如何使用MATLAB作张量运算

2012年第05期吉林省教育学院学报No.05，2012第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCEVol .28（总293期）Total No .293收稿日期：2012—03—05作者简介：张明洪（1966—），男，湖北枝江人，三峡旅游职业技术学院，讲师，研究方向：计算机教育、休闲服务与管理的教学与研究。

浅论如何使用MATLAB 作张量运算张明洪（三峡旅游职业技术学院，湖北宜昌443100）摘要：本文介绍并分析了如何使用MATLAB 作张量的创建以及缩并、乘积、求导等运算的方法和步骤。

关键词：MATLAB ；张量；张量创建；张量运算中图分类号：O183文献标识码：A文章编号：1671—1580（2012）05—0054—02一、引言张量作为物理或几何的具体对象，充分反映了这些现象的物理和几何属性，是这些现象的一种数学抽象，在分析力学、固体力学、流体力学、几何学、电磁场理论和相对论等方面有着广泛的应用。

张量（tensor ）是几何与代数中的基本概念之一，从代数角度讲，张量是数量、向量、矩阵的自然推广，在为n空间中的N 阶张量有n N个分量，下面是n =2时的张量示意图：T（T 1，T 2）标量（阶N =0）矢量（阶N =1）T 11T 12T 21T ()22矩阵（阶N =2）张量（阶N =3）可见，零阶张量可用一个数表示，一阶张量可用一行数组表示，二阶张量可用矩阵表格表示，三阶张量可用“立体矩阵”表示，更高阶的张量不能用图形表示，正因为如此，关于张量的推演计算有时会很复杂繁琐。

利用MATLAB 可以使复杂繁琐的推演计算变得简单方便。

由于难以见到相关的文献，在此作简要的介绍，以方便读者学习。

二、张量运算函数命令MATLAB 是通过调用MAPLE 的张量包（ten-sor ）进行运算的，格式为：＞＞maple （‘函数名’），或者借用procread 指令把整段MAPLE 程序送往MAPLE 计算。

本文采用第一种方法。

在进行张量运算之前，先要调用MAPLE 张量包，命令为＞＞maple （'with （tensor ）'）。

张量包中的符号运算函数如下：Christoffel1：第一类Christoffel 符号，Christoffel2：第二类Christoffel 符号，Einstein ：Einstein 张量，Jacobian ：坐标变换的雅可比矩阵，Killing_eqns ：Killing ’s 方程，Levi_Civi-ta ：伪张量，Lie_diff ：对矢量的Lie 导数，Ricci ：Ricci 张量，Ricciscalar ：Ricci 标量，Riemann ：Riemann 张量，RiemannF ：Riemann 曲率张量，Weyl ：Weyl 张量，Act ：对张量元素进行操作，Antisymmetrize ：反称张量，change _basis ：基变换，commutator ：矢量转换，compar ：张量比较，conj ：复共轭，connexF ：系数连接，contract ：缩并，convertNP ：黎曼张量换成Menwmann －Penrose 形式，cov_diff ：协变微分，create ：创建张量对象，d1metric ：第一偏导数，d2metric ：第二偏导数，directional_diff ：方向导数，displayGR ：列出广义相对论的一个对象，display_allGR ：列出广义相对论的所有对象，dual ：对张量指标进行双重操作，entermet-ric ：输入张量元素，exterior _diff ：外微分，exterior _prod ：外乘，frame ：标架，geodesic_eqns ：测地线的Eu-lar －Lagrange 方程，get_char ：得到张量的指标，get_compts ：得到张量的元素，get_rank ：求张量的秩，init ：初始化，invars ：黎曼曲率张量不变量，invert ：张量（2阶）的逆，lin _com ：张量线性合并，lower ：降指标，Npcurve ：曲率张量，Debever 形式的，npspin ：Mewmann －Penrose 旋量，partial _diff ：张量的偏导数，permute_indices ：指标排列，petrov ：4次多项式分·45·类，prod：内/外积，raise：升指标，symmetrize：全对称张量，tensorsGR：计算广义相对论对象，transform：坐标变换。

