量子力学与能带理论

量子力学与能带理论

孟令进

专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117

摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。

一、定态薛定谔方程

1.一维定态薛定谔方程

我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为

),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∂∂-=∂∂ ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∂∂- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。

2.定态薛定谔方程与方势垒

在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E

0)(=x V ，)0(≤x ；0)(V x V =，)0(a x <<；0)(=x V ，)(a x ≥； 且00≥V 。假设质量为m 、能量为E>0的粒子从左方入射，那么在前两个区域的波函数可以用一维定态薛定谔方程解除来，结果如下：

x ik x ik e B e A x 1

1111)(-+=ψ，)0(≤x ； x ik x ik e B e A 2

2222-+=ψ，)0(a x <<； 其中 mE k 21=；

)(202V E m k -=；

二、能带理论

1.能带理论简介

能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子核和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子核固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论。1928年，Bloch 在海森堡的建议下，应用量子力学研究固体中的电子问题，他从电子在周期性离子间的运动图像出发，得到了固体中电子运动的波函数的一般形式，这一理论为现代固体理论奠定了基础。但是这一理论也有局限性，能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。

2.电子共有化

结合原子核知识我们可以知道，原子中的不同能级的电子能量不同，同一能级的电子能量相同。因此，在原子核中，能量为1E 的电子能量较小，因此穿过势垒的概率较小，仍可看作束缚态，因此还可以看作在各自的原子核周围运动。而能量较高的处在3E 能级的电子，能量超过了势垒的高度，可以在晶体中自由运动。而能量居中处在2E 能级的电子，能量接近势垒的高度，则会因为量子隧穿效应而离开自身的原子核，进入到其他原子中，因此这些大量的电子就成为了晶体内部共有的电子，这个现象称为电子的共有化。

多原子晶体的势场

3.能带的形成

设有N个原子构成的的晶体，每个原子的1s能级上存在两个电子，因此N个原子构成的晶体共有2N个处于1s能级的电子，但是由于存在电子共有化的现象，因此，这2N个电子都属于同一个1s能级。但是根据泡利原理我们知道，不能有两个或者两个以上的电子具有完全相同的量子态（n，l，l m，s m），所以为了不违反泡利原理，以前的1s能级将会分裂为N个能级，这N个能级差别非常微小，整个可以看作是一个能带，并且由于差距微小，几乎可以看作能量是连续的，因此能带就形成了。

能带的形成本质上是电子共有化的结果，原子中的电子的能级本是孤立的，而电子共有化导致了能带的产生，使电子的能量可以处在一些被允许的范围之内，这个范围则被称为能带。而且电子不可以出现在不被允许的范围，这些不被允许出现的范围即被称为禁带。

4.能带的分类

根据电子的填充程度可以对能带进行分类。

A满带：填满电子的能带被称为满带，由于满带中的能级全被电子占满，因此当某一能级上的某一个电子移动到另一能级时，必然会带来反方向的转移，因此不会发生净电荷的转移，因此也就不会有电流出现。

B导带：未填满电子的能带被称为导带，由于导带中的能级未被电子占满，因此当某一能级上的某一个电子移动到另一个能级上时，不一定会带来反方向的转移，因此可能会带来净电荷的转移，因此会有电流出现，所以导带是可以导电的。

C空带：没有电子填充的能带称为空带，明显，空带属于导带。

在能带之间没有可能量子态的能量区域称为禁带。明显，禁带是没有任何电子存在的。

D价带：在半导体中，存在价电子，由价电子能级分裂构成的能带称为价带，价带只存在于半导体中，可以导电。

三、量子力学解释能带理论

1.周期场

周期场类似于一维方势垒，不同的是周期场是呈周期性变化的，遵循V

x

V+

=，n=1,2,3...的变化规律。

(nd

x

(

)

)

2.量子力学解释能带理论的三个假设

（1）绝热假设：所有原子实都静止的排列在格点位置上，原子实的位置视为静止。将多粒子多电子问题简化为一种粒子多种电子问题。

（2）平均场近似：忽略了电子之间的碰撞，用平均场代替了电子之间的相互作用。将