2020-2021学年人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理-教案(3)

合集下载

2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版

网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；

【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .

探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，

∴OB＝ a，

∴OF＝OB＋BF＝，OA＝OC＝ .

∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，

∴ ＝3，即a＝2.

∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋（ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝＋＝13，即 +
＋（ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.

人教版数学八年级下册17.1.1《勾股定理》教案

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）勾股定理的内容及其证明方法：这是本节课的核心知识点，教师需要引导学生掌握勾股定理的表达形式，并理解不同证明方法背后的数学思想。
-举例：通过面积法、割补法、代数法等不同证明方法，让学生从多角度理解勾股定理，加深记忆。
（2）勾股定理在实际问题中的应用：培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，学生在分享讨论成果时，展现出了对勾股定理不同应用场景的深入思考，这让我感到欣慰。但同时，我也意识到，对于一些理解能力较弱的学生，我们还需要提供更多的辅导和个别指导，确保他们能够跟上课程的进度。
在总结回顾环节，我强调了勾股定理在现实生活中的重要性，希望学生们能够将所学知识运用到实际中。但我也反思到，可能需要设计更多的实际案例，让学生在解决具体问题的过程中，进一步巩固对勾股定理的理解。
（4）勾股数的性质：理解勾股数的性质，并能灵活运用。
-突破方法：通过列举具体的勾股数，让学生观察、分析，总结出勾股数的性质，并加以应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如楼梯的斜边与地面形成的直角三角形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。

八年级数学下册人教版17.1勾股定理优秀教学案例

（二）问题导向
1.引导学生提出问题：在情景创设的基础上，让学生思考如何计算另一条直角边的长度，引导学生提出探究勾股定理的需求。
2.引导学生自主探究：鼓励学生通过实验、观察、讨论等方法，自主探究勾股定理的证明，培养他们的创新思维和问题解决能力。
3.引导学生应用拓展：设计不同难度的实际问题，让学生运用勾股定理进行解决，引导学生将所学知识应用于实际情境中。
二、教学目标
（一）知识与技能1.学生能 Nhomakorabea理解勾股定理的定义，掌握勾股定理的证明方法，并能够灵活运用勾股定理解决实际问题。
2.学生能够通过探究活动，了解勾股定理的发现过程，提高他们的归纳总结能力。
3.学生能够运用勾股定理进行直角三角形的边长计算，提高他们的数学应用能力。
（二）过程与方法
1.学生通过观察、实验、讨论等方法，自主探究勾股定理的证明，培养他们的问题解决能力和创新思维。
（三）小组合作
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们在小组内讨论、分享学习心得，共同完成任务。
2.小组合作探究：鼓励学生互相协助，共同探究勾股定理的证明方法，培养他们的团队合作能力和沟通能力。
3.小组展示成果：各小组代表上台展示本组的探究成果，其他小组成员可进行评价和提问，促进学生之间的互动和交流。
2.探究性：本节课注重学生的探究学习，通过引导学生自主探究勾股定理的证明，培养了学生的创新思维和问题解决能力。学生在探究过程中，通过观察、实验、讨论等方法，自主发现并证明勾股定理，提高了他们的科学探究能力。
3.合作性：本节课通过小组合作学习，培养了学生的团队协作能力和沟通能力。学生在小组内讨论、分享学习心得，共同完成任务。通过合作学习，学生学会了倾听他人意见，学会了与他人合作，提高了他们的团队协作能力。

人教版八年级数学下17.1勾股定理(3)优秀教学案例

3.运用直观教具、几何画板等工具，帮助学生直观地理解勾股定理的应用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生的自信心和自主学习能力，让学生体验到成功的喜悦。
3.通过解决实际问题，培养学生的应用意识，让学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生严谨治学的态度，养成积极主动、认真负责的学习习惯。
人教版八年级数学下17.数学下册第17.1节勾股定理（3），学生在学习了勾股定理的基础上，进一步探究勾股定理的应用。通过前面的学习，学生已经掌握了勾股定理的表述和证明，但对勾股定理的理解还停留在表面，对勾股定理在实际问题中的应用还不够熟练。因此，本节课的教学目标是让学生深入理解勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体课件展示房屋装修、篮球架安装等实际生活中的例子，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.提出问题：“在这些实际问题中，我们如何运用数学知识来解决呢？”引导学生思考，为新课的引入做好铺垫。
3.教师总结：通过实际例子，我们可以发现一个规律——直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们今天要学习的勾股定理。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生通过自主学习，发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
2.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享彼此的想法和成果，促进学生之间的思维碰撞。
3.教师引导：在学生探究过程中，教师要善于引导学生，给予必要的提示和帮助，引导学生正确思考。
（三）小组合作
1.小组讨论：让学生在小组内进行讨论交流，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和进步，给予鼓励和指导。

