高中数学选修3-1《数学史》：欧几里德与《原本》
欧几里得与《原本》课件人教新课标(2)
故 N2 至少有两个不同的素因数.
令 N3 nn1nn11 ，
又 nn1，nn11 1，故 N3 至少有三个不同的素因数
此进程无限进行下去，得素数有无穷多个.
二、《本来》内容简介
卷Ⅹ 讨论无理量，实际只涉及 a b
共115个命题. 但卷Ⅹ命题1 十分重要.
题，讨论正整数的性质，如：
Ⅶ，32 任一数或者是素数，或者可被某数
所量尽.
Ⅸ，20 预先给定任意多个素数，则有比它
们更多的素数.
Ⅸ，20 的证明
A--- B----
设 A，B，C 是预先给定的素数.可证有比 A，B，C
C-------- G-----------
更多的素数.
为此，取能被 A，B，C 量尽的最小数，并设它为 DE， E ------------------ D --F
Henry Perigal (1801-1898) This really shows the two squares on the sides becoming the square on the hypotenuse
二、《本来》内容简介
卷Ⅱ 给出两个定义，14个命题，是用几 何情势叙述代数问题，如：
故证明了素数的个数是无穷的.
证完
欧几里得的原始证明是先假设只有 A，B，C 三个素数（当然这也太特殊了），然后推出还有这
三个素数以外的素数存在. 而现在的证明不过是将三个改为任意 k 个，这在方法上并没有本质区
别.
库默尔（Kummer，1810----1893）
在1878年给出欧几里得证明的一个奇妙变形：
再给 DE 加上单位 DF. 那么 EF 或者是素数或者不是素数.
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《欧几里得与几何原本》
泰勒斯
毕达哥拉斯
柏拉图
亚里士多德 亚历山大大帝
欧几里得
公元前624年 ~前546年
公元前580年 公元前427年 公元前384年 公元前356年 公元前330年 ~前500年 ~前347年 ~前322年 ~前323年 ~前275年
欧几里得生平
02
Euclid 公元前330年—公元前275年
当时数学学科发展特点
古 希 腊 城 邦 制 度 公 元 前 年 前 年
750 - 500
政治民主、思想自由
商贸发达、社会安定
公元前800年，各个村落逐渐发展为拥有各自政府和军队的城 市，历史学家称之为“城邦”．古希腊从此进入城邦时代．城邦的 兴起，标志着古希腊文明（公元前800-前146 年）的开始．古希腊 数学正是在这个时期开始孕育的．
述了另一则故事，一位学生曾这样问欧几里得：“老师，学习几何
会使我得到什么好处？”欧几里得思索了一下，请仆人拿点钱给这
位学生. 欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利
.
你觉得欧几里得是一个什么样的人？
沉迷学术
A
善于思考
B
敢做敢想
C
欧几里得主要成就
1）《几何原本》（Euclid's Elements with comments） 欧几里得最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总 结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书.
1. 泰勒斯
米利都学派
西方朴素唯物主义始祖
提出了“水是万物的本源”
理性数学之父
Thales 公元前624年—公元前546年 开创演绎推理的先河
2. 毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派
基本信条：万物皆数
欧几里德和《几何原本》PPT课件
1至6卷
初等平面 几何
7至9卷 数论
第10卷
不可公度
11至13卷
立体几何
7
第一卷
• 全等三角形
8
第一卷
• 平行四边形
9
第一卷
• 尺规作图
10
勾股定理及其逆定理
勾股定理的证明在欧 氏《几何原本》中的地位 是很突出的。它的证明方 法是：以直角三角形的三 条边为边，分别向外作正 方形，然后利用面积方法 加以证明。人们非常赞同 这种巧妙的构思，因此， 目前中学课本中还普遍保 留这种方法。
3
欧几里德的生平简介：
欧几里得
古希腊数学家，被称为——
几何之父
4
由于已经过去了2000多年，到 现在为止，我们都无法知道欧几里 德出生和去世的准确日子，也不知 道他究竟是什么地方人。只大致了 解他是希腊人，生活在埃及托勒密 一世统治时期。
5
最成功的数学教科书—《几何原本》
6
《几何原本》
章节 内容
11
第二卷
• 几何代数—用几何图形来证明代数结论
A
P
RB
D
Q
SC
AD（AP+PR+PB）=AD · AP+AD· PR+AD· RB
12
第二卷
13
第三、四卷
• 圆的几何学
14
第五卷
• 一般比例问题
15
第六卷
• 相似问题
16第七、八、九卷奇数 偶数最大公约数 最小公倍数
卷七
完全数
平方数
素数
1
欧几里得的小故事
求知无坦途
2
求知无坦途
有一次，国王托勒密在演算一道几何题时， 被这道几何题难住了。正如有人为所说的： “几何几何，想破脑壳”，国王在题目面前 也是一筹莫展。
几何《原本》简介.
