高考数学一轮复习空间角的大小比较及最值范围问题课件
空间角的大小比较及最值(范围)问题
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知识拓展 1.空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有线
线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面 角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法 及利用最小角定理等方法. 2.立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形转折、点 线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法等.
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(3)设点 S 在底面 ABC 内的投影为点 O，连接 OG，OE，OB，过点 E 作 DE∥AC 交 OB 于点 D，则易得∠SEO＝α，∠SGO＝β，∠SED＝γ，且 tan∠SEO＝OOES，tan∠SGO ＝OOGS ，tan∠SED＝DSDE，在正三棱锥中易得 OE＞OG，DE＜OG，SD＞OS，所以 tan∠SED＞tan∠SGO＞tan∠SEO，则 γ＞β＞α，故选 B. 答案 (1)B (2)A (3)B
→→
β＝
|A1B·D1B1| →→
＝
|A1B|·|D1B1|
b2 a2＋b2·
b2＋b2，cos
→→
γ＝
|AE·D1B1| →→
|AE|·|D1B1|
＝0，∵a＞b＞0，∴cos α＞cos β＞cos γ＝0，∴α＜β＜γ，故选 A.
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(2)如图①，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE， OF，OG，连接DE，DF，DG，则α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO.由图可知它 们的对边都是DO，∴只需比较EO，FO，GO的大小即可.
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(2)如图，设底面等边三角形 ABC 的中心为 O，AB，BC 边上的高分别为 CD，AE，顶点 S 在底面 ABC 上的投影 为点 P，则由 SA＜SB 得点 P 在直线 CD 的上方，由 SB ＜SC 得点 P 在直线 AE 的左侧，则点 P 的投影在图中阴 影部分(不含边界)的区域.过点 P 分别作 BC，AC 的垂线， 垂足分别为 Q，R，易得∠SQP，∠SRP 即为二面角 S－ BC－A 和二面角 S－CA－B 的平面角，且 PQ＞PR，又 因为 tan∠SQP＝PSQP ，tan∠SRP＝PSPR，所以 tan∠SQP＜ tan∠SRP，则∠SQP＜∠SRP，即 α1＜α2，故选 A.
A.α＜β＜γ
B.γ＜β＜α
C.β＜α＜γ
D.α＜γ＜β
3
(2)(2017·浙江卷)如图，已知正四面体 DABC(所有棱长均相等的
三棱锥)，P，Q，R 分别为 AB，BC，CA 上的点，AP＝PB，QBQC
＝CRAR＝2，分别记二面角 D－PR－Q，D－PQ－R，D－QR－P
的平面角为α，β，γ，则( )
C.β<α，γ<α
D.α<β，γ<β
(2)(一题多解)(2018·浙江卷)已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，
E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2
，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则( )
A.θ1≤θ2≤θ3
B.θ3≤θ2≤θ1
b，0)，A(b，0，0)，D1(0，0，a)，B1(b，b，a)，E0，b，a3，A→1B＝(0，b，－a)，
→→
→ AD1
＝(－
b
，0，
a)，
→ D1B1
＝
(b
，
b
，0)
，A→E
＝－b，b，a3
，
cos
α＝
|A1B·AD1| →→
＝
|A1B|·|AD1|
a2 a2＋b2·
a2＋b2＝a2＋a2 b2，cos
如图②，在AB边上取点P′，使AP′＝2P′B，连接OQ，OR，则O为△QRP′的中心.
