和能量如 何弯曲时空，进而产生引力。
80%
几何意义
引力场方程是时空曲率与物质能 量分布之间的联系。
引力场方程的解与意义
爱因斯坦对物理学基础问题的关注
爱因斯坦对物理学的基础问题产生了浓厚的兴趣，开始探索光速不变和相对性 原理背后的更深层次原理。
爱因斯坦的科研经历与思想转变
从特殊相对论到广义相对论的过渡
爱因斯坦在提出特殊相对论后，意识到其只能解释惯性参考系下的物理现象，因此开始探索引力问题，最终发展 出广义相对论。
对等效原理和最小作用量原理的应用
详细描述
1919年，爱丁顿和戴森带领的探险队在日 全食期间观测到太阳附近的星光发生偏折的 现象，与广义相对论的预测相符，证实了爱
因斯坦的理论。
水星轨道近日点的进动现象
总结词
水星轨道近日点的进动现象观测结果与牛顿经典力学预测不符，而与广义相对论的预测 一致。
详细描述
水星是太阳系中离太阳最近的行星，其轨道近日点会发生进动现象。观测数据显示，水 星轨道的进动速度比牛顿经典力学预测的要快，这一现象只有通过广义相对论才能得到
广义协变原理
总结词
该原理要求所有物理定律在任何参照系中都 保持形式不变，即具有协变性。
详细描述
广义协变原理是广义相对论的另一个重要原 理，它要求所有物理定律在不同的参照系中 保持形式不变，即具有协变性。这意味着物 理定律的形式在任何参照系中都应该是一样 的，不受参照系选择的影响。这一原理进一 步强调了物理定律的普遍性和相对性，是广 义相对论的重要基石之一。
引力场在局域范围内可近似为牛顿引力，满足线性 叠加原理。
引力场方程的推导与表述
80%
场方程的推导
基于爱因斯坦的场方程，通过数 学推导得到引力场方程。
100%
场方程的表述
引力场方程表述了物质和能量如 何弯曲时空，进而产生引力。
80%
几何意义
引力场方程是时空曲率与物质能 量分布之间的联系。
引力场方程的解与意义
爱因斯坦对物理学基础问题的关注
爱因斯坦对物理学的基础问题产生了浓厚的兴趣，开始探索光速不变和相对性 原理背后的更深层次原理。
爱因斯坦的科研经历与思想转变
从特殊相对论到广义相对论的过渡
爱因斯坦在提出特殊相对论后，意识到其只能解释惯性参考系下的物理现象，因此开始探索引力问题，最终发展 出广义相对论。
对等效原理和最小作用量原理的应用
详细描述
1919年，爱丁顿和戴森带领的探险队在日 全食期间观测到太阳附近的星光发生偏折的 现象，与广义相对论的预测相符，证实了爱
因斯坦的理论。
水星轨道近日点的进动现象
总结词
水星轨道近日点的进动现象观测结果与牛顿经典力学预测不符，而与广义相对论的预测 一致。
详细描述
水星是太阳系中离太阳最近的行星，其轨道近日点会发生进动现象。观测数据显示，水 星轨道的进动速度比牛顿经典力学预测的要快，这一现象只有通过广义相对论才能得到
广义协变原理
总结词
该原理要求所有物理定律在任何参照系中都 保持形式不变，即具有协变性。
详细描述
广义协变原理是广义相对论的另一个重要原 理，它要求所有物理定律在不同的参照系中 保持形式不变，即具有协变性。这意味着物 理定律的形式在任何参照系中都应该是一样 的，不受参照系选择的影响。这一原理进一 步强调了物理定律的普遍性和相对性，是广 义相对论的重要基石之一。
《广义相对论讲》PPT课件
测量一段弧的长度及圆周长精选ppt15根据等效原理转动参考系等效为引力场引力场强是由洛仑兹变换可得结论引力场中空间弯曲愈强弯曲愈烈精选ppt16三史瓦西场中固有时与真实距离schwarcchildfield1场的特征相对静止的球对称分布的物质球外部的场2某处的固有时由静止在该处的标准钟测得的时间间隔某处真实距离由静止在该处的标准尺测得的空间间隔刚性微分尺精选ppt17在无引力的地方有一系列的走时完全一样的钟然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准钟标准时间标准长度无引力影响的时间和长度标准钟标准尺在无引力的地方有一系列的完全一样的刚性微分尺然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准尺精选ppt18远离引力场处无限远处引力为0平直空间场各处引力不同空间时间各处不同精选ppt194引力场中的固有时与真实距离瞬时静止在s系中确定时空点的局惯系s0飞来局惯系由无限远处沿径向自由飞到史瓦西场确定的时空点精选ppt20相遇的两只钟系的确定时空点处的标准钟c测得的是原时同样在确定的时空点的标准尺测的是原长精选ppt21弱引力场牛顿近似飞来惯性系sgmmmv精选ppt22度有关与加速度无关处引力势r处的固有时r邻域的真实距离2双生子中谁年轻
8
一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
9
二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r
8
一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
9
二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r
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27
Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之三
28
Bianchi恒等式
29
Bianchi恒等式的证明
30
31
Riemann曲率张量在一般参考系的表达式
证明见下页
32
一 般 参 考 系 的 黎 曼 曲 率 张 量 表 达 式 的 证 明
33
34
Ricci张量
35
Ricci标量
7
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之二
8
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之三
9
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之四
10
对于无挠流形，可以通过对张量求连续两次协变导数的 顺序不同所造成的差别来定义Riemann曲率张量。 特别地，对协变矢量的连续两次协变导数的对易子是
广义相对论之七
局域惯性系、黎曼曲率张量与里奇张量
张宏浩
证明见下面三页
2