几何《原本》简介欧几里得（Euclid，希腊人，生于公元前300年前后），著名的数学家．欧几里得以数学经典名著几何《原本（Elements）》闻名于世．但他的生平后世所知并不多，从一些典籍中知道他是托勒密一世时代的人（公元前323—公元前285在位），他对柏拉图（Plato，公元前427—前347）的学说颇有研究，曾给托勒密讲授几何学．当托勒密问他说，除了几何原本之外，还有没有什么学习几何的快捷方式时，他说出了“几何无王者之道！”（“There is no royal road to geometry．”）的千古名言．几何原本前6卷讲几何，7至10卷是用几何方式来叙述数论，其余各卷也是几何，基本上一本几何书．它的内容和中国传统的算学书大异其趣，为了区别起见，所以应创新词来代表，由于“几何”二字既和geometric的字音相近，又反映了数量大小的意思，采用它可以音意兼顾．第1卷，首先给出23个定义．如“点是没有部分的”，“线只有长度而没有宽度”等，以及平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．接着是5个公设，前4个是显而易见的，第5个就很复杂:“一直线与两直线相交，所构成的同侧内角和若小于两直角，则这两直线延长后一定会在这两个同侧内角的那一侧相交”，这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．公设之后有5个公理，之后给出48个命题．第47命题就是著名的勾股定理:“直角三角形斜边上的正方形等于两股上正方形的和”．第2卷，包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式．第11命题是分线段为中末比，也就是后来所称的黄金分割；第12、13命题相当于余弦定理．第3卷，包含37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及与圆有关的图形．第4卷，有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，及圆内接正多边形（5边、10边、15边）的作图．第5卷，比例论，有25个命题．第6卷，把第5卷中已建立的理论用到平面图形上，共33个命题．第7、8、9卷，这三卷是数论，分别有39、27、36个命题，完全用几何的方法来叙述．第7卷，第1命题是欧几里得辗转相除法的出处．第9卷第20命题是数论中的欧几里得定理:“质数的个数有无限多．”第10卷，包含115个命题，分量占全书的四分之一，主要讨论无理量．第1命题“给定大小两个量，从大量中减去它的一大半，再从剩下的量中减去它的一大半，如此继续下去，可使所余的量小于所给的小量”相当重要，它是极限论的雏形，也是穷尽法的理论基础．第11卷，讨论空间的直线与平面的各种关系．第12卷，利用穷尽法证明“圆面积的比等于直径平方的比”．此外还证明了“球体积的比等于直径立方的比”、“锥体体积等于同底等高的柱体的三分之一”．第13卷，着重研究五个正多面体．。
高中数学《第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》》56PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
欧几里得与《几何原本》教学设计王楷文一、教学目标（1）了解《几何原本》的内容框架；（2）了解《几何原本》的最大价值；（3）了解《几何原本》的第Ⅰ卷；（4）通过一个具体命题感受欧几里得建立的数学范式和“公理化思想”的含义；（5）了解“几何之父”欧几里得的生平和相关传说。
二、教学重点（1）《几何原本》的内容框架；（2）《几何原本》的最大价值；（3）感受欧几里得建立的数学范式和公理化思想。
三、教学难点《几何原本》的最大价值。
四、教学过程（一）抛出问题，引发思考思考：请同学们回忆一下，自己当年是怎么学习几何的？（最重要最根本的东西：几何命题的明晰性和可靠性）爱因斯坦曾说：“一个人当他最初接近几何时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。
”问题：我们回过头想想，我们学习几何的过程中，你感受过爱因斯坦所说的这种感动吗？（二）《几何原本》的内容框架共13卷，前四卷讲直边形和圆的性质，第五卷论比例，第六卷利用比例理论讨论相似形，第七、八、九、十卷用几何的方法讲述比例和算术理论，其余三卷为立体几何和穷竭法，这些被称作“欧式几何学”。
