量子力学和经典力学联系的实例分析

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.量子力学与经典力学的联系的实例分析摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.关键词：量子力学；经典力学；过渡从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要.毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立.在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了.尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2].经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学.量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给物理学基本概念带来了根本性的改变.因此,近代物理学的研究应该在经典物理学的基础上有所突破,才会日趋完美.本论文主要对经典力学和量子力学之间的联系进行了分析和讨论.文章通过几个具体的实例包括：(1)谐振子和氢原子的能级在n →∞时量子到经典问题的过渡；(2)薛定谔方程在一定条件下转化为哈密顿方程；(3)经典哈密顿函数H 向量子力学算符ˆH过渡；(4)经典动能和量子力学的表达形式的过渡,讨论量子力学过渡到经典力学处理问题的条件.1. 量子力学与经典力学的关系一直以来,发展很完善的经典力学的研究对象就是宏观物体和宏观现象：诸如牛顿三大定律、拉格朗日方程和哈密顿方程,它们很完美地反映并预测出了宏观物体的运动规律,而量子力学的研究对象是微观粒子和微观现象,诸如原子、电子、介子等.无论是宏观物质还是微观粒子？它们同属于物质,为什么却要用两种不同的理论来研究它们呢？我们知道,在研究物体的运动时,先要建立观测运动的手段,也就是说,严格跟踪它的轨迹.有了明确的观测轨道的手段就意味着有了明确的轨迹.利用相对论的知识,我们知道,在测量时一般用光或电波来追踪物体并测定物体的一些力学量,如：速度、加速度等.这样做的原因是光速不变、光速最大,最重要的是光子的质量相对于宏观粒子来说几乎可以忽略.就像在碰撞中,若被碰撞物体的质量远大于入射粒子的质量,那么入射粒子对靶粒子的状态就几乎没有影响,这样就能达到测量的目的（测量的原则是不影响被测物体的状态）.而当被测物是微观粒子时,情况就不一样了.光子对微观粒子的影响已经不能忽略了.光子也是一种微观粒子,当光触及到微观粒子时,微观粒子的运动状态就发生改变,但如果光不触及微观粒子,就无法知道它的位置,这样永远不能测定微观粒子的运动状态.宏观粒子和微观粒子的区别可以从波粒二象性中得到.任何物质都具有波粒二象性,只是有波动性、粒子性哪种性质比较明显的区别.根据德布罗意波长表达式=PλH ,h 的量级是-3410,宏观粒子因为质量较大,故λ很小,波动性不明显.而微观粒子不一样,质量很小,且通常以高速运动,λ已不能忽略,波动性明显.两种力学理论中都有自己的假设.在经典力学中,牛顿定律F=ma 就是最大的假设,在这个假设的前提下,衍生出一系列的力学量及守恒定律.在量子理论中,有四大假设：1. 粒子的状态可以用波函数描述,若某一波函数x ϕ（）描述一个粒子的坐标状态,则dv ϕϕ*表示在空间体积中找到粒子的概率ϕ本身毫无物理意义,他只有与算符作用或是求几率密度时才能体现出作用.2. 波函数满足态的叠加原理.3. 力学量可以用厄米算符表示,试验中测得的力学量的值可以看作是对应算符的期望值(ˆd F Fϕϕτ*=⎰ ϕ是系统的波函数,τ是波函数里的自变量）.4. 两个力学量可以同时被测量的充要条件是：这两个力学量对应的力学算符可以对易ˆˆˆˆ()FGGF =.