三、创建张量对象张量包使用了它自定义的张量类型。

张量用一个表结构进行描述：TABLE（index_char，compts），Compts存放张量对象的各个元素；index_char表示一个值为1和－1的序列，用来说明张量的协变和逆变指标。

1表示逆变指标，－1表示协变指标。

例如：［1，－1，－1，1］表示指标1和4是逆变张量（用上表表示），2和3是协变指标（用下标表示）。

序列的长度必须与对象的秩数相等。

如果张量的秩数0（表示标量或不变量），index_char就是一个空的序列，即［］。

创建张量对象时必须定义指标序列index_char 和张量对象元素compts。

在MATLAB7．6以后的版本中调用张量包定义张量的命令为：＞＞maple（'T：= create（index_char，compts）'）。

例1.创建一个二阶混合张量。

＞＞maple（'with（tensor）'）；＞＞maple（'A：=create（［－1，1］，matrix （［［a，b，c］，［d，e，f］，［g，h，i］］））'）ans=A：=TABLE（［compts=matrix（［［a，b，c］，［d，e，f］，［g，h，i］］），index_char=［－1，1］］）四、缩并对张量缩并的命令是：＞＞contract（A，［i1，i2，…］），其中A是阶大于1的张量，［i1，i2］表示一对上标和下标。

例2.二阶张量的缩并。

＞＞maple（'with（tensor）'）；＞＞maple（'T：=create（［1，－1］，matrix（［［w，x，0］，［y，z，0］，［0，y^2，x*y*w］］））'）；＞＞maple（'contract（T，［1，2］）'）ans=TABLE（［compts=w+z+x*y*w，index_ char=［］］）五、张量的乘积求张量内积（点积）的命令是：＞＞maple（‘prod （A，B，［ai，bi］）’），其中A，B是两个张量，［ai，bi］是一对指标（上标和下标），ai是张量A的上标（下标），bi是B的上标（下标）。

求张量外积（并积）的命令是：＞＞maple（‘prod（T，U））’），张量外积（并积）不需要给出指标。

例3.计算一个二阶张量和一个一阶张量的内积。

＞＞maple（'with（tensor）'）；＞＞maple（'T：=create（［1，－1］，matrix（［［w，x，0］，［y，z，0］，［0，y^2，x*y*w］］））'）；＞＞maple（'U：=create（［1］，vector（［1，m，n］））'）ans=U：=TABLE（［compts=vector（［1，m，n］），index_char=［1］］）＞＞innerprod=maple（'prod（T，U，［2，1］）'）innerprod=TABLE（［compts=vector（［w+x*m，y+z* m，y^2*m+x*y*w*n］），index_char=［1］］）六、偏导数和方向导数求张量对给定坐标的偏导数的命令是＞＞ma-ple（'partial_diff（g，coord）'），其中g是张量，coord 表示坐标。

计算标量场沿逆变矢量场V的方向对坐标coord的方向导数命令：＞＞maple（'directional _diff（f，V，coord）'），其中f表示向量场，V表示逆变矢量场，Coord表示坐标。

例4.计算方向导数。

＞＞maple（'coord：=［x，y，z］'）；＞＞maple（'f：=3*x/（y+z）'）；＞＞maple（'V：=create（［1］，array（［x*y，y* z，z*x］））'）；＞＞maple（'directional_diff（f，V，coord）'）ans=－3*x*（－y^2+z*x）/（y+z）^2七、结束语限于篇幅，本章只介绍了几个常用的张量运算和命令，更多的张量包中函数和命令的用法可利用命令：＞＞mhelp tensoe［函数名］查看具体的用法。

另外，要注意不同的版本之间的区别。

例如6．5版本，一阶张量用array描述，而7．6版本则用vector 描述等等。

［参考文献］［1］李开泰，黄艾香．张量分析及其应用［M］．北京：科学出版社，2004．［2］余天庆，毛为民．张量分析及应用［M］．北京：清华大学出版社，2006．［3］王正林，刘明．精通MATLAB7［M］．北京：电子工业出版社，2007．［4］［美］穆尔著，高会生，刘童娜，李聪聪译．MATLAB实用教程（第二版）［M］．北京：电子工业出版社，2010．［5］周开利，邓春晖．MATLAB基础及其应用教程［M］．北京大学出版社，2007．·55·。