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设点 O 到△QRP′三边的距离为 a，则 OG＝a，OF＝OQ·sin∠OQF＜OQ·sin∠OQP′ ＝a，OE＝OR·sin∠ORE＞OR·sin∠ORP′＝a，∴OF＜OG＜OE，∴tOanDβ＜tOanDγ＜ tOanDα，∴α＜γ＜β. 答案 (1)A (2)B
A.θ＞γ＞β
B.θ＝β＞γ
C.γ＞β＞θ
D.θ＞β＝γ
(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)已知三棱锥S－ABC的底面ABC为
正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成
的锐二面角分别为α1，α2，α3，则( A.α1＜α2 C.α2＜α3
) B.α1＞α2 D.α2＞α3
A.γ＜α＜β
B.α＜γ＜β
C.α＜β＜γ
D.β＜γ＜α
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解析 (1)以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线
为 z 轴建立空间直角坐标系，∵长方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面为正方形，AA1
＝a，AB＝b，且 a＞b，侧棱 CC1 上一点 E 满足 CC1＝3CE，∴A1(b，0，a)，B(b，
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(2)法一 由题意知四棱锥S－ABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记AC∩BD＝O， 连接SO，则SO⊥平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得AB⊥SM，则 θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO，易知θ3≥θ2.再根据最小角定理知θ3≤θ1，所以θ2≤θ3≤θ1， 故选D.
θ(0＜θ＜π)，令
t＝3－sincoθs
θ，0＜θ＜π，可得
sin
θ
＋tcos θ＝3t≤ t2＋1，解得 t≤ 42，则 tan∠AHO≤12.∴当二面角 A－BC－D 的平面角最
大时，其正切值为12，故选 B.
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(2)以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
得平面 ADD1A1 的一个法向量为 m＝(0，1，0)，由图易得平面 PDB1 与平面 ADD1A1 所成
的二面角为锐角，设其为 θ，则其余弦值为 cos θ＝|nn|·|mm|＝
|－1| a2＋（－1）2＋（－a＋1）2
＝
1
，易得当二面角取得最小值
2a－122＋32
α
时，a＝12，此时有
cos
α＝
坐标系，设正方体的棱长为 1，AP＝a(0≤a≤1)，则易得 D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，
1，1)，则D→P＝(1，a，0)，D→B1＝(1，1，1)，设平面 PDB1 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
D→P·n＝x＋ay＝0， D→B1·n＝x＋y＋z＝0，令 x＝a，得平面 PDB1 的一个法向量为 n＝(a，－1，－a＋1)，易
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(3)(2020·浙江三校三联)已知正三棱锥S－ABC中，G为BC的中点，E为线段BG上的动
点(不包括端点)，SE与平面ABC所成的角为α，二面角S－BC－A的平面角为β，SE与
AC所成的角为γ，则( )
A.β＞γ＞αຫໍສະໝຸດ B.γ＞β＞αC.γ＞α＞β
D.β＞α＞γ
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解析 (1)以 BA，BC 为邻边作平行四边形 ABCD，以四边形 ABCD 为 底面补全如图所示的直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，其中 O，E，F 分别
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类型2 不同类型角间的大小比较
【例1－2】 (1)(2019·浙江卷)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是
棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的
角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则( )
A.β<γ，α<γ
B.β<α，β<γ
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法二 如图，不妨设底面正方形的边长为 2，E 为 AB 上靠近点 A 的
四等分点，E′为 AB 的中点，S 到底面的距离 SO＝1，以 EE′，E′O 为
邻边作矩形 OO′EE′，则∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.由题
意得
tan
θ1＝ESOO′′＝
25，tan
θ2＝ESOO＝
6 3.
答案
(1)B
6 (2) 3
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【训练2】 (1)已知三棱锥P－ABC中，点P在底面ABC上的投影正好在 等腰直角三角形ABC的斜边AB上(不包含两端点)，点P到底面ABC的 距离等于等腰直角三角形ABC的斜边AB的长.设平面PAC与底面ABC 所成的角为α，平面PBC与底面ABC所成的角为β，则tan(α＋β)的最 小值为________. (2)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相 垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线 EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值是________.