波函数及算符的引入使量子理论快速地回到数学上来,并在很大程度上与经典力学规律保持一致,四个假设也使量子理论和实验结果能较好地吻合[3].在经典力学中,当我们找到系统的初始状态时,根据经典力学的规律,可以唯一确定系统的末状态和力学量,而在量子领域,即使我们知道系统处于确定的状态,但其力学量不一定有确定值.如波函数1122n n c +c +......+c φϕϕϕ=,系统此时的状态用φ来描述,但在测定力学量时,结果可能是1a (1a 是波函数对应是本征值,该结果出现的概率是1c ),也可能是2a （2a 是波函数对应是本征值,该结果出现的概率是2c ）,也可能是n a (n a 、n c 的物理意义和上面一样）.故在量子力学中,在非本征态时,测量时,通常无法知道到底会出现哪个结果,但我们能知道各个结果及它们出现的概率.大多数情况下,测定某物理量的值时,会有很多种结果出现,它们彼此分立,即出现量子化现象.事实上,大多数的量都是量子化的.经典力学中很容易确定物体的运动轨迹,即同时确定动量P 和位移x,也能同时确定能量E 和时间t,一切都很完美！但在量子力学中,存在着一个重要且普遍的规律：测不准原理（又称互补原理）,即：对于微观粒子来说,位置和其共轭的动量以及能量和其共轭的时间是不能同时严格测定的,而牛顿力学正是以这两组量可以同时确定为基础建立的.测不准原理是引入微观粒子的波动性的概念的必然结果.该原理又称互补原理是因为：p x h ∆⋅∆≥ t h E ∆⋅∆≥（x ∆是动量改变p ∆粒子发生的位移,t ∆是能量改变E ∆所需的时间）也不是所有的量都无法同时测量,在上面的量子力学假设4 中,我们已经知道了可以多个力学量同时测量的条件.牛顿定律F=ma 是整个经典力学的基石,或者用拉格朗日方程、哈密顿方程也可以更普遍地描述整个宏观体系.在量子力学中,薛定谔方程（ˆi =tψψ∂H ∂h ,ˆH 是哈密顿算符)则能反应出规律.我们都清楚,量子力学是比经典力学更为普遍的理论,经典力学是量子力学是特例,当大量的微观粒子汇聚在一起时,则又回到了宏观情况.所以,量子理论成立的一个很重要的前提就是,能回到经典理论中去.确实在极端条件下,薛定谔方程能回到牛顿方程和哈密顿方程[4].在量子力学中也存在着一些特殊的状态,如：定态当能量波函数x t ϕr （，）可写成-i t/x e E ϕh r （）,（x r 和t 可以分离变量）时,我们称系统处于定态.此时薛定谔方程不含时间,也就是能量的本征方程,根据本征方程的性质可知：力学量的期望值（即本征方程的本征值）不随时间变化,该力学量取各种可能的结果的几率不变.从这种特殊的状态中我们也能找到一点经典情况的影子,它和经典情况已经有一点点相似了.经典力学几乎能很好地解释、预测宏观世界的所有规律,包括宇宙天体的运动.对于量子力学,它在研究中心场、自旋理论、定态微扰论、散射理论、量子跃迁等方面运用较多,主要着重于微观领域,现在一些交叉学科中运用也很多,如生物物理中,研究蛋白质结构；化学物理中,化学反应中化学键的形成等.量子力学已经被广泛应用于各个研究领域.经典力学与量子力学,根本区别在于能否用光子追踪物体并能同时观测到各种物理量（即研究对象的波动的明显性）.量子理论中,因为波函数的叠加性使得测量过程中会出现各种结果,微观粒子的波动性即体现在“波的叠加性”上,物质波描述的是粒子在空间的几率分布.波函数和算符的引入将经典力学与量子力学的联系体现出来了,并使量子论最终回到了经典理论中去.在学习量子理论的过程中,我们发现很多理论是从经典的规律出发推导得到的,很多时候这些推导在量子领域中都是不适用的.但我们认为这只是从经典过渡到量子的一种方法.很多时候,我们只关心结论,只要结论是对的,和实验结果能很好地吻合,至于这个结论是怎么得来的,就不是很重要了.正如在研究微观粒子的运动是,通常会用到“径迹重现”的方法,但微观粒子根本就没有轨迹,同样,有时候借用经典方法,只要能达到想要的结果,方法是否合乎理论也不是那么重要了.2.