量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
波函数的统计诠释态叠加原理薛定谔方程粒子
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2
p2 2
15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En
(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中
p (r)
1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )
1
(2)3/ 2
(r,
t
)e
i
pr
dxdydz
13
(r, t )
1
(2)3/ 2
16-1-2 波函数及其统计诠释
5. 波函数满足态叠加原理。 ——量子力学理论的一个基本假设
如果波函数 1 (r , t ) , 2 (r , t ), …都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
(r ,t ) c1 1 (r ,t ) c2 2 (r ,t ) ci i (r ,t )
二、在量子力学中波函数的统计意义 1、经典物理学中的波函数 力学： 电磁学：
y( x, t ) A cos(t kx)
E (r , t ) E0 cos(k r t ) B(r , t ) B0 cos(k r t )
在经典物理学中，从波动现象中得到波函数， 波函数表达出某一个具体的物理量随时间的变化 规律，以及该物理量随空间位置的变化规律。 波函数是具有物理意义的。
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 出现在 dV 内概率：
dW Ψ (r , t ) dV
2
dV=dx dy dz
( x, y, z, t ) dxdydz 或 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
2
则在t 时刻、在空间（x,y,z）附近的单位体积内粒子 出现的概率，即概率密度，为
( x , y , z , t ) ( x, y , z , t )
2
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
1882～1970
他的相关作品: 《晶体点阵动力学》（1915年） 《爱因斯坦相对论》（1920年） 《固态原子理论》（1923年） 《原子动力学问题》（1926年） 《原子物理学》（1935年） 《晶格动力学》（1954年） 《物理学实验与理论》（1943年） 《我们一代的物理学》（1956年） 《物理学与政治学》（1962年）
量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理引言这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性2.1、波函数的统计诠释2.1.1、如何描述粒子的波动性自由粒子：自由粒子的波，其频率和波矢都不变，即为平面波，x。
Ψ=Aπ−vtcos2λ如果波沿单位矢量n的方向传播，则:第二章波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性。
改为复数形式为，Ψ=，或者Ae⋅−ωi k r tΨ=()i(p⋅r−Et)，Ae这种波称为德布罗意波。
其中，E=hν=ω，hp n k==。
λ场中的粒子：如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。
用一个函数表示来描写这个波，Ψ=Ψ。
(r;t)那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？2.1.2、实物粒子波动性的两种解释(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。
波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。
夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波类似与空气振动出现的纵波。
然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。
夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。
•电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。
•电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
2.1.3、概率波1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==v v h3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()i p r Et Aeψ⋅-=v vh5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψv 的统计解释2(,)r t d t r ψτv v 表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理： 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂h vh 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J ti J mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψv v h 注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
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则是以动量为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
: t 时刻，粒子处于处的概率; : t 时刻，粒子具有动量的概率。 刻画粒子在坐标空间中的分布概率； 刻画粒子在动量空间中的分布概率；
态函数。而所描写的状态为量子态。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
量子态：微观粒子的运动状态（物理状态） 。各种力学量 的值是不确定的，但是他们的可能值及其分布几率是确定 的。对这种态的描述是统计性的
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
式中，
， 为归一化因子。
将
乘以(6)式两边，并对
全空间积分，得：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.，
比较： 上两式互为傅立叶变换式， 种不同的描述方式。 ， 是波函数的两
是以坐标为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也 不是经典的波。 • 电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确 切的轨道概念。 • 电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
描述微观粒子状态的波函数为 Φ (r , t ) ，其强度为，
Φ = Φ *Φ 。
2
根据波函数的统计诠释，在 t 时刻、 r 点附近单位体积
中找到粒子的概率为， ， 其中 是概率密度， C 是比例常数。
这样， t 时刻、 附近 dτ 体积元中找到粒子的概率为，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
为归一化波函数， 而
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
相位不定性 如： ， 实数， ，
即波函数在归一化后仍然有一个相位因子 eiδ 的不确定性。 讨论： （1）波函数 Φ 一般为复数，不表示真实的物理量，只 有其模平方 | Φ |2 才有物理意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