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之一
3
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之二
4
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之三
5
证明见下面四页
6
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之一
36
Einstein张量
证明见下页
37
Einstein张量的散度为零 的证明
38
个人观点供参考，欢迎讨论
其中Riemann曲率张量是
11
பைடு நூலகம்2
13
14
15
作业：证明上面这两个等式。
16
Riemann曲率张量关于最后两个指标反对称
17
Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称
证明见下面三页
18
Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之一
19
Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之二
由
此式的补充证明见下页
20
由
Riemann曲率张量关于最前两个指标
反对称的证明之三
21
Riemann曲率张量关于(最前两个指标)<—>(最后两个指标) 整体交换是对称的
22
Ricci恒等式
23
Ricci恒等式的证明
24
25
Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之一
26
Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之二
Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之三
28
Bianchi恒等式
29
Bianchi恒等式的证明
30
31
Riemann曲率张量在一般参考系的表达式
证明见下页
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一 般 参 考 系 的 黎 曼 曲 率 张 量 表 达 式 的 证 明
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Ricci张量
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Ricci标量
7
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之二
8
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之三
9
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之四
10
对于无挠流形，可以通过对张量求连续两次协变导数的 顺序不同所造成的差别来定义Riemann曲率张量。 特别地，对协变矢量的连续两次协变导数的对易子是
广义相对论之七
局域惯性系、黎曼曲率张量与里奇张量
张宏浩
证明见下面三页
2
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之一
3
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之二
4
无挠流形存在联络全为零的局域惯性系的证明之三
5
证明见下面四页
6
无挠黎曼流形存在度规为闵氏度规、联络全为零的局域惯性系的证明之一
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Einstein张量
证明见下页
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Einstein张量的散度为零 的证明
38
个人观点供参考，欢迎讨论
其中Riemann曲率张量是
11
பைடு நூலகம்2
13
14
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作业：证明上面这两个等式。
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Riemann曲率张量关于最后两个指标反对称
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Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称
证明见下面三页
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Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之一
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Riemann曲率张量关于最前两个指标反对称的证明之二
由
此式的补充证明见下页
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由
Riemann曲率张量关于最前两个指标
反对称的证明之三
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Riemann曲率张量关于(最前两个指标)<—>(最后两个指标) 整体交换是对称的
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Ricci恒等式
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Ricci恒等式的证明
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Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之一
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Riemann曲率张量的独立分量数目的计算方法二之二