（三）《几何原本》的价值1.《几何原本》体制适宜、结构严谨，影响十分深远，在两千多年的时间里被认为是几何学的标准教科书，欧洲各国甚至把它当作几何学版的“圣经”，以至到十九世纪末已被翻译成了一千多个版本，“欧几里得”成了几何学的代名词。
2.确立了数学的演绎范式（《几何原本》最大的价值在于确立了数学的演绎范式，这种范式要求一门学科中的每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理，这就是所谓的“公理化思想“。
它的目的就是把数学表达成为一个演绎系统，其出发点就是一组基本概念和公理。
他总结概括出23个定义，5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成演绎体系。
高中数学《第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》》57PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
1欧几里得与《原本》教案设计教师：蔡洁瑜单位：汕头市第一中学年级：高三级版本：高中数学人教A版2003课标版章节：选修3.1第二讲第三节一、数学内容分析欧几里得，大约生活在公元前300年，是希腊数学“黄金时期”的代表人物之一，是古希腊论证数学的集大成者。
他的著作不少，遗憾的是仅留存《原本》。
这本书的最大意义在于，它用公理化方法建立起演绎体系的最早典范。
众所周知，公理化方法是数学中重要方法，它的主要精神是从尽量少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的命题。
欧几里得在该著作中用公理法对当时的数学知识做了系统化、理论化的总结。
近现代数学就是按照原本所提供的公理化模式发展起来的。
他的公理化思想和方法在其他学科中也得到了广泛应用，指明了数学那及其他科学的前进道路。
公理法，是通过公理的选择、定义的给出、内容的编排、方法的运用以及命题的严格证明等，借助逻辑的方法，把知识组织起来，加以比较、分类，揭露彼此间的内在联系，从而系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中，从而建成知识的大厦。
学习者可以借助这一方法，学习或整理某一系统的知识，甚至进行有效地创造性思考。
这一方法对逻辑思维能力的训练更是有着巨大的作用。
二、课程标准分析新课标指出：通过数学史和其他领域的典型实例，了解数学公理化的含义，了解公理体系的独立性，相容性，完备性，了解公理化思想在数学，自然科学及社会科学中的运用。
体会公理化思想的意义和价值。
三、学情分析该阶段的学生已学习了平面几何、立体几何中重要的定义、公理与定理，具备一定的逻辑推理能力，能够利用定义、公理、定理等完成某些命题的推理论证，能建立一个基础的、简单的几何知识理论体系，具备理解本节课内容的知识与能力的储备。
现用数学教材中，几何内容的编排、逻辑的训练正是借鉴《原本》，尺规作图更是初中数学的重要内容之一，学生学习该节课内容是水到渠成的，是对前面所学几何知识的总结与升华，可以帮助学生整理和归纳该板块的知识。
三欧几里得与《原本》
欧几里得（EUCLID,约公元前330—公元前270）
欧几里得是古希腊著名 数学家、欧式几何学开 创者， 被称为“几何 学之父”他生于雅典， 曾受教于柏拉图学院。 雅典衰弱后，应托勒密 国王的邀请，来到亚历 山大城主持数学学派的 工作。
可惜的是欧几里德的身世我们知道得很少， 亚历山大大学是希腊文化最后集中的地方， 因为亚历山大自己到过亚历山大，因此就建 立了当时北非的大城，靠在地中海。但是他 远在到亚洲之后，我们知道他很快就死了。 之后，他的大将托勒密管理当时的埃及区域。 托勒密很重视学问，就成立了一个大学。这 个大学就在他的王宫旁边，是当时全世界最 优秀的大学，设备非常好，有许多书。很可 惜由于宗教的原因以及众多的原因，现在这 个学校已经被完全毁掉了。当时的基督教就 不喜欢这个学校，已经被毁了，回教人占领 北非之后就大规模地破坏、并焚烧图书馆的 书。所以现在这个学校完全不存在了。
三千年前，人们建造了高 大的金字塔，可是谁也不 知道金字塔究竟有多高。 有人这么说：“要想测量 金字塔的高度，比登天还 难！”这话传到一位几何 大师耳朵里。他笑着告诉 别人：“这有什么难的呢？ 当你的影子跟你的身体一 样长的时候，你去量一下 金字塔的影子有多长，那 长度便等于金字塔的高 度！”
几何大 师
几 何 原 本