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解析 (1)设点 P 在底面 ABC 上的投影为 H，连接 PH，则 PH⊥平面 ABC.过 H 作
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题型二 空间角的最值 【例2】 (1)(2020·台州期末评估)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中
点，将△ADM沿DM翻折，在翻折过程中，当二面角A－BC－D的平面角最大时， 其正切值为( )
3
1
A. 3
B.2
17
2
1
C. 3
D.4
2025届高中数学一轮复习课件：第八章 第6讲 第1课时空间角与距离(共114张ppt)
＝ 24＋＋21＋＋84＝4.设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ |A→C|2－42＝ 1＋4＋16－16＝ 5.
故选 B.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第15页
4．(2023·全国乙卷，理)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三
角形．若二面角 C-AB-D 为 150°，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为( )
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第6页
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，.
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第10页
2．点面距离的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离 d
→
|AB·n| ＝ |n| .
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第11页
常/用/结/论 最小角定理：如图，若 OA 为平面 α 的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面 α 内的 直线与平面所成的角是直线与平面内的直线所成一切角中最小的角． 射影，OC 为平面 α 内的一条直线，其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角， 即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2. 三余弦公式，由于 cosθ2＜1，所以有 cosθ＜cosθ1，由单调性得 θ＞θ1.
显然 CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面 CDE，于是 AB⊥平面 CDE，又 AB⊂平面 ABC， 因此平面 CDE⊥平面 ABC，显然平面 CDE∩平面 ABC＝CE， 直线 CD⊂平面 CDE，则直线 CD 在平面 ABC 内的射影为直线 CE，
高考数学总复习 9.4空间的角课件 人教版
【题后总结】求直线与平面所成角的常用方法：
(1)定义法：关键是找斜线在平面内的射影，找射影的关 键是找出过斜足外的点与此平面垂直的直线(或平面)． (2)最小角定理：cos θ＝cos θ1·cos θ2(如图)． (3)向量法：注意向量夹角与线面角的关系．
【活学活用】1.(2012湖北七市联考)如图，在五棱锥 PABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥DE，AE ∥BC，∠ABC＝45° ，AB＝ 腰三角形． 2 ，BC＝2AE＝2，△PAB是等
(2)建立空间直角坐标系 O－xyz，如图， 则 O(0,0,0)，A(0,0,2 3)，C(2,0,0)， D(0,1， 3)， → ＝(0,0,2 3)，CD → ＝(－2,1， 3)， ∴OA → → OA· CD → → ∴cos〈OA，CD〉＝ → → |OA||CD| 6 6 15 → → ＝ ＝ 4 ，tan〈OA，CD〉＝ 3 2 3· 2 2
1.了解二面角的概念， 二面角的概念；二 二面角的平面角 二面角 面角的平面角及范 2.掌握求二面角的平面 围，求解与计算 角的方法
以棱柱、棱锥、 长方体、正方体 等为载体求二面 角的平面角
一、异面直线所成的角 设a、b是异面直线，过空间任一点O分别作两异面直线 的平行线a′、b′，则a′、b′所成的不大于直角的角叫 π 做两条异面直线a、b所成的角．其取值范围为 (0，2] ．
长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较 长； (3)垂线段比任何一条斜线段都短．
2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所
成的角．
直线与平面所成的角分三种情况： (1) 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐 角，叫做这条直线与这个平面所成的角； (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； (3)一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的 角是0°的角．
2025届高中数学一轮复习课件《空间角、距离以及综合问题》ppt
第27页
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第28页
题型 探究性问题 典例 3(2024·湖北襄阳四中模拟)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， 已知 PA⊥BC，PB⊥AC，点 P 在底面 ABC 上的射影为点 H. (1)证明：PC⊥AB. 概括来讲，在三棱锥中，若两组对棱互相垂直，则第三组对棱也 互相垂直． (2)设 PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点 M，是否存在 λ，使得C→M 这组数量关系说明此三棱锥是正三棱锥． ＝λC→P，且 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为45？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明 理由．
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第7页
(2)设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得n·A→B＝2 3x＋2y＝0，
n·A→N＝4y＋2z＝0，
令 z＝2，则 y＝－1，x＝ 3 3，即 n＝ 3 3，－1，2. 易知C→1N＝(0,0，－2)，
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第14页
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第15页
题型 翻折问题 典例 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，垂足为 E，AB＝AE＝12CE＝1，
DE＝ 2.将△ADE 沿 AE 翻折到△APE，如图 2 所示．M 为线段 PB 的中点，且 ME⊥PC. 最后这个条件，暗示△ADE 翻折到怎样的位置？
由 ME∩BE＝E，ME，BE⊂平面 BEM， 得 BC⊥平面 BEM，PE⊂平面 BEM，于是 PE⊥BC. 由题意，知 PE⊥AE，AE 与 BC 相交， 则 PE⊥平面 ABCE，又 EC⊂平面 ABCE， 所以 PE⊥EC.
