量子力学与能带理论

量子力学与能带理论孟令进专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。

一、定态薛定谔方程1.一维定态薛定谔方程我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。

我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-=∂∂ ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂- ，或称为一维定态薛定谔方程。

求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。

2.定态薛定谔方程与方势垒在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E<V ，那么粒子就会被反射回来。

但是在量子力学中这个问题却发生了本质的变化。

即使E<V ，粒子仍然会以一定的概率出现在势垒的另一侧，这种现象称为势垒隧穿效应。

我们设一个一维方形势垒为0)(=x V ，)0(≤x ；0)(V x V =，)0(a x <<；0)(=x V ，)(a x ≥； 且00≥V 。

假设质量为m 、能量为E>0的粒子从左方入射，那么在前两个区域的波函数可以用一维定态薛定谔方程解除来，结果如下：x ik x ik e B e A x 11111)(-+=ψ，)0(≤x ； x ik x ik e B e A 22222-+=ψ，)0(a x <<； 其中 mE k 21=；)(202V E m k -=；二、能带理论1.能带理论简介能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子核和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子核固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论。

1928年，Bloch 在海森堡的建议下，应用量子力学研究固体中的电子问题，他从电子在周期性离子间的运动图像出发，得到了固体中电子运动的波函数的一般形式，这一理论为现代固体理论奠定了基础。

但是这一理论也有局限性，能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。

例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。

2.电子共有化结合原子核知识我们可以知道，原子中的不同能级的电子能量不同，同一能级的电子能量相同。

因此，在原子核中，能量为1E 的电子能量较小，因此穿过势垒的概率较小，仍可看作束缚态，因此还可以看作在各自的原子核周围运动。

而能量较高的处在3E 能级的电子，能量超过了势垒的高度，可以在晶体中自由运动。

而能量居中处在2E 能级的电子，能量接近势垒的高度，则会因为量子隧穿效应而离开自身的原子核，进入到其他原子中，因此这些大量的电子就成为了晶体内部共有的电子，这个现象称为电子的共有化。

多原子晶体的势场3.能带的形成设有N个原子构成的的晶体，每个原子的1s能级上存在两个电子，因此N个原子构成的晶体共有2N个处于1s能级的电子，但是由于存在电子共有化的现象，因此，这2N个电子都属于同一个1s能级。

但是根据泡利原理我们知道，不能有两个或者两个以上的电子具有完全相同的量子态（n，l，l m，s m），所以为了不违反泡利原理，以前的1s能级将会分裂为N个能级，这N个能级差别非常微小，整个可以看作是一个能带，并且由于差距微小，几乎可以看作能量是连续的，因此能带就形成了。

能带的形成本质上是电子共有化的结果，原子中的电子的能级本是孤立的，而电子共有化导致了能带的产生，使电子的能量可以处在一些被允许的范围之内，这个范围则被称为能带。

而且电子不可以出现在不被允许的范围，这些不被允许出现的范围即被称为禁带。

4.能带的分类根据电子的填充程度可以对能带进行分类。

A满带：填满电子的能带被称为满带，由于满带中的能级全被电子占满，因此当某一能级上的某一个电子移动到另一能级时，必然会带来反方向的转移，因此不会发生净电荷的转移，因此也就不会有电流出现。

B导带：未填满电子的能带被称为导带，由于导带中的能级未被电子占满，因此当某一能级上的某一个电子移动到另一个能级上时，不一定会带来反方向的转移，因此可能会带来净电荷的转移，因此会有电流出现，所以导带是可以导电的。

C空带：没有电子填充的能带称为空带，明显，空带属于导带。

在能带之间没有可能量子态的能量区域称为禁带。

明显，禁带是没有任何电子存在的。

D价带：在半导体中，存在价电子，由价电子能级分裂构成的能带称为价带，价带只存在于半导体中，可以导电。

三、量子力学解释能带理论1.周期场周期场类似于一维方势垒，不同的是周期场是呈周期性变化的，遵循VxV+=，n=1,2,3...的变化规律。

(ndx())2.量子力学解释能带理论的三个假设（1）绝热假设：所有原子实都静止的排列在格点位置上，原子实的位置视为静止。

将多粒子多电子问题简化为一种粒子多种电子问题。

（2）平均场近似：忽略了电子之间的碰撞，用平均场代替了电子之间的相互作用。

将多电子问题简化为单电子问题。

（3）周期场近似：固定的离子势场看作周期势场。

最后简化为周期场中的单电子问题。

3.周期场中的定态薛定谔方程解释能带问题（1）例一：设周期方势场中的粒子，[])()(x V b a n x V =++，直接考虑其0E V <的情况。

解：由一、2中定态薛定谔方程与势垒问题中，已经解得x ik x ik Be Ae x 11)(-+=ψ，a x <<0； mEk 21=；x ik x ik De Ce x 22)(-+=ψ，0<<-x b ；)(202E V m k -=； 利用x=0处的连接条件，以及ψ连续的条件，可以得到A 、B 、C 、D 的取值，经过一系列的化简，可以得到如下公式：())(cos sin )sin(2)()cos(2121222121b a K b k a k k k k k b k ch a k +=--； 相当于()1sin )sin(2)()cos(2121222121≤--b k a k k k k k b k ch a k ；这就是能量E 满足的超越方程。

（2）下面分析一下周期场的极限情况，Diarc 梳。

Diarc 梳，令0→b ，∞→0V ；但是保持γ=0bV ，则Diarc 梳的周期势场应该写为∑∞→-∞→+=n n na x x V )()(δγ，令m bV /20 Ω==γ，则公式()1sin )sin(2)()cos(2121222121≤--b k a k k k k k b k ch a k 可以简写为)cos()sin()cos(Ka ka k ka =Ω+，或者写为1)sin()cos(≤Ω+ka k ka 令22/11k k Ω+=Ω，又可以简化为：22/11arctan cos k k ka Ω+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω-，用图解法即可求出ka 所允许的范围。

求得ka 取值之后，能量222)(2ka maE =的允许范围可以求出了，可以画出其能谱的带状结构。

（图可见曾谨言先生的《量子力学（卷一）》3.8节）例二：设周期势场为)()(nd x V x V +=；n=1,2,3...对于一维线性晶体点阵，电子收到周期性势场的微扰作用。

求其能带结构。

解：利用定态薛定谔方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂- ，带入)()(nd x V x V +=，解答方法同例一，计算过程省略，可以得到)cos()sin()cos(111202a k a k a k mabV a k += ，利用同样的思路，该式可以简化为1)cos()sin(11120≤+a k ak a k mabV ，利用程序可以画出E 关于ka 的函数图像，从该图我们可以看出，在a n k π=，n=1,2,3...等处图像发生了断裂，曲线是不连续的，连续的位置其实就是解出来的能量允许存在的状态，在不被允许的状态处，曲线断裂的地方，其实就是禁带。

总结：我们从定态薛定谔方程出发，先解决了量子力学中一类模型简单的一维方势垒问题，我们得到了量子隧穿效应的解释。

然后从晶体的结构我们知道，单个原子实周围的势场，与方势垒相似，并且晶体结构具有周期排列的性质，从这一点，我们可以将大量原子实的周围势场问题简化为周期场问题，只要其满足我们的三个假设，就可以利用定态薛定谔方程解决周期场问题的解，而解中能量E 满足的超越方程，我们只要利用画图的方式，就可以得到能量的图解，能量被允许存在的状态就是能带，不被允许存在的能量状态就成了禁带。

这就是利用量子力学薛定谔方程解释能带理论的基础。

参考文献：1.《量子力学》卷一，曾谨言2.《量子力学》 井孝功。