高二数学双曲线知识点及例题
第04讲 双曲线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第04讲 双曲线知识点1 双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线． (3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; ①若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.【考点目录】【知识梳理】知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3 双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：a PF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+- 2122||||1cos b PF PF θ=- 由三角形的面积公式可得 S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sin cos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为x 2a 2－y 2a 2＝1或y 2a 2－x 2a 2＝1(a ＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y ＝±x ，离心率e ＝ 2. (3)等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠； 2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5 直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则()()()()()()2222221212121212122211=1+k 1+k 41+1+4k k AB x x x x x x y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=.考点一 求双曲线的标准方程1．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线2213x y m m -=的一个焦点是()0,2，则实数m 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．105-D ．1052．（2022春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线2222:1y x C a b -=过点()2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221x y -= B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．22124y x -=【考点剖析】3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆22195x y +=有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）A ．22122x y -=B 221= C ．22144x y -=D ．2211616x y -=4．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212x y -=D ．2212y x -=5．（2022春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线C 的焦点为()1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=6．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：()2222102x y a a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为72，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．221510x y -=C ．22148x y -=D ．2212y x -=考点二 双曲线的焦点三角形7．（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设P 为双曲线221169x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，若110PF =，则2PF 等于（ ） A ．2B ．2或18C ．4D ．188．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线2212x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，12PF PF +=O 为坐标原点，M 是1PF 中点，则OM =（ ）A B ．C ．D ．9．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知12,F F 分别是双曲线22144x yC :-=的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且210PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A．2B ．4C ．D ．10．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3BC D考点三 双曲线定义的应用11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，12．（2022春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2022·四川南充·统考三模）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A ．()0,πθ∈ B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1115．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线22:145y x C -=的下焦点为F ，()3,7A ，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF PA -的最小值是（ ） A ．2- B ．2C ．1D ．1-考点四 双曲线的轨迹方程16．（2022·四川·高二统考）已知y 轴上两点()10,5F -，()20,5F ，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169y x -=C ．221916x y +=D ．221169x y +=17．（2022春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知P 是圆()221:316F x y ++=上的一动点，点()23,0F ，线段2PF 的垂直平分线交直线1PF 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22149x y -=C ．22145x y -=D ．()221045x y x -=>18．（2022春·陕西渭南·高二期末）一动圆P 过定点()4,0M -，且与已知圆N ：()22416x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ） A ．221412x y +=B ．221412y x +=C ．221412x y -=D ．221412y x -=19．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（ ）A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥考点五 双曲线的离心率（一）求双曲线的离心率20．（2022春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为0x =，则C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 21．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C D22．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A B ､分别在双曲线的左､右两支上，0,2AF FB FC BF ⋅==，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B CD 23．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()222:109x y C b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．32 D ．5324．（2022春·海南·高二校考阶段练习）设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，A为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 25．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D（二）求双曲线离心率的取值范围26．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a -=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞27．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，直线l 过点F与双曲线交于,A B 两点，且AB 最小值为22b a，则双曲线离心率取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(C ．(]1,2D ．(28．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的上、下焦点分别是1F ，2F 若双曲线C 上存在点P 使得2124PF PF a ⋅=-，22221243PF PF a b +<+，则其离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,3C ．)+∞D ．()3,+∞（三）由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（2018·陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线221mx y +=-的离心率为2，则实数m 的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．13D ．330．（2022春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线22:113x y C m m -=+-m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,131．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设k 为实数，已知双曲线2214x y k -=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,12) B ．(4,6)C ．(1,4)D ．(1,2)考点六 双曲线的渐近线32．（2022春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．43y x =C ．43y x =-D ．34yx33．（2022春·江苏徐州·高二期末）若双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>C 的两条渐近线所成的角等于__________.34．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(5,0)F ，两条渐近线互相垂直，则=a ______.35．（2022春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线22148x y -=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（ ） A．B ．C ．2D ．436．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，12F F ，分别是双曲线2222:1(00)x yC a b a b-=>>，的左､右焦点，过2F 作渐近线的垂线，垂足为H ，与双曲线的右支交于点P ，且22F P PH =，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±37．（2022·新疆·统考三模）已知P 是双曲线22:1169x y C -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，P 点又在以2F 为圆心，94为半径的圆上，则下列结论中正确的是（ ） A ．12PF F △的面积为452B ．双曲线C 的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到双曲线C 左焦点的距离是234D ．双曲线C 的右焦点到渐近线的距离为3考点七 直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2022春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线:20l x my m +--=与曲线2214x y -=有且只有一个交点，则满足条件的直线l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条39．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线12:20,:20l x y l x y -=-=，若双曲线C 与12,l l 均无公共点，则C 可以是（ ）A ．22132x y -=B ．22143x y -=C ．22182-=y xD ．22132y x -=40．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件41．（2022·全国·高二专题练习）若直线2y kx =+与曲线x =k 的取值范围是A ．（）B ．（C ．（）D ．（1-） 42．（2022春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．