量子力学与经典力学具体联系的分析和讨论2.1从量子力学与经典力学的研究对象和范围不同研究它们之间的过渡量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的?当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.由于物理学的发展是在实验的基础上发展起来的, 随着实验条件,测量精度的不断提高,物理学理论也要发展.在量子物理中,当主量子数n→∞时,从误差角度考虑问题,量子理论就过渡到经典物理.下面举例说明:(1) 谐振子设谐振子的能量为12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭h 则相邻能级间隔为 则,当n →∞时,0n nE E ∆→. (2) 氢原子则,当 n →∞时,n n0E E ∆→. 由于相邻能级间隔很小,可以忽略,所以当n 很大时的能级可以看作是连续能级,量子化特征消失,由量子理论过渡到经典理论.那么由量子理论过渡到经典理论有没有一个标志了?我们说有,这就是普朗克常数h,如果在研究的过程中h 的影响很小,可以忽略,就可以由量子理论过渡到经典理论,反之,则用量子理论处理问题.下面再举例说明:(3) 薛定谔方程与哈密顿方程的关系设离子在势场()v r r 中运动,含时间的薛定谔方程表示为2i -+v)t 2mψψ∂=∂h h （ (1) 令 i isp r-t =Re =Re ψ⋅r r r h h（E ） (R.S 为常数,S 表示作用量) 21=+t 2mR R S ∂∇∇⋅∇∂（R S 2） (2) 代入上式得2221=-+V-t 2m 2S S m R ⎡⎤∂∇∇⎢⎥∂⎣⎦h （） (3) (3)式在经典极限下,即0→h 与经典力学中的哈密顿方程相等.2++V=0t 2mS S ∂∇∂（） (4) 对于定态 S E t ∂=-∂ 那么 22E V m∇=-（S ） (5) 即不含时间的作用量满足哈密顿方程,接下来我们还可以推导出量子力学中的牛顿方程.由粒子数守恒定律方程： +0tJ ρ∂∇⋅=∂r 可得粒子流速为： j ==m S νρ∇ (6)(6)式代入(4)式得： 21+m +V r =0t 2S ν∂∂r （） (7) (7)式取梯度后将(6)式代入得在流体力学中常用公式 ()d =+dt tννν∂⋅∇∂ 所以得 ()d m =-r =dtV F ν∇r (8) 量子力学中的牛顿方程与经典力学中的牛顿方程在形式上是一致的,但是量子力学由于动量和坐标的不确定关系,牛顿方程中都要取平均值方可计算[6].（4）经典哈密顿函数H 向量子力学算符ˆH过渡 在球坐标系下,直接对经典量进行量子化为算符,在球坐标系下的三维运动粒子的动能表达式为 2222221m r +r +r sin 2T θθϕ=&&&（） （9） 正则动量为 r ==mr r T P ∂∂&& 2==mr T P θθθ∂∂&& 22sin T P mr ϕθϕϕ∂==∂&& （10） 从而得到粒子的哈密顿量()222r 222111=p +p +p +v r 2m r r sin H θϕθ（） （11）在球坐标系中将（9）式直接量子化,根据对易规则,如果仍将相应的算符表示为 p =-i ϕϕ∂∂h p r =-i ϕ⎡⎤⎣⎦h ， （12） 将（12）式代入（10）式可得（5）动能表达形式的过渡在经典力学中,粒子动能一般表示为2211ds ==22dtT M υM （） （13） ds 为粒子空间轨道曲线的线段元,在常用的直角坐标系中,2222ds =dx +dy +dz所以 2221=x +y +z 2T M &&&（） （14） 由正则通量 x ˆp ==mx x T ∂∂&& y p ==my yT ∂∂&& z p ==mz z T ∂∂&& （15） 因而 222x y z 1=p +p +p 2T M（） （16）按正则量子化方法 