北京科技大学2004年《计算方法》试题及答案
北科大研究生计算方法作业
计算方法姓名：学号：班级：指导教师：目录作业1 (1)作业2 (5)作业3 (8)作业4 (10)作业5 (14)作业6 (16)作业7 (17)作业11、分别用不动点迭代与Newton 法求解方程 -+=x 2x e 30的正根与负根。
解：(1)不动点迭代a.原理：将 230x x e -+=变型为1()k k x g x +=进行迭代，直到 为止变型后为有两种形式： 和 b.程序：初值为1形式: x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=log(2*x(i)+3); tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; enddisp(i-1); 形式:x=zeros(100,1); tol=1; i=1; x(1)=1;while tol>=10e-6; disp(x(i))x(i+1)=(exp(x(i))-3)/2; tol=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end disp(i-1);c.运行结果：初值为1(23)1lnk x k x ++=6110k k x x -+-<132k x k e x +-=(23)1ln k x k x ++=132k xk e x +-=迭代次数：11迭代次数：9(2)Nexton法a.原理：令()()1'kk kkf xx xf x+=-得到迭代公式为：()1232kkxkk k xx ex xe+-+=--b.程序：初值为0x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=0;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1);初值为1x=zeros(100,1);tol=1;i=1;x(1)=1;while tol>=10e-6;disp(x(i))x(i+1)=x(i)-((2*x(i)-exp(x(i))+3)/(2-exp(x(i))));tol=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;enddisp(i-1)a=x(i-1);b=2*a-exp(a)+3;disp(b);c.运行结果：初值为0迭代次数：5初值为1迭代次数：8 -1.6171e -006结果分析：不动点迭代会因为迭代公式选取的不同得出不同的迭代结果，而牛顿法迭代会因为初值选取的不同而得到不同的结果。
2004-2005学年度第2学期期末试卷答案
北京科技大学2004-2005学年度第2学期材料科学与工程基础试题材02.1-02.5班, 2005-6参考答案1．①是左螺位错，因t.b=-a，滑移面（100），（001）。
（5分）。
②是刃位错，因t.b=0，滑移面（100）。
（5分）。
①号位错滑移面不唯一，它不能在（010）面上滑移。
（5分）2．可能发生；两平行小角度倾转晶界，刃位错都平行，合并后，位错间间距减小，取向差加大，为θ1+θ2；不存在不同类型位错间的作用或同类位错、但不平行的问题。
这正是回复过程发生的组织变化。
也可用小角度晶界能量与取向差的公式分别进行（加合）计算并比较前后能量差异从而确定反应能否进行。
（10分）3．按结构看，晶界可分为小角晶界和大角晶界；（3分）。
晶界结构的普遍特点是原子排列比晶内混乱的多，特别是大角晶界上原子排列更加混乱。
（3分）λ形变时，晶界阻碍位错运动，造成位错塞积；晶粒越细，晶界越多，强化越明显，有Hall-Petch关系；（3分）λ相变时，晶界是高能地点，是有效的非均匀形核处，晶界越多，新相形核地点越多，可细化晶粒，也越难获得大的过冷度。
（3分）λ再结晶时，晶界的作用与相变时相似，也是加速再结晶过程。
再结晶时只能是非均匀形核。
（3分）4．对一定结构的晶体，作用在滑移面滑移方向上的切应力达一定值时，滑移系才能开动；该值不随外力作用的方向而改变，只与材料本身性质有关。
这个规律称临界分切应力定律。
（5分）。
力轴为[111]时，有6个滑移系的取向因子相同且最大，因而有6个滑移系可同时开动。
力轴为[123]时，开动的滑移系是1个。
（5分，不要求写出具体的滑移系）。
两力轴对应的应力应变曲线有较大差异；[111]力轴下没有易滑移阶段，塑性变形开始就是多系滑移，位错间有强的交互作用，造成强的加工硬化；[123]力轴拉伸时，单系滑移对应易滑移阶段，对应典型的单晶拉伸三阶段（易滑移/线性硬化/抛物线）。
（5分，画出正确的示意图/曲线也可得满分）。
计算方法习题答案
计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。
以下是一些常见的计算方法习题及其答案。
习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。
将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。
因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。
习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。
答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。
习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。
计算方法习题集及答案第四版
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。 解：
令
y次迭代公式 故
从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为 迭代函数，， 则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明 及
证明： （1）令
即 又 即 ⑵ 设，不妨设， 令 即对任意非零，有 下面证明存在向量，使得， 设，取向量。其中。 显然且任意分量为， 故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解： （1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），， 局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
计算方法教程(第2版)习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯ 4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d l t t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x y e ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．Tx )2,1,3(= b ．Tx )1,2,1,2(--= c ．无法解 2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