《几何原本》是欧洲数学的基础， 总结了平面几何五大公设，被广 泛的认为是历史上最成功的教科 书。欧几里得也写了一些关于透 视、圆锥曲线、球面几何学及数 论的作品。欧几里得使用了公理 化的方法。这一方法后来成了建 立任何知识体系的典范，在差不还有 不少著作，可惜大都失传。欧几 里得还有另外五本著作流传至今。 它们与《几何原本》一样，内容 都包含定义及证明。
有这样一则 故事
胡夫金字塔是古埃及金字塔中 最大的金字塔。塔高146.59米， 因年久风化，顶端剥落10米， 现高136.5米，相当于40层大 厦高。塔身是用230万块巨石 堆砌而成，大小不等的石料重 达1.5吨至50吨，塔的总重量 约为684万吨，它的规模是埃 及至今发现的110座金字塔中 最大的。
高中数学《第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》》54PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
高中数学人教A版选修3-1第二讲古希腊数学三欧几里得与《原本》教学设计作者：合肥市第七中学黄夏宁一、学情分析：由于这部分知识不在高考考察范围内，所以许多选修内容学生是没有机会了解的。
学生每天的学习负担也很重，没有更多的时间可以花在这些有必要了解、但又不考的知识上。
因此我设计这节课，意在引导学生，让学生能关注到数学的发展历程，知道数学是怎样一步步走到今天的，数学家们都做了哪些努力和坚持，他们这种精神有多么难能可贵。
学生们已经学习了初中的平面几何和高中的立体几何，对几何学中基础性的定义、公理、定理已经有了初步的认识，也学会了利用定理进行线面关系的证明，有了一定的抽象思维和逻辑思维能力。
这个时候，极其有必要让学生知道几何体系是如何建立的，也就是公理化方法在建立几何体系和其他科学体系中的作用，而且学生也是能够理解和接受的。
并且应该能够运用已知的一些公理继续推理出一些结论。
在数学教学中，数学史的研究现在已受到一部分教师的重视，许多教师在运用数学史进行教学设计的时候，往往将重点落在运用数学史的趣事上以吸引学生兴趣，这固然是数学史在中学教学的作用之一，但远不止于此。
从研究数学史的角度可以看到数学发展历史上走过的弯路及突破的契机，体会数学思想方法的应用，帮助学生思维的拓展，培养孤苦钻研的精神。
二、教学目标：为了激发学生学习兴趣，我首先由欧几里得《原本》的数学文化背景导入，让学生在文化背景的震撼中感受《原本》的伟大以及数学的伟大。
然后引出《原本》的主要内容，并简单介绍《原本》的五条公理和五条公设，通过介绍原本的主要内容，学生就能真切的感受到《几何原本》一书内容之丰富，以及其内容和我们学过的知识的联系，从而激发他们的学习热情。
通过介绍原本所引用的公理公设，让学生观察这10条内容的区别，并发现第五公设和其他几个的不同之处，并简单介绍第五公设和非欧几何。
学生就能更真切的感受到《几何原本》一书的伟大之处：从那么少的几条定义公理出发进行论证，得出那么多结论，而且对后世的数学产生巨大的影响。
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2.《几何原本》的演变
欧几里得《几何原本》最早是用羊 皮纸写成的，手稿共15卷已失传，自 1482在西方第一次印刷术传到欧洲之前， 它的手抄本统治了欧洲几何达1800年之 久，从来没有一本科学书像它那样广泛 流传，其影响之大仅次于基督教《圣 经》.
传入我国 最早的《几何 原本》中译本 是1607年意大 利传教士利玛 窦和徐光启所 译的前六卷.
《几何原本》 中文版
3.尺规作图的来历
《原本》中的几何作图，规定只能用没 有刻度的直尺和圆规.这最初有柏拉图提出.
为什么做这样的规定呢？
第一，古希腊数学的基本精神要求最初 的假定越少越好，而推出的命题则越来越好， 对于作图工具，自然也相应的限制到不能再 少的程度.
欧几里得学习勤奋，治学严谨，目 前只留下两则轶事：
一则说，托勒密国王学习几何困难 时，问他：“学习几何有没有捷径？” 他回答道“几何无王者之路”（意思说， 在几何里，没有专为国王铺设的路）.
二则说，有一学生开始学习第一 个命题就问“学了几何学后将得到什 么利益？”欧几里得对家奴说：“给 他三个钱币，因为他想在学习中获取 实利”.可知欧几里得主张循序渐进、 刻苦学习，求知无坦途，投机取巧不 行；他反对急功近利.
2.《几何原本》
欧几里得成书于公元前 300年前后，首先列出23条 定义，以5条公设和5条公理 为基础，然后演绎地证明了 465条定理.内容包括直线及 圆的性质、比例论、相似形、 数论、不可公度量的分类， 立体几何及穷竭法等13卷.每 卷内容是：
第一卷，点、线、三角形、正方形、平行四边 形等.