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第19页
(2)解：连接 BN，MN，设 EN＝t，由(1)知 PE，EA， 平面 BMN 和平面 PCE 无公共边，这样引入参数 t，使 t 参与二面角余弦值的计算，用 函数法求最小值． EC 两两垂直，故以 E 为坐标原点，E→A，E→C，E→P的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，如图所示，
福建省高考数学一轮总复习 第50讲 空间角及计算课件 文 新课标
(2)因为 BB1⊥平面 ABC，所以 BB1⊥AB，BB1⊥BC， 所以∠ABC 为二面角 A－BB1－C 的平面角． 又△ABC 为正三角形，所以∠ABC＝60°， 所以二面角 A－BB1－C 的大小为 60°.
【点评】 求二面角的常见方法有：一是由线面垂直关系作 出平面角，利用三角形求解；二是构造斜面和射影面，利用 面积比值求解．
【解析】 (1)证明：由 AB＝AC，D 是 BC 的中点，得 AD⊥BC， 又 PO⊥平面 ABC，得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD＝O，所以 BC⊥平面 PAD，故 BC⊥PA.
((2)如图，在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M，连接 CM. 由(1)中知 AP⊥BC，得 AP⊥平面 BMC. 又 AP⊂平面 APC，所以平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得 AB＝ 41.
棱 A1B1、C1D1 上的点，且 B1E1＝D1F1＝A14B1，则
BE1 与 DF1 所成角的余弦值为(
)
8
15
A.17
B.17
3
1
C. 2
D.2
【解析】在 A1B1 上取一点 G，并使 A1G＝A14B1， 连接 AG，再在 AB 上取 AB 的中点 H，连接 GH.
则∠AGH 为异面直线 BE1 与 DF1 所成的角． 不妨设 A1B1＝4，
第50讲 空间角及计算
1．理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角的概念．
2．掌握求空间角的基本方法及步骤，熟练掌握 空间角向平面角的转化技巧．
3．培养学生的转化思想和数形结合思想，提高 学生的空间想象能力．
一、异面直线所成的角 1． 异 面 直 线 所 成 的 角 ： 在 空 间 中 任 取 一 点 O， 过 O点 分 别 作 两 异 面 直 线 的 ① __________ 线 所 成 的 ② _____叫 做 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 ． 2． 异 面 直 线 所 成 的 角 的 范 围 是 ③ ______， 当 ④ ______时 ， 这 两 条 异 面 直 线 垂 直 ． 二、直线与平面所成的角 1． 直 线 和 平 面 所 成 的 角 ：
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：向量法求空间角(一)
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
∴—D1→E ＝(0,2，－1)，
—A1→F ＝—A1→A ＋A→F＝—A1→A ＋λA→D＝(－2λ，0，－2).
以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0， 3)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，
B1(1,1， 3)，所以A—D→1＝(－1,0， 3)，D—→B1＝(1,1， 3).