(完整版)八年级下册数学17.1第3课时利用勾股定理作图或计算》教学设计

第十七章勾股定理17。

1 勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算学习目标：1。

会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题; 2.灵活运用勾股定理进行计算,并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 重点:会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题。

难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题。

一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长。

一、要点探究探究点1：勾股定理与数轴想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2 呢？(提示:可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点。

)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗，即是直角边的长都为正整数?3.13（1)在数轴上找到点A,使OA=______；课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-12）（2)作直线l____OA,在l上取一点B,使AB=_____;(3）以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点。

要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法：(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边。

(2）以原点为圆心,以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点,在原点左边的点表示是负无理数,在原点右边的点表示是正无理数。

类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段，形成如图所示的数学海螺.典例精析例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长。

针对训练1。

如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2。

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上,若以点A为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（)A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长典例精析例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片13-17）第1题图第2题方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时,通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中,小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上,求AB边上的高.方法总结：此类网格中求格点三角形的高的题,常用方法是利用网格求面积,再用面积法求高。

人教版初中数学八年级下册第十七章：勾股定理(全章教案)

第十七章勾股定理教材简析本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．教学指导【本章重点】勾股定理，勾股定理的逆定理．【本章难点】勾股定理的证明，勾股定理的应用．【本章思想方法】1．体会转化思想，如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形求解．2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．课时计划17.1勾股定理3课时17.2勾股定理的逆定理1课时17.1勾股定理第1课时勾股定理及其证明教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解勾股定理的发现过程．2．掌握勾股定理的内容．3．会用面积法证明勾股定理．【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的探究及证明．【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积．解：A 的面积＝4；B 的面积＝9；C 的面积＝52－4×12×(2×3)＝13；所以A ＋B ＝C .A ′＝9；B ′＝25；C ′＝82－4×12×(5×3)＝34；所以A ′＋B ′＝C ′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．解：朱实＝12ab ；黄实＝(a －b )2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a －b )2＋12ab ×4＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab ＝a 2＋b 2.又正方形的面积＝c 2，所以a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a 2＋b 2＝c 2.图1图2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．【例2】已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 为两直角边，c 为斜边． (1)若a ＝3，b ＝4，则c 2＝____，c ＝____；(2)若a＝6，b＝8，则c2＝____，c＝____；(3)若c＝41，a＝9，则b＝____；(4)若c＝17，b＝8，则a＝____.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．【分析】(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，则c＝5.(2) c2＝a2＋b2＝62＋82＝100，则c＝10.(3) 因为c2＝a2＋b2，所以b＝c2－a2＝412－92＝40.(4)因为c2＝a2＋b2，所以a＝c2－b2＝172－82＝15.【答案】(1)255(2)10010(3)40(4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.a2＋b2＝c2的常用变形b＝c2－a2，a＝c2－b2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6_cm，面积为48_cm2.3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝1，b＝2，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝12＋22＝5.∵c>0，∴c＝ 5.(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得，BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1 图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC 外的情形．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用教学目标一、基本目标【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的简单应用．【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，AB＝10，则AC＝8.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．【解答】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【例2】如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC 的长．在Rt △ABC 中利用勾股定理即可求得BC .【解答】由勾股定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2，即5002＝BC 2＋4002，所以BC ＝300 m. 故敌方汽车10 s 行驶了300 m ，所以它1 h 行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则它的面积为( D ) A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2D ．60 cm 22．直角三角形两直角边长分别为5 cm 、12 cm ，则斜边上的高为6013cm.3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2＝5202－2002＝480(m)．即该河流的宽度为480 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm ，底面是正方形，边长为2 cm ，现有绳子从D 出发，沿长方体表面到达B ′点，问绳子最短是多少厘米？图1 图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图2，由题易知，DD′＝3 cm，B′D′＝2×2＝4(cm)．在Rt△DD′B′中，由勾股定理，得B′D2＝DD′2＋B′D′2＝32＋42＝25；如图3，由题易知，B′C′＝2 cm，C′D＝2＋3＝5 (cm)．在Rt△DC′B′中，由勾股定理，得B′D2＝B′C′2＋C′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用．二、重难点目标【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．【教学难点】会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A．5＋1B．－5＋1C．5－1D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．活动2巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB ⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝ 2 ；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；….依此继续，得OP2018＝2019，OP n＝n＋1(n为自然数，且n＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22，10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1.(2)直角三角形的三边分别为2，22，10，如图2.(3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！17.2勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．二、重难点目标【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，∴AC2＋AB2＝BC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2(c为最长边)．【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD＝BE.∵BC＝BC，∴△CBD≌△BCE(HL)，∴∠DBC＝∠ECB，∴△ABC为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．【解答】根据题意，得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30海里．∵242＋182＝302，∴PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，∴∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．活动2巩固练习(学生独学)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A．5,6,7B．10,8,4C．7,25,24D．9,17,152．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，且c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数．m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ 5 cm，CD＝5 cm，BC＝4 cm，求四边形ABCD的面积．解：如图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝ 5 cm，∴根据勾股定理，得BD＝3 cm.又∵CD＝5 cm，BC＝4 cm，∴CD2＝BC2＋BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD＋12BC·BD＝12×2×5＋12×4×3＝()5＋6cm2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝14CB ，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．【互动探索】观察图形，猜测AF ⊥EF .证明△AEF 为直角三角形可得AF ⊥EF .【解答】AF ⊥EF .理由如下：设正方形的边长为4a .∵F 是CD 的中点，CE ＝14CB ， ∴EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a .在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2＝16a 2＋9a 2＝25a 2.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CE 2＋CF 2＝a 2＋4a 2＝5a 2.在Rt △ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝16a 2＋4a 2＝20a 2.∴AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．练习设计请完成本课时对应练习！。