第二卷，论面积变换、几何的语言叙述代数公 式如（(a + b)2 = a2 + 2ab + b，2 黄金分割，相等于余弦 定理等 ）.
第二讲 古希腊数学 （公元前600—600）
知识回顾
•泰勒斯开命题证明之先河，为建立几何 的演绎体系迈出可贵的第一步.
•毕达哥拉斯学派用数解释一切，将数学 从具体的事物中抽象出来，建立起理论 体系，并将算术和几何紧密地联系起来， 为算术的几何化提供了线索.
从公元前338年腓力二 世（亚历山大大帝之父） 统一希腊半岛，到公元前 30年最后一个希腊化国家 托勒密王国被罗马征服， 这一时期是希腊数学的 “黄金时段”.代表人物就 是名垂青史的大几何学家 欧几里得和大科学家阿基 米德.
第十一卷，立体几何.大量有关平行六面 体.
第十二卷，穷竭法（用现代话说指无限逼 近的极限方法）.
第十三卷，研究了五种正多面体.
5个公设：
I. 假定从任意一点到任意Байду номын сангаас点可作一直线.
II. 一条有限直线可不断延长.
III.以任意中心和直径可以画圆.
IV.凡直角都相等.
V. 一直线与两直线相交，若所构成的同旁 内角小于两直角，那么把这两条直线延 长，一定在那两内角的一侧相交.
课堂小结
欧几里得在《几何原本》创立了公 理化方法，对数学知识做了系统化、理 论化的总结.
《几何原本》是西方最早的数学书.
《几何原本》—埃及纸草
•欧几里得 (Euclid, 约 公元前330 – 275 年) •他是亚历山大大学数 学教授，并有可能担任 亚历山大图书馆馆长. •《几何原本》的编著 者. •他是首位以公理化为 基础推广演绎几何的人.
教学目标
知识和能力
•了解欧几里得的时代背景； •熟悉《几何原本》的主要内容； •《几何原本》的产生背景及历 史意义.
第二，柏拉图哲学思想的影响，他认为， 几何学好像锻炼身体的体育竞技必须有种种规 则和器械的限制.训练思维的这门学科也应对作 图工具有所限制，促使了这种限制的产生.
第三，毕达哥拉斯学派认为，圆和直线是 几 何学中最基本的研究对象，有了尺规，不 仅圆和直线已经能够作出，而且许许多多相当 复杂的图形也能作出.
第三卷，论述圆、圆的相交与相切、弦、圆周 角等.该卷还有沿用至今的两个著名定理“相交 弦定理”和“切割线定理”.
第四卷，讨论多边形与圆、正多边形（五、 六、十边形）的作图法.
第五卷，比例理论.
第六卷，将比例论用于相似形的研究.
第七至第九卷，算术（数论）内容.
第十卷，不可通约量的理论，试图将无公度 线段进行分类.
过程和方法 •了解欧几里得的社会背景； •学习《几何原本》的主要内容、产生背 景及历史意义.
情感态度与价值观 欧几里得的《几何原本》其公理化 思想和方法在其他学科中得到了广泛应用， 指明了数学乃至其他科学的前进道路.
教学重难点
难点
《几何原本》的产生背景及其主要内 容.
重点 欧几里得的数学成就及《几何原本》 的历史意义.
阿基米德
亚历山大
导入新课
欧几里得《几何原本》像磁铁般地吸 引着学习者，拨响了学习者的逻辑思维琴 弦，从而激活人们对数学的兴趣.《几何原 本》仍为传世经典巨著，是数学史上一颗 绚烂瑰宝.
三、欧几里得与《原本》
欧几里得是古希腊 论证数学的集大成者， 他通过继承和发展前人 的研究成果，编辑了旷 世巨著《原本》（又名 《几何原本》）.
第Ⅴ平行公设
一直线与两直 线相交，若所构成 的同旁内角小于两 直角，那么把这两 条直线延长，一定 在那两内角的一侧 相交.
5个公理：
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量，和相等. 3. 等量减等量，差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
公理化方法是数学中的重要方法，它 的主要精神是从尽可能少的几条公理以及 若干原始概念出发，推导出尽可能多的命 题.
内容介绍
1.几何大师欧几里得
欧几里得（公元前330—前275）生 于雅典，在雅典的柏拉图学院接受过教育， 毕业后应埃及托勒密国王的邀请客居在埃 及亚历山大，从事教育工作，他是亚历山 大前期—全胜时期的第一位大数学家、教 育家.
欧 几 里 得
几何原本 （阿拉伯文版）
几何原本 （希腊文版）
《几何原本》 拉丁文版