设异面直线 AD1 与 DB1 所成的角为 θ，所以
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2) 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 所 成 的 角 就 是 直 线 与 平 面 所 成 的
角.( × )
(3)两异面直线所成角的范围是 0，π2，直线与平面所成角的范围是
√ 0，π2.(
)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝
cos〈u，n〉.( × )
教材改编题
1.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉
＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为
√A.30°
C.120°
B.60° D.150°
A.
2 2
B.
15 5
√C. 46
6 D. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
高考数学一轮复习第六讲空间角课件人教
③如图(3)，在棱a上任取一点O，过O点作平面γ⊥a，
设平面γ分别与α、β相交于OA、OB，则∠AOB为所求
能正确地作出二面角的平面角的是
()
A．①②③ B．只有② C．①和③ D．②和③
解析：①正确，这是用定义法作二面角的平面角；
②错误，这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面
角的重要方法，但要注意，上述作法，只对二面角小于
●回归教材
1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小
范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面
直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为
()
A．R＝P⊆Q
B．R⊆P⊆Q
C．P⊆R⊆Q
D．R⊆P＝Q
解析：因为P＝[0， ]，Q＝[0，π]，R＝(0， ]，所以
R⊆P⊆Q.故选B.
●基础知识 一、空间角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角 来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓 广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的 角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通 过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计 算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．
答案：B
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线
BC1和B1D1所成的角为
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：连接AD1、AB1， ∵AB綊A1B1綊C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或 其补角．
③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分 别与两个面的交线，构成二面角的平面角．
高考数学第一轮总复习100讲1065空间的角
DEC B A高考数学第一轮总复习100讲1065空间的角一． 知识回忆：1．异面直线,a b 所成角的定义： ．2．直线与平面所成角θ： 〔1〕直线与平面平行或直线在平面内，那么θ= ． 〔2〕直线与平面垂直，那么θ= ． 〔3〕直线是平面的斜线，那么θ定义为 ． 3．最小角定理： ． 4．二面角的概念： ． 5．二面角的平面角： ．6．求二面角平面角大小的一样方法： ．二． 基础训练：1．二面角l αβ--内有一点P ，假设P 到平面,αβ的距离分不是5,8，且P 在平面,αβ的内的射影的距离为7，那么二面角l αβ--的度数是〔 C 〕()A 30 ()B 60 ()C 120 ()D 1502．,E F 分不是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，那么截面1AEFD 与底面ABCD 所成二面角的正弦值是〔 C 〕()A 32()B 32 ()C 35 ()D 3223．关于平面几何中的命题：〝假如两个角的两边分不对应垂直，那么这两个角相等或互补〞，在立体几何中，类比上述的命题，能够得到命题：，那个命题的真假性是 ．4．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线,AD BE 所成的角为10arccos，那么二面角D AC B --的大小为 ． 三． 例题分析：例 1. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ． 〔1〕PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论；〔2〕求二面角P BD C --的大小；〔3〕求证：平面PAD ⊥平面PAB ． 解：〔1〕PA 与BD 相互垂直.证明如下：取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；连结PO ．∵PB PC =，∴PO BC ⊥．又∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD BC =，∴PO ⊥平面ABCD ． 在梯形ABCD 中，可得Rt ABO Rt BCD ∆≅∆，∴90BEO OAB DBA DBC DBA ∠=∠+∠=∠+∠=， 即AO BD ⊥， ∴PA BD ⊥ ． 〔2〕连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO BD ⊥，可得PE BD ⊥， ∴PEO ∠为二面角P BD C --的平面角，设22AB BC PB PC CD a =====，那么在Rt PEO ∆中，53,,5PO a OE a ==.15tan ==∠EOPOPEO ∴二面角P BD C --为arctan 15 ．〔3〕取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ， 那么同〝〔1〕〞可得CN ⊥平面PAB ．