北京科技大学2004-2005学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005 学年度第 1 学期 高等数学A (2004级) 试题 （时间120分钟）学院 班级 学号 姓名一．填空题 (每小题3分，共15分) 1． 设过原点的平面π既平行于直线: z y x =+=-221 又垂直于平面32=--z y x 。
则平面π的方程为 。
2．设),1,0(,)(≠>=a a a x f x 则 )]()2()1(ln[1lim2n f f f nn ∞→= 。
3．已知xy z arctan=，则全微分=z d 。
4．设x e -是函数)(x f 的一个原函数，则+=⎰C dx x f x )(ln 2 5．设0≥x ，位于曲线2x xe y -=下方，x 轴上方图形的面积为 。
二．单项选择题 (每小题3分，共15分)6．设向量),(,111,3b a b a b a b a=-=⨯=⋅θ），，（满足：与，则下列结论正确的是【 】 (A) 6πθ=(B) 3πθ=(C) 65πθ=(D) 32πθ=7．函数52)(24+-=x x x f 在区间 [ -1/2 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A)16/73,4 (B) 16/73,3 (C) 13,16/73 (D) 13,4 8．设函数)(x y y =由方程0=-y x e e 确定，则)0('',)0('y y 分别是【 】( A ) 1 ，0 ( B ) 1 ，1 ( C ) 0 ，1 ( D ) 0 ，09．=+⎰-xdx x x2sin )sin (224ππ【 】(A) 3/4 (B) 0 (C) 4/3 (D) 110．函数),(y x f 的偏导数),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 连续是),(y x f 在该点可微的【 】(A) 充分必要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D) 既非充分，又非必要条件。
北京科技大学计算机与通信工程学院数字电子历考研真题大全附答案
目 录2014年北京科技大学815数字电子考研真题 ............................................. 5 2013年北京科技大学815数字电子考研真题 ............................................ 11 2012年北京科技大学815电路与数字电子技术考研真题 .................................. 15 2011年北京科技大学815电路及数字电子技术考研真题 .................................. 18 2010年北京科技大学815电路及数字电子技术考研真题 .................................. 22 2009年北京科技大学815电路及数字电子技术考研真题 .................................. 26 2008年北京科技大学815电路及数字电子技术考研真题 .................................. 29 2007年北京科技大学415电路及数字电子技术考研真题 .................................. 33 2006年北京科技大学415电路及数字电子技术考研真题 .................................. 37 2005年北京科技大学电路及数字电子技术考研真题 ...................................... 41 2004年北京科技大学415电路及数字电子技术考研真题 .................................. 44 2003年北京科技大学415电路及数字电子技术考研真题 .................................. 48 2002年北京科技大学电路及数字电子技术考研真题 ...................................... 53 2001年北京科技大学电路及数字电子技术考研真题 ...................................... 57 2000年北京科技大学电路及数字电子技术考研真题 ...................................... 62 说明：近年科目代码和科目名称为815数字电子，往年科目代码和科目名称为815电路与数字电子技术等。
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北京科技大学2004年《计算方法》试题及答案一、判断题(下列各题，你认为正确的，请在括号内打“√”，错的打“×”,每题2分，共12分)1、任何近似值的绝对误差总是大于其相对误差 （×）2、3步Adams 隐式法比4步Adams 显式法的绝对稳定性要好。
（√）3、在任何情况下，求解线性方程组时，Sidel 迭代法总是优于Jacobi 迭代法。
（×）4、设],[)(b a C x f n ∈，若0)()(≡x fn ，],[b a x ∈，则0],,,[10=n x x x f ，其中],[b a x i ∈，n i ,,1,0 = （√）5、给定n 个数据点，则至多构照1-n 次最小二乘多项式 （√）6、数值求积公式的代数精确度越高，计算结果越可靠。
（×）二、填空题(1、2、3小题每空1分，其他题每空2分,共20分)1、设A 是一个108⨯的矩阵，B 是一个5010⨯的矩阵，C 是一个150⨯的矩阵，D 是 一个801⨯的矩阵,根据矩阵乘法结合率，ABCD F =可按如下公式计算（1）[]D BC A F )(= （2）[])(CD B A F = 则公式（1）效率更高，其计算量为1240flops 。
2、设数据21,x x 的相对误差限分别为05.0和005.0，那么两数之商21x x 的相对误差限为 =)(21x x r ε0.055。
3、 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1123A ，则=1A 4，=∞A 5，=F A 15，=)(A ρ4，=∞)(A cond 4。
4、计算3a 的割线法迭代公式为211211131331)()(------++++=---=k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x 5、求解初值问题⎩⎨⎧=-='0)0()exp(2y x y 的改进后的Euler 公式为)]exp()[exp(22121++-+-+=n n n n x x h y y 。
6、将正定矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201032124A 作T LL 分解，则=L ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-81342210210027、解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+244304324343232121X X X X X X X 的Seidel 迭代格式是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-=-=+++)(3)(2)1(3)(3)(2)1(2)(2)1(11631649421411693436k k k k k k k k x x x x x x x x 。