(43．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()()0,22-B ．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,2（二）弦长问题44．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1045．（2022·高二课时练习）已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A．B ．C ．6D ．46．（2022·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB = ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=47．（2022春·福建福州·高二校考期中）设1F ，2F 是双曲线C ：22163y x-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的渐近线上，且OP =12PF F △的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．149．（2022秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0 B ．x ﹣4y +7=0 C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=050．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．51．（2022秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=52．（2022·高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2D考点八 双曲线中参数范围及最值问题53．（2022春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．)+∞54．（2022春·福建宁德·高二统考期末）已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（ ）A ．⎢⎭⎣B ．⎛ ⎦⎝C ．⎢⎭⎣D ．⎛ ⎦⎝55．（2022春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知12,F F 分别是双曲线22:139x yC -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，△12AF F 和△12BF F 的内心分别为M ，N ，则||MN 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．56．（2022·高二课时练习）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(33-D ．(考点九 双曲线的定点、定值问题57．（2022秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线22:12y C x -=，过定点()1,0A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直线PQ 恒过定点______．58．（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，则直线P A 、PB 的斜率之积等于___．59．（2022春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C(1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．60．（2022·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线2222:1x y C a a -=经过点(，过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，且AP 、BP 的斜率AP k 、BP k 均存在，证明AP BP k k ⋅为定值； (3)已知点(0,1)D ，求ADB ∠最小时k 的值.61．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，且点(在双曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.考点十 双曲线中的向量问题62．（2022春·湖南·高二校联考期中）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅=，则P 的纵坐标为（ ） A．1B ．2CD 63．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.64．（2022春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）中，离心率e =，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线l ：3y x =-与双曲线交于A ，B 两点，且在双曲线存在点P ，使得OA OB OP m +=，求m 的值.65．（2022春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =； (1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．考点十一 双曲线中的综合问题66．【多选】（2022春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C ：2212y x -=，两个焦点记为12,F F ，下列说法正确的是（ ）A ．12F F =B ．渐近线方程为：0x =CD ．点M 在双曲线上且线段1F M 的中点为N ，若ON =1MF =67．【多选】（2022春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．min ||AB =B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 68．（2022春·四川成都·高二树德中学校考期中）设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为a B．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为969．【多选】（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线方程为33y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．直线310x y ++=与双曲线C 有两个交点C ．曲线2e 1x y -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为170．【多选】（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为()()125,0,5,0F F -，且2F 到直线by x a=的距离为4，则以下说法正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为53e =B ．若Q 在双曲线上，且17QF =，则213QF =或1C ．若过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，则AB 的最小值为323D ．若M 在双曲线上，且12MF MF ⊥，则12MF F △的面积为9一、单选题1．（2022春·江苏连云港·高二期末）经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ）A ．22188x y -=B ．22188y x -=C ．2211010y x -=D ．2211010x y -=2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线【过关检测】形状是（ ）A ．若13m <<，则E 表示椭圆B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m >C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =3．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- 则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2+C 1D4．（2022春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P 是双曲线2214y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，则PM PN +的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线C ：221mx y +=的渐近线方程为y =，则m =（ ）A ．2B ．－2C ．D 6．（2022春·安徽合肥·高二校考期末）直线(2)l y k x =-：与双曲线222C x y -=：的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．1k ≤-或1k ≥ B ．11k -≤≤ C．k D ．11k -<<二、多选题7．（2022春·江苏无锡·高二统考期末）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=8．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2三、填空题9．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）直线1y x =+与曲线2||14x x y -=的交点个数是______. 10．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知直线y x =与双曲线 22221(0,0)x y a b ab-=>>无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．四、解答题11．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3π4，l 与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.12．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，左焦点为(2,0)F -经过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 在y 轴上截距为2，求||AB ；(3)若,A B 的中点横坐标为1，求直线l 的方程．13．（2022秋·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，焦点坐标为(0,. (1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.14．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ， (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(),1n a =，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．△过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记PQ AB λ=，试确定λ的取值范围； △在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．。
高二数学直线与双曲线(绝对精品,有答案超好的讲义,自己整理原创)
双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
08 高二数学重难点知识汇总 双曲线
高二数学重难点知识汇总第八讲 双曲线一．重难点讲解知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意（1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
（4）如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
（5）若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
（6）设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a b y a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a bx a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互 换就能得到焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
2024学年高二数学重难点和易错点专项(双曲线的简单几何性质)练习(附答案)