取PA 的中点M ，连结,DM MN ，那么由////MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴//CN DM ， ∴DM ⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ． 解答二：取BC 的中点O ，由侧面PBC ⊥底面ABCD ， PBC ∆是等边三角形， 得PO ⊥底面ABCD ．以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴， 过点O 与AB 平行的直线为y 轴， 建立如下图的空间直角坐标系O xyz -， 设1CD =，那么在直角梯形中，2AB BC ==，在等边三角形PBC 中，3PO =．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)A B D P ---).3,2,1(),0,1,2(--=--=PA BD〔1〕PA 与BD 相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(=-⨯+-⨯-+⨯-=⋅PA BD ∴,PA BD PA BD ⊥⊥．〔2〕连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ；连结PE ．由,000)1()2()2(1=⨯+-⨯-+-⨯=⋅BD OA 得,OA BD AO BD ⊥⊥即． 又∵AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，∴PE BD ⊥，PEO ∠为二面角P BD C --的平面角． 在Rt BEO ∆中，5sin OE OB OBE =∠=． 在Rt PEO ∆中，tan 15POPEO OE∠==． ∴二面角P BD C --为arctan 15．〔3〕取PA 的中点M ，连结DM ，那么M 的坐标为13(,1,)22-． 又33(,0,)22DM =，(1,0,3)PB =-， ∴3310(2)(3)022DM PA ⋅=⨯+⨯-+⨯-= 33100(3)022DM PB ⋅=⨯+⨯+⨯-=．∴,,,DM PA DM PB DM PA DM PB ⊥⊥⊥⊥即 ∴DM ⊥平面PAB ． ∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．例2.在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，A 、B 到l 的距离分不是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分不为C 、D ，求：〔1〕CD 的长度；〔2〕AB 和棱l 所成的角．例3.棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．· B 1PACD A 1C 1D 1BO H·DECB A〔Ⅰ〕求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小〔结果用反三角函数值表示〕； 〔Ⅱ〕设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例4. 在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，23SA SC ==，,M N 分不是,AB SB 的中点．〔1〕证明AC SB ⊥；〔2〕求二面角N CM B --的大小； 〔3〕求点B 到平面CMN 的距离．例5. 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1的长为a ，底面ABCD 是边长AB =2a ，BC =a 的矩形，又E 是C 1D 1的中点； 〔1〕CE 与BD 1所成角的余弦值；〔2〕求证：平面BCE ⊥平面BDE ；〔3〕求二面角B －DC 1－C 的平面角的大小四、作业同步练习g3.1065空间的角3．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，假设PA AB =，那么平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是 〔 〕()A 30 ()B 45 ()C 60 ()D 904．正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范畴 〔 〕 ()A ︒<<︒18060θ ()B ︒<60θ()C ︒>90θ ()D ︒>90θ或︒<60θ5．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，假设AD 与平面11AAC C 所成的角为α，那么α=〔 〕()A 13()B 4π ()C 10arcsin4 ()D 6arcsin 46．一直线和直二面角的两个面所成的角分不是,αβ，那么αβ+的范畴是〔 〕()A [,)2ππ()B [0,)2π()C (0,]2π()D [0,]2π1,10,301AB AC BD CD ====7．AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，么,AC BD 所成的角为 ．8．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线,AD BE 所成D A C A 1 B 1 C 1 D 1BE的角为10arccos，那么二面角D AC B --的大小为 ．9.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． 〔1〕证明//PA 平面EDB ： 〔2〕证明PB ⊥平面EFD ； 〔3〕求二面角C PB D --的大小．10.如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，〔1〕求证：D A 1⊥平面B AC 1；〔2〕求侧棱1AA 的长；〔3〕4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。
2021高中数学一轮复习课件第八章 平面解析几何第八节 第二课时 最值、范围问题
差什么 到此就缺少|AM|，|AN|的值，由于A点已知，故想法求
找什么 M，N的坐标
返回
第(2)问 求什么
求k的取值范围，想到建立关于k的不等式 想什么 给什么 题目条件中给出2|AM|＝|AN|，可利用此条件建立t与k 用什么 的关系式 差什么
缺少关于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式 找什么
故|AM|＝|x1＋ t| 1＋k2＝6
t（1＋k2） 3＋tk2 .