8、用HouseHold 矩阵H 将矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=240430432A 化为上三角阵R,则H=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6.08.008.06.00001, R=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4.1008.450432 三、(14分)设线性方程组b Ax =的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211222112A ,证明对此矩阵Jacobi 迭代法发散而Seidel 迭代法收敛。
解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-02/12/11012/12/101A D IB Jλλλλλλ452/12/1112/12/13+=---=-J B I 125)(>=J B ρ 所以Jacobi 迭代法发散 （2） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-=-2/1002/12/102/12/10)(1U L D B S2)21(+=-λλλS B I 解得01=λ，213,2-=λ 121)(<=S B ρ 所以Seidel 迭代法收敛四、（12分）)(x P 为n 次多项式，已知2)0(=P ，1)1(-=P ，4)2(=P 且)(x P 的所有三阶向前差分均为1。
（1） 以n ,2,1,0 为节点建立)(x P 的n 阶Newton 向前差分插值多项式)(x N n ，并求)()(x N x P n -（2） 求n 和2x 的系数。
解：因为)(x P 的所有三阶向前差分均为1，所以其四阶以上向前差分均为0，可知3≥n 向前差分表为x 0 1 2 3 y 2 -1 4 ？一阶差分 -3 5 ？ 二阶差分 8 ？ 三阶差分 1由于所有三阶向前差分均为1，所以所有四阶向前差分均为0，因此 3261273202)2)(1(!31)1(!2832)(x x x x x x x x x x N n ++-=--+-+-= 由)()1(],,,2,1,0[)()()(n x x x x n P x N x P x R n n --=-= 因为3≥n ，所以0],,,2,1,0[=x n P ，所以0)()(=-x N x P n3261273202)()(x x x x N x P n ++-==，所以3=n ,2x 的系数为27。
五、（8分）用复合梯形求积公式计算⎰-+11211dx x 的近似值2T 和4T ，并使用外推法外推一次，得到更精确的近似值。
解：23]211221[21)]1()0(2)1([212=+⨯+=++-=f f f T 2031]215421254221[21)]1()21(2)0(2)21(2)1([414=+⨯+⨯+⨯+=+++-+-=f f f f f T外推30473235313421121242224=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-T T T T六、（6分）迭代公式)(4)6(22221a x x a a x x x k k k k k +++=+收敛于a ，计算出此公式的阶。
解： )(4)()(4)6(2422221a x x a x a a x x a a x x a x k k k k k k k k +-=-+++=-+aa a x x a xax k k k kk k 81)(41)(241limlim =+=--∞→+∞→ 此公式的阶为4七、（8试用最小二乘法求形如42cx bx a y ++=的四次拟合曲线。
解：10=ϕ，21x =ϕ，42x =ϕ 5),(00=ϕϕ 10),(),(20110===∑ixϕϕϕϕ34),(),(),(4021120====∑ixϕϕϕϕϕϕ130),(),(61221===∑i x ϕϕϕϕ 514),(822==∑i x ϕϕ 6),(0==∑iyf ϕ 18),(21==∑i i y x f ϕ 66),(42==∑i i y x f ϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6618651413034130341034105c b a解得0=a ，67=b ，61-=c 四次拟合曲线为6)7(22x x -=ϕ0)0(=ϕ 1)1()1(=-=ϕϕ 2)2()2(=-=ϕϕ平方误差为0八、（8分）求A 、B 、C 和D 使得数值积分公式)1()0()1()0()(1f D f C Bf Af dx x f '+'++≈⎰的代数精确度尽可能高，并给出其最大代数精确度。
（8分） 解 ：1)(=x f 时0)(='x f111=+=⎰B A dx （1）x x f =)(时1)(='x f211=++=⎰D C B xdx （2） 2)(x x f =时x x f 2)(='31212=+=⎰D B dx x （3） 3)(x x f =时23)(x x f ='41313=+=⎰D B dx x （4）由（1）（2）（3）（4）解得21=A 21=B 121=C 121-=D 即)1(121)0(121)1(21)0(21)(10f f C f f dx x f '-'++≈⎰ 当4)(x x f =时34)(x x f ='61412101211210215114=⋅-⋅+⋅+⋅≠=⎰dx x 此公式代数精确度为3九、（10分）证明初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的计算公式]85[12111-++-++=n n n n n f f f hy y 是三阶方法。
证明：将所有公式在n x x =处展开 )(24625)4(4321h y h y h y h y h y y n n n n n n O ++'''+''+'+=+)(624)4(3211h y h y h y h y y f n n n n nn O ++'''+''+'='=++nn n y y x f '=),( )(624)4(3211h y h y h y h y y f n n n n nn O +-'''+''-'='=--局部截断误差为 ]85[121111-+++-+--=n n n n n n f f f hy y T =n n n n nn y h y h y h y h y h y -O ++'''+''+'+)(24625)4(432 n n n n n y h h y h y h y h y h '-O +-'''-''-'-128)(7252451251255)4(432 )(722412125)4(432h y h y h y h y h n n n n O +-'''+''-'+ n nn y h y h y ''--+'+--+-=2)12112521()1211281251()11( )()721725241()24124561(5)4(43h y h y h n n O +--+'''+-+ )(2415)4(4h y h n O +-= 局部截断误差为4h 的同阶无穷小，所以此方法是3阶的。
误差主项为24/)4(4n y h -。