高中数学必修一1.3.2第2课时函数奇偶性的应用课件人教A版

【互动探究】 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是
偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？
解：设 x＞0，则－x＜0， ∴f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)． 又 f(0)＝0， x1－xx＜0， ∴f(x)＝0x＝0， －x1＋xx＞0.
注意根据f(x)是定义在R上的奇函数求得f(0).
解：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. 当 x＞0 时，－x＜0， ∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)． ∴函数 f(x)的解析式为 x1＋xx＞0， f(x)＝0x＝0， x1－xx＜0.
解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.
答案：3
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋ ∞)上是______函数． 解析：借助偶函数的图象． 答案：增
4．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则
f(x)在[－b，－a]上是____函数，且有最小值____． 解析：借助奇函数的图象． 答案：增 －M
解：∵g(x)在[－2,2]上为偶函数，∴g(1－m)<g(m)⇔g(|1－ m|)<g(|m|)．又 g(x)在[0,2]上单调递减， |1－m|≤2， ∴|m|≤2， |1－m|>|m|， ∴m 1 解得－1≤m< . 2
1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在
[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性． (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在 [－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
1．函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝______. 解析：因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x，
由对应项系数相等得，a＝0. 答案：0
利用函数的奇偶性求函数解析式(或函数值)
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1 －x)，求函数f(x)的解析式． 思路点拨：先将x＞0时的解析式转化到x＜0上求解，同时
第一章
集合与函数概念
1.3
函数的基本性质
1.3.2
奇偶性
第2课时 函数奇偶性的应用
1．掌握利用函数的奇偶性求参数值．(重点、难点)
2．掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法．(重点) 3．理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求
最值、解不等式等综合问题．(难点)
1．奇函数y＝f(x)的定义域为[a，a＋4]，则a＝________. 解析：∵a＋(a＋4)＝0，∴a＝－2. 答案：－2 2．若函数f(x)是偶函数且f(2)＝3，则f(－2)＝________.
思路点拨：(1)偶函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，那么a－1
与2a有什么关系？(a－1与2a互为相反数，即(a－1)＋2a＝0)
(2)函数f(x)为偶函数，那么f(－x)与f(x)有什么关系？(f(－x) ＝f(x)，即f(x)－f(－x)＝0)
解析：因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋ 2a＝0， 1 解得 a＝ . 3 1 2 所以 f(x)＝ x ＋(b－1)x＋1＋b. 3
5．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝________. 解析：由f(－x)＝f(x)，可知m＝0. 答案：0
利用函数的奇偶性求参数值
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义 域为[a－1,2a]，则a＋b等于( )1 A. 3 源自 C． 32 B． 3 D．2
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等
式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉 “f”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调 性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数 自身定义域对参数的影响．
2 ．设定义在 [ － 2,2] 上的偶函数 g(x) ，当 x≥0 时， g(x) 单调 递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．
根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区 间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出 f ( x) ． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.
函数的奇偶性与单调性
设定义在 [－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调
递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
fm＋ 思路点拨： → f1－m<fm → 列不等式组 fm－1>0 → 解得m的范围
解： 由 f(m)＋f(m－1)>0， 得 f(m)>－f(m－1)， 即 f(1－m)<f(m)． 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴ f(x)在[－2,2]上为减函数． －2≤m－1≤2， ∴－2≤m≤2， 1－m>m， 1 解得－1≤m< . 2 －1≤m≤3， －2≤m≤2， 即 1 m< ， 2
又因为 f(－x)＝f(x)， 1 2 1 2 所以 x －(b－1)x＋1＋b＝ x ＋(b－1)x＋1＋b. 3 3 由对应项系数相等， 得－(b－1)＝b－1. 所以 b＝1. 4 所以 a＋b＝ .故选 C. 3
答案：C
利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略 (1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定 义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比 较系数可解．