由题设知，直线 AN 的方程为 y＝－1k(x＋ t)，
故同理可得|AN|＝6k
t（1＋k2）
3k2＋t
.
返回
由2|AM|＝|AN|，得3＋2tk2＝3k2k＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 当k＝3 2时上式不成立，因此t＝3kk(23－k－21). 由t>3，得3kk(23－k－2 1)>3， 所以k3－2kk3－2＋2k－2＝(k－k23)－(k22＋1)<0，即kk3－－22<0. 由此得kk－ 3－22><00， 或kk－3－22<>00，， 解得3 2<k<2.
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.
返回
①
设 G(xG，yG)，则－u 和 xG 是方程①的解，故 xG＝u23＋k2＋k22，
由此得 yG＝2u＋kk3 2.
关键 2：设出直线 QG 的方程，联立直线 QG 与椭圆的方程，求出 G 点坐标．
(6 分)
从而直线 PG 的斜率为u223u＋＋kk2k3＋k22－2u－ku＝－1k.
由BF⊥HF，得―B→F ·―F→H ＝0，
返回
即44kk22－ ＋93＋41k22k＋yH3＝0，解得yH＝9－124kk2，
高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 第7节 第1课时 空间角课件 理 新人教版
[解] (1)证明：因为四边形ACC1A1为矩形， 所以CC1⊥AC，同理DD1⊥BD， 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD，而AC∩BD＝O， 因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以 四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从 而OB，OC，OO1两两垂直．
[小题纠偏]
1．如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1， E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的 中心，则EF和CD所成的角是 ( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．135°
解析
2．在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D， E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，AB＝AC＝1，PA ＝2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( )
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．
解析
[由题悟法] 利用平面的法向量求线面角的 2 个注意点 (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝 角时取其补角)，取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系 sin2θ＋ cos2θ＝1 求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法 向量所夹角的余弦值为所求．
[小题体验]
1．已知正四棱锥S -ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是
SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为
()
A．13
B．
2 3
2020年高考数学一轮总复习名师精讲 第43讲空间角课件
❖ A．30°
B．45°
❖ C．60°
D．90°
❖ 解析：如下图，设AC的中点为O，连结DO、BO，则DO⊥AC， BO⊥AC，∴AC⊥平面OBD，
❖ ∴平面OBD⊥平面ABC，
❖ ∴BD在平面ABC上的射影一定在BO上，
❖ 即∠DBO是DB与平面ABC所成的角．
❖ ∵∠DBO是等腰△ODB的底角．
❖ (1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； ❖ (2)求异面直线AE与CD所成角的大小． ❖ [解析] (1)证明：∵PA⊥平面ABCD， ❖ ∴PA⊥AB， ❖ 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， ❖ ∴AB ⊥平面PAD，PD⊂面PAD. ❖ ∴AB⊥PD. ❖ 又∵AE⊥PD，AB∩AE＝A， ❖ ∴PD⊥平面ABE，BE⊂面ABE， ❖ 故BE⊥PD.
∴ sin∠C1BE＝CBC1E1＝
2＝ 5
10 5.
答案：D
❖ 3．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别 是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影 分别是m和n.若a>b，则( )
❖ A．θ>φ，m<n
B．θ>φ，m>n
❖ C．θ<φ，m<n
D．θ<φ，m>n
2．求作直线和平面所成角的方法 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边 分别是平面的垂线段，斜线段及斜线段在平面内的射影．其中的 关键是作出射影线段．(它是由垂线段的垂足和斜足连结而成的) 3．范围：0，π2.
❖ 三、二面角
❖ 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的 面．