x ˆp =-i x ∂∂h y ˆp =-i y∂∂h z ˆp =-i z ∂∂h （17） 而动能算符表示为2222222x y z 2221ˆˆˆˆ=(p +p +p )=-++22x T M M y z∂∂∂∂∂∂h （） （18） 由于 x=r sin cos θϕ y=r sin sin θϕ z=r cos θ及逆变换=arctan θ y =arctan x ϕ（） （19） 从ˆT的直角坐标表示式（18）可以导出 2222222222222222222222222222222111ˆ=-++=-r +sin +2x y z 2r r r r sin r sin 111=-r+sin +2M r r r sin r sin 211=-++sin +2r r r r sin r sin T M M M θθθθθϕθθθθθϕθθθθθϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂h h h h （）（）（）（） （20）2.2 从运动学和动力学角度对量子力学和经典力学的理论形式进行比较(1) 运动学的比较运动学的任务是解决系统状态的描述问题,也就是确定运动学变量及其服从的代数关系.人们知道,经典力学的运动学是广义坐标i q 和广义动量j p [7],它们所服从的代数是泊松代数.{}i j ij q p =δ， (21){}{}i j i j q q =p p =0，， (22) 量子力学的运动学变量是广义坐标算符i ˆq和广义坐标算j ˆp 它们所服从的是海森堡代数. {}i j ij ˆˆq q =i δh ， (23){}{}i j i j ˆˆˆˆq,q p p =， (24) 比较（21）（22）式和（23）（24）式易得到 {}1ˆˆ,,X Y X Y i ⎡⎤→⎣⎦h (25)（25）式中的X Y 分别代表任意两个力学量,ˆX和ˆY 代表力学量算符.由上可见,由于运动学代数的不同,使得量子力学的广义坐标和广义动量为算符,而经典力学的广义坐标和广义动量为普通的力学量,而且从运动学角度经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡,这正揭示了量子力学与经典力学之间的本质差别根源于运动学.另外,经典力学的坐标与动量只是普遍空间的位矢,一般表示为i i q e i q =∑r , i i p e ip =∑r i j ij e |e δ<>= (26)（26）式中的i e r 或j e r为普通空间的位矢,且彼此正交归一；而量子力学的运动学变量是算符,必须作用于具体的物理对象方可给出物理学上可观测的结果(平均值).而状态矢量表示量子态的概率幅,它是希尔伯特空间中的矢量,力学量算符也是作用于该空间的算符,态叠加原理使得希尔伯特空间成为线性矢量空间,在该空间中,量子态ψ一般表示为: n n n c ψψ=∑ n m mn |ψψδ<>=n n n |><|=I ψψ∑ (27)（27）式中{}n ψ为希尔伯特空间的基矢,满足正交归一完备要求.实际上正如经典力学可以选择坐标系一样量子力学也可以选择表象.其实,选择坐标系或表象都是理论描述的自由因而带有主观因素.尽管如此人们还是为了简洁,清晰地描述客观物理现象,反应物理规律的深刻本质而选取适当的坐标系或表象,这又表现出了经典力学与量子力学在运动学方面的相似性.（2）量子力学的薛定谔形式与经典力学的哈密顿-雅可比形式的比较[7]设离子在势场v(r)中运动,将波函数的模与相位分开.即令 i s R ψ=h(R 、S 为实数)代入含时间的薛定谔的方程有ˆi t ψψ∂=H ∂h (28) 经运算后可与H-J 形式作比较薛定谔形式为 0s J t∂+∇⋅=∂ (几率守恒) (29) 2221h s 0t 2m 2m R V Rρ∂∇+∇+-=∂（） (30) 22=||R ρψ= (几率密度) (31)2R j S m=∇(几率流密度) (32) 哈密顿-雅可比形式为0J t ρ∂+∇=∂g (质量守恒) (33) 21()0t 2mS S V ∂+∇+=∂ (34) r-r t ρδ=（（））(质量密度) (35)r-r t j V δ=（（））(质量流密度) (36)=P S ∇(粒子动量) (37)（34）和（37）式中的S 表示经典作用量.