2024学年高二数学重难点和易错点专项（双曲线的简单几何性质）练习重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A．cm B ．24cm C ．32cmD ．cm5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等6．等轴双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为 .7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b -=的实轴长为 ．重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y =C ．y x =±D ．4y x =±12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．14．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为 .重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A ．2B ．1CD20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为y x =，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14-B ．1C ．12D ．12-21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ．23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 .25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π631．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y =32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±= D ．540x y ±=33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．32D38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b -=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．340．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为3241．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为 ．42．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为 ．重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．C ．)2D ．)+∞45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（ ）AB C ．2 D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是 .47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．(C ．D ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐ꞏ金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线P A ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为 ．50．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为 ．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （ ）A ．8B ．4C ．2D ．153．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离2，则λ的值为 ．55．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H ，若双曲线的离心率e =存在实数m 满足1OH m OF =，则m = .56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,157．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．23重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上) A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离59．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．2)a 万元B ．5a 万元C ．1)a 万元D ．3)a +万元60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是 ．（结果精确到0.1m ）61．如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则mn= .62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm ，上口直径为40cm ，底部直径为26cm ，最小直径为24cm ，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．63．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠.若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论正确的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若点T 坐标为()1,0，直线PT 与C 相切，则212PF =64．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5tan12CAB∠=-，AB BD⊥，则双曲线E的离心率为．参考答案重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详细分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可. 【答案详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =， 又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【详细分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==，结合题意，列出方程，即可求解.【答案详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =. 故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【详细分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【答案详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2bMF a=，因为AF a c =+，2MF AF =， 所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =. 故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【详细分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =. 【答案详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b -=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【详细分析】根据双曲线的性质逐一详细分析判断即可. 【答案详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确； 因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误； 因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误； 因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误. 故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为 .【答案】【详细分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【答案详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为 ．【答案】4【详细分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【答案详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =±【答案】C【详细分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【答案详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a -=≠渐近线斜率为k ==则其渐近线方程为：y =． 故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y = C．y =D ．2y x =±【答案】B【详细分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【答案详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =， 当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解， 当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =. 故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【详细分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【答案详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b =，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒. 故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =± B．y = C ．y x =±D．4y x =±【答案】B【详细分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【答案详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以,12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【详细分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论. 【答案详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c ，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c， 所以d 与a 无关，与b 有关. 故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【详细分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【答案详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n =⇒=，进而求出双曲线的离心率.【答案详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e ==重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【详细分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【答案详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【详细分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【答案详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【详细分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程. 【答案详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【详细分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【答案详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A．2 B ．1CD 【答案】B【详细分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值. 【答案详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,2,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =. 法二：由题知24a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14- B．1C ．12 D．1【答案】A【详细分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【答案详解】依题意222222a m ab n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-. 故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．【答案】2211818y x -=【详细分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【答案详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ． 【答案】221912y x -=【详细分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【答案详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C 过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．【答案】221916y x -=【详细分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【答案详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =?，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =， 解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 . 