。 改为复数形式为，
Ψ = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
，或者 Ψ = Ae
i ( p⋅r − Et )
，
这种波称为德布罗意波。其中，
= E h= ν ω ， h = p = n k 。 λ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
（1）可积性： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ =有限值。
τ0
（2）归一化(如平方可积)： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ = 1。 ∞ 2 Ψ ( r , t) 。 | Ψ ( r , t ) | （3）单值性： 具有单值性。注意:不是 （4）连续性： Ψ (r , t ) 及其各阶导数连续。
2.2.2、 态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵循叠加原理，两个可能的 波动过程 φ1 , φ2 的线形迭加的结果 aφ1 + bφ2 也是一个可能 的波动过程。 量子力学中，如果 Ψ1 , Ψ 2 是体系的可能状态，那么它们 的线性迭加， Ψ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ，( c1 , c2 为复数)，也是这个 体系的可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
场中的粒子： 如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能 和动量不是常量。用一个函数表示来描写这个波， Ψ = Ψ (r ; t ) 。 那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关 系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.2、态叠加原理 量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学 中用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同，这 种差别来源于微观粒子的波粒二象性。波函数的统计诠释 是波粒二象性的一个表现。 微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的 一个基本原理——态叠加原理表现出来。
2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
2.2.3、 动量的几率分布 具有确定动量 的粒子的运动状态用波函数表示为
由态叠加原理，粒子的状态 Ψ 可以表示为 值的平面波的线性叠加：
取多种可能
由于
可以连续变化，求和改为积分：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
（3）归一化条件并不是唯一的，对于在全空间中对波函
对于有些波函数是没有意义的。 数模平方积分为 1 的条件， 比如自由粒子波函数， ， 就不满足这个条件。
至于这种波函数如何归一化的问题，后面再讨论。 （4）归一化的波函数可以含有任意相因子。
2.1.3、 概率波 1926 年， 玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释， 即： 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该 点找到粒子的概率成正比。这样，描述粒子的波乃是概率 波。 量子力学的基本假定之一。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
因此，可以看到，叠加是指对态（ 概率（ ）的叠加。
）的叠加，而不是对
态叠加原理还有如下含义：当粒子处于态 Ψ1 和 Ψ 2 的叠加 态 Ψ 时，粒子既处于态 Ψ1（几率为 率为 ） 。 ）又处于态 Ψ 2（几
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
态迭加原理的一般表达式，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
此时，粒子出现的几率为，
如为双缝衍射，则， 第一项：粒子穿过狭缝 1 出现在 P 点的几率； 第二项：粒子穿过狭缝 2 出现在 P 点的几率； 第三、四项： 的干涉相。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
第二章 波函数和薛定谔方程
第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
引言 这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒 二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波 函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
（2）由于粒子在空间出现的几率为 1，所以各点出现 的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定 于强度的绝对大小，即使将波函数乘上常数后所描述的状 态不变。
Ψ = C Φ ， 和 描述的是同一量子状态。t 时刻，r1 , r2
附近单位体积内找到粒子的几率之比为， w(r1 , t ) | C Φ (r1 , t ) |2 | Ψ (r1 , t ) |2 | Φ (r1 , t ) |2 = = ， = w(r2 , t ) | C Φ (r2 , t ) |2 | Ψ (r2 , t ) |2 | Φ (r2 , t ) |2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 自由粒子： 自由粒子的波， 其频率和波矢都不变，即为平面波，
x = Ψ A cos 2π − vt 。 λ
如果波沿单位矢量 n 的方向传播，则:
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点 的相对强度。 这样如果令， 改变，归一化条件为, 。 波函数 Ψ 称为归一化波函数，常数 C 称为归一化因子。 这样 和 描写的是粒子的同一个状态，只是 是没有归一化的波函数。 ，波函数描写的状态并不
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波 类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通 过小孔， 但只要时间足够长， 底片上逐渐呈现出衍射花纹， 这说明单个电子就具有波动性。 夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
= Ψ
∑c Ψ
n n
n
， c1 , c2 ……为复数。 中，相应
当系统处于态 Ψ 时，体系部分地处在 的概率分别为 叠加系数的意义： 。
：表示了量子态在所有可能的态中所占的比例。 因此， 具有几率的意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 对叠加原理的认识
对叠加原理的认识 (1) 态叠加是对波函数的叠加，不是对概率的叠加； (2) 态叠加是同一量子体系自身状态的叠加； (3) 叠加系数的模平方 | cn | 具有几率意义。
波函数的归一化 粒子在整个空间中出现的概率为 1，即要求波函数满足如 下条件，
C ∫ | Φ (r , t ) |2 dτ = 1，
∞
这称为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件要求波 函数绝对值平方在全空间可积。 则，比例系数 C 可得， C =
∫
∞
1 。 2 | Φ (r , t ) | dτ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.1、 态函数及量子态