通过上述比较出,薛定谔形式中的几率ρ当处于同一量子态ψ的量子数目很大时可理解为多粒子体系的空间分布密度,即质量的空间分布,也正是H-J 形式中的质量密度.因此,几率守恒与质量守恒对应.（30）式中的第四项称为量子势,在经典极限0→h 时,该项趋于零,因而与（34）式对应,作为相应的S 与经典作用量对应,而几率密度与粒子动量对应.（3）量子力学的海森堡-狄拉克形式与经典力学泊松-汉密尔顿形式的比较海森堡-狄拉克形式[8]i i i ˆdq 1ˆˆ=dt i PH ⎡⎤⎣⎦h i i i ˆdp 1ˆˆ=dt i PH ⎡⎤⎣⎦h(38) i ˆdH 1ˆˆ==0dt i ⎡⎤⎣⎦hA ，H (39) （38）、（39）式中的 ˆˆˆˆ=q p HH （）为哈密顿算符,ˆA 为任意力学量算符,（38）式为海森堡方程,（39）式为力学量守恒方程.泊松-汉密尔顿形式[]i i dq q dt =H []i i dp p dt=H (40) []d ,0dt A A H == (41)（40）、（41）式中的=q p H H （，）为哈密顿量,（40）哈密顿正则方程,（41）式为力学量A 服从的守恒方程.通过比较可看出,H-D 形式与P-H 形式之间的对应可归结为Poisson 括号向对易子的过渡,如（5）式那样,这种对应成为海森堡建立量子力学矩阵形式的推动力.（4）量子力学的费曼形式与经典力学的拉格朗日形式比较费曼形式作用量[6]：()q p dt S L =⎰， (42) 粒子波的传播子////allpathq t q t =exp[is(q (t );q(t))/]K ∑h （，；，） (43)（43）式中的allpath ∑表示离子波的传播子包括所有轨道的贡献.传播子的演化过程: 22////i q t k(q ,t q,t)i (q q)(t t )t 2m V δδ⎡⎤∂+∇-=--⎢⎥∂⎣⎦h h h （，） (44) 拉格朗日形式 作用量：q p dt S L =⎰（，） (45) 作用量变分：0S δ= (46)（46）式表示离子运动轨道由最小作用量决定.离子轨道演化方程: i id 0dt q q L L ∂∂-=∂∂ (47) 显然,由于上述对应,使费曼通过作用量建立了量子力学的路径积分形式,这种形式具有以下特点：（1）易于从非相对论形式推广到相对量形式,因为作用量具有相对论不变性.因此特别适合于量子场论.（2）易于将含时间和不含时间问题纳入同一理论框架中处理.（3）可以更直观的研究量子力学与经典力学之间的密切联系,使人们对经典力学的概念及规律具有更深刻的理解.3.结论经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果,因此量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系.本文通过几个具体的实例,讨论了量子力学过渡到经典力学处理问题的条件,根据本文的研究,我们可以总结出如下的结论：（1）在量子力学中,对于谐振子和氢原子,它们相邻能级间隔很小.当n 很大即n →∞时,能级可看作是连续能级,此时量子化特征消失,量子理论过渡到经典理论.（2）从量子理论过渡到经典理论的一个标志是普朗克常数h,当普朗克常数h对研究的问题可以忽略时,量子理论就过渡到经典理论.（3）量子力学中动量和坐标满足不确定关系,而经典力学牛顿方程中的动量和坐标在计算中取平均值.（4）通过从运动学和动力学角度对量子力学和经典力学的理论进行了比较分析,得出量子力学不同于经典力学的本质在于运动学.。