【答案】221182x y -=【详细分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【答案详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x y a b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【详细分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【答案详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【详细分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【答案详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=- 则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -= 【详细分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【答案详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=， 又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=. 28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F，)2F，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程. 【答案】(1)(2)221189y x -= 【详细分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c，求得b =即可．（2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【答案详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =. ∵双曲线C的两个焦点分别为()1F，)2F，∴c =又∵222+=a b c，∴b = 故双曲线C的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【详细分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【答案详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --， 因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ， 设123,,AB BC AD k k k k k k ===， 则00121001,22y y k k k x x ===， 而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为y =. 故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3 C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【详细分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【答案详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++， 因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--， 因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=- 所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3， 故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】B【详细分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【答案详解】c e a ==，222225c a b a a +==，2b a =， 故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【详细分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【答案详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=. 故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【详细分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解. 【答案详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a =．因为2bc y a=，所以bcBF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a =，故b a =C 的渐近线方程为y x =，即0x =， 故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =【详细分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【答案详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①. 由双曲线的定义，得122PF PF a -=②. 由①②得22PF a =.∵22b PF a =，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．【答案】 3y x =±3【详细分析】根据图形则得到tan 30b a== ，再利用离心率公式即可. 【答案详解】双曲线渐近线方程为by x a =±，因为OAB 是等边三角形，则tan 30b a== y =，即3e ===，故答案为：3y x =±重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D 【答案】A【详细分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【答案详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a =-的距离为1MF b ==， 在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==， 在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =， 又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a. 故选：A.。
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高二数学双曲线知识点及例题一 知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
<>=>41离心率：e cae () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x【典型例题】例1. 选择题。
121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9)633393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且 sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。
例4. （1）求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线x y M 22941921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。
例5. 已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
例六：1. 若x k y k 22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（ ） A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或233B. 2C.233D. 33. 圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
[例题答案]例一：解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照 易知：2+m 与m+1应同号即可。
∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<若当时，表示双曲线当时，表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000∴选A300.sin cos ααα是第二象限角，，∴>< ∴<sin cos αα0 原方程化为：x y 221⋅-=sin cos sin cos αααα易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正 ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223222c m n mn )cos =+-⋅π()10022=-+-m n mn mn ∴=mn 36∴=⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆12126012363293sin 、 例二：解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0）依题意：9321811625119116A B A B A B -=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇔=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ∴-=所求双曲线方程为：y x 221691 例三：分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=35转化为b c a -=35，结合∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又∵c ＝5，a ＝3，∴b ＝4∴-=<-顶点的轨迹方程为A x y x 2291613() 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键； （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。
例四：解：（1）由椭圆方程知： a b c ===325，， ()()∴-焦点，，，F F 125050∴-=设双曲线的标准方程为：x a y b 2122121由已知条件得：c ca c ab a b 1111212121155221===+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩ ∴-=所求双曲线的标准方程为：x y 2241 （2）解法一： M 921，在第四象限-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123-==± 将点的横坐标代入M x y x ==-=-92233 ∴双曲线的焦点必在x 轴上∴-=设双曲线方程为：x a y b22221()∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩b a a ba b 239211188222222∴-=所求双曲线标准方程为：x y 221881解法二： 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±23∴-=≠设所求双曲线方程为：x y 22940λλ() 又所求双曲线过点， M 921-⎛⎝ ⎫⎭⎪ ()∴⎛⎝ ⎫⎭⎪--=∴=92914222λλ， ∴-=所求双曲线方程为：x y 221881 例五：解：（1）设AB 的方程为：y －1＝k （x －1）y kx k x y y =+--=⎧⎨⎪⎩⎪142122，消去()()124424602222-+--+-=k x k k x k k()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪∴+=--+=--=x x k k k x x k k k 122212224412222121，即 ∴=k 12()()()又 ∆=----+-444122462222k k k k k 将代入k =>120∆ ∴-+=所求直线的方程为：AB x y 210 （1）另解法：()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪A B x y 、在双曲线上22421-= ∴-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y x y 1212222242114212()()()()<>-<>+--+-=122012121212：x x x x y y y y 又， x x y y 121222+=+= ()()∴-=-241212x x y y当x 1＝x 2时，直线AB 与双曲线没有交点。
∴≠--=∴=x x y y x x k AB 1212121212，那么，∴-+=直线的方程为：AB x y 210 双曲线的一条渐近线为y x =22又，直线与双曲线有两个交点1222<∴ ∴-+=x y AB 210即为的方程（2）假设过N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪的直线l 交双曲线于C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）两点则x y x y 3232424242134214-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()<>-<>+---+=342034343434：x x x x y y y y 依题意，又，x x x x y y 34343421≠+=+= ∴--==y y x x k CD 34341双曲线的一条渐近线为y x =22∴>∴122，直线与双曲线没有公共点l ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪使点，为弦的中点的直线不存在N 112例六： 1. 答案：A 2. 答案：A3. 分析：解：件知：MC MC BC MB MA MBMC AC MC BC MC MC BC AC 12211222121312--=∴=∴-=-∴-=-=-=即动点M 与两定点C 1、C 2的距离的差是2v .. . ... . . 资 料. . 根据双曲线定义，动点M 的轨迹是双曲线左支（点M 与C 2的距离大于与C 1的距离）这里a c b ==∴=1382，，设M （x ，y ）∴轨迹方程为x y x 22810-=<()。