人教版八年级数学下册17.1《勾股定理》教学设计

3.遇到问题及时请教同学或老师，解决问题，提高自身能力。
4.作业完成后，进行自我检查，确保答案正确。
2.勾股数的判断和应用，使学生能够灵活运用勾股数解决相关问题。
3.学生在解决实际问题时，能够将勾股定理与其他数学知识相结合，形成综合解决问题的能力。
教学设想：
1.创设情境，引入新课：通过讲述古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家发现勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，为新课的学习营造良好的氛围。
2.自主探究，合作交流：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现勾股定理。在此基础上，组织学生进行小组讨论，分享各自的发现和证明方法，培养学生的合作意识和交流能力。
2.提问引导：请学生们思考直角三角形的特点，回顾已学的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.勾股定理的概念及表述：
"勾股定理是关于直角三角形的一个基本定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。具体来说，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。"
2.勾股定理的证明：
a.利用具体的直角三角形进行演示，引导学生观察、思考、发现勾股定理。
8.融入数学文化，培养人文素养：在教学过程中，适时融入数学历史文化，让学生了解勾股定理在人类文明发展中的地位和作用，培养他们的人文素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.情境引入：通过古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家发现勾股定理的故事，引发学生对勾股定理的好奇心，激发学习兴趣。
"同学们，你们听说过古希腊数学家毕达哥拉斯吗？今天我们要学习的勾股定理，就是他在一次偶然的机会中发现的。让我们一起走进这个故事，探寻勾股定理的奥秘吧！"
"有兴趣的同学可以研究一下勾股数在三角形中的应用，以及它与三角形类型之间的关系，这将有助于你们更深入地理解勾股定理。"

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

17.1勾股定理（1）
一、教学目标
1、知识与技能
掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。

2、过程与方法
通过“观察—猜想—归纳—验证”过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。

3、情感态度、价值观
通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。

二、教学重点：
（1）探索和验证勾股定理.；
（2）通过数学活动体验获取数学知识的感受。

三、教学难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理。

四、课型：新授课
五、课时：1课时
六、教学方法：讲授法，微课
七、教学用具：视屏播放器
八、教学过程设计
一、创设情境，引入课题
除地球外，别的星球上有没有生命呢？
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.
那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？
下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。

二、探索研讨
1、探索勾股定理
问题：相传2500年前，古希腊数学家毕达
哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形
三边之间的某种数值关系
（1）我们也来观察一下你有什么发现？
（2）是不是所有的等腰直角三形三边都有这样的关系呢？请同学们打开探究材料，观察图一、图二你得出什么结论？
（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点
师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。

类比上述方法运用探究材料在图三、图四的网格上探索两条
直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。

若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，
那么正方形A 、B 、C 的面积为多少？你能从中发现什么结论呢？
师生互动：教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学
生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。

1、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上
结论呢？
命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，
斜边为c ，那么222c b a =+
师生互动：教师提问，学生概括回答，教师板写结论。

2、证明勾股定理
( a+b)2=c2+4**ab
化简得： c 2 =a 2+ b 2．
看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是
一个小正方形（黄色）．
c 2 = b 2 -2ab+ a 2+2ab
化简得： c 2 =a 2+ b 2．
请同学们拿出探究材料中的四个全等的直角三角形图五，以小组为单位，类比以上方法用另一种拼图的方法验证这个命题。

师生互动：教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。

三、应用
练习1、如图，在在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

① 若a=12,b=5,则c 等于多少？
c b a (b -a )2中黄实
朱实
22
4()42S S S ab c b a =+=-+⋅大正方形小正方形直角三角形
②若a=6,c=10,则b等于多少？
③若b=7，c=8则a等于多少
师生互动：学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。

练习2、去年10月份的一次强风把小明家门前的一棵8米高的大树从3米处折
学生解答结果，师生共同评价。

练习：已知S1=1，S2=3，S3=2，
四、课堂小结
请同学畅所欲言谈谈本节课的收获
师生互动：教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。

五、布置作业
课本P28，习题17.1第1、2题。