数学分析2课件：12-1 级数的收敛性
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
12-1级数的收敛性
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性(一) 教学目的：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 (二) 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． 基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系 (三) 教学建议：1）要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性．2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．——————————————————————1 数项级数的概念、记号：将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即 ++++n u u u 21 或∑∞=1n nu称为数值级数，简称级数。
其中第n 项 n u 称为通项。
级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S +++= 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n n =∞→lim 存在，称级数∑∞=1n nu收敛，S 称为级数的和；余和：称 ∑∞==-=nk kn n uS S r 为级数∑∞=1n nu的余和。
若部分和数列}{n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
例1 讨论几何级数0,11≠∑∞=-a arn n 的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前n 项和的计算公式，1≠r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S ---=--=+++=-11111） 当 1||<r 时，r a S n n -=∞→1lim ，几何级数收敛，其和为 ra -1； 2） 当 1||>r 时，∞=∞→n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1||=r 时，显然 }{n S 发散； 结论：几何级数0,11≠∑∞=-a ar n n ，当 1||<r 时，收敛，其和为ra-1； 当 1||≥r 时，几何级数发散，和不存在例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解 利用111)1(1+-=+n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数∑∞=12n nn的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =⇒n S 211432221 232221++-++++n n n n , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n nS S S =12211211211→--⎪⎭⎫⎝⎛-=+n nn , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性.解 52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数∑∞=1n nu收敛 ⇔N p N n N ∈∀>∀∃>∀,,,0ε 有ε<-+||n p n S S根据定理1，取 1=p ，有 ε<=-+n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数∑∞=1n nu收敛的必要条件为 0lim =∞→n n u本推论可以方便的用来判断级数发散。
数学分析12-1
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
级数的收敛性讲解
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
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(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
高中数学(人教版)级数的收敛性第一课时课件
使函数 { fn } 列 的收敛域.
{ f n }收敛的全体收敛点集合,
称为
§1 级数的收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列, 证明它的收 (1, 1] , 且有极限函数 敛域是 0, | x | 1,
y f ( x) y fn ( x)
N 的所有曲线 号大于
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
a
y f ( x)
与y f ( x ) 所夹的带
O
b
图 13-1
x
状区域之内.
§1 级数的收敛性
从几何意义 函数列 { x } 在区间(0, 1) 上不一致收敛 y 上看 ( 1), 1 就是存在某个预预先给定的 总存在某条 无论 N 多么大 , 曲线 x y x n (n N ), x y y 不能全部落在由 与 x 夹成的带状区域内. O 1 x n { x } 只限于在区间 [0, b] 若函数列 (b 1) 上,则容易看到,n ln (其中 0 1), 只要 ln b n y 和 y 曲 y x 就全部落在 所夹成的带状 n 所以 x 区域内， 在 0, b 上是一致收 线 敛的.
xD
当n N 时,有 sup | f n ( x ) f ( x ) | .
>0, 存在正整数N, 对任给
使得
(7)
因为对一切 x D, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | sup | f n ( x ) f ( x ) | .
数学分析级数收敛最全汇总
数学分析级数收敛最全汇总什么是级数级数是由一连串数相加所得到的和，通常写成这种形式：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$其中 $a_n$ 为数列的第 $n$ 项。
收敛和发散对于一个级数 $\sum a_n$，如果当 $n$ 趋于无穷大时其部分和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 有极限，那么称级数 $\suma_n$ 收敛，同时称其极限为该级数的和，即：收敛，同时称其极限为该级数的和，即：$$\lim_{n \to \infty} s_n = s$$如果极限不存在，或者为 $\pm \infty$，则称级数 $\suma_n$ 发散。
发散。
收敛的判别法对于一个级数 $\sum a_n$，为了判断其是否收敛，通常使用下面这些判别法：- 正项级数判别法- 比值法- 根值法- 级数收敛的必要条件详情可参考资料。
发散的情况当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散时，可能会出现以下几种情况：- 无穷递增；- 无穷递减；- 振荡。
常见级数示例- 调和级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 正项级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}, p>0$$ - 幂级数$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$其中 $a_n$ 为系数，$x$ 为变量。
- 和式$$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$其中 $q \neq 1$。
总结本文介绍了级数的定义、收敛和发散等概念，以及常见的判别法和例子。
希望对读者有所帮助。
§12.1级数的收敛性(共35张PPT)
2. 级数(jí shù)的收敛与发散:
当n无限增大时,如果级数 un 的部分和数
n1
列 sn 有极限
s,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s叫做级数 un 的和.并写
n1
n1
成s u1 u2 u3
如果sn没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
第五页，共三十五页。
n 2,3,
第十五页，共三十五页。
于是(yúshì)有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1(1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在(cúnzài)极限（收敛）．
结论(jiélùn)：雪花的周长是无界的，而面积有界．
第十六页，共三十五页。
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
第六页，共三十五页。
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(
lim
n
rn
0)
无穷级数(jí shù)收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到
第 n 次分叉：
P 周长(zhōu 为 chánɡ) n
( 4 )n1 3
P1
面积(miàn jī)为
级数的收敛性PPT课件
3
.
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
n(an an1)S,
n1
k(ak ak1)
k1
n1
( a 1 a 0 ) 2 ( a 2 a 1 ) n ( a n a n 1 ) ak nan
n1
n
k0
aknna k(akak1)
k0
k1
n 1
n
即 ln i k m 0a kln i n m n aln i k m 1k(a k a k 1 )AS
S n u 1 u 2 u 3 u n
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.ຫໍສະໝຸດ n 1当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n .
8
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2),n 其1和n3为314 n1. 22n
.
26
(3)
Sn
12SnSn1 22322532
n 2
n
1
1 22 3 22 5 32n 2n 1 2 1 22 3 32 5 42 2 n n 1 1
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叫做级
数 un 的和.并写成s u1 u2 u3
n1
如果{sn }没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
即
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
n1
n1
意的常数 c 和 d,有级数 (cun dvn )收敛,且其和为
n1
cs d .
证 lnim(csn d n ) cs d , 性质1成立。
特别: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
必发 散
思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?
性质 2 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
(m 0)
1 1 1
m1 m2
mm
1 1 1 1.
2m 2m
2m 2
故调和级数发散.
例4 判断
2n 的敛散性。
n1 5n 1
解 由于 lim 2n 2 0, 因而级数是发散的. n 5n 1 5
例5
判断级数 sin nx的敛散性。 n1 2n
解 | um1 um2 um p |
证明 设 (u1 un1 ) (un11 un2 ) (un21 un3 )
|
sin( m 2m1
1)
x
sin(
m 2m2
2)
x
sin(
m 2m p
p)
x
|
|
1 2m1
1 2m2
1 2m
p
|
|
1 2m1
1 2m2
1 2m p
|
1 2m1
(1
1 2
1 22
1 2 p1
)
1 2m1
1
1 2p
1 1
2
1 2m1
2(1
1 2p
)
1 2m
0,(m )
故原级数收敛.
例6 证明级数 1 收敛。 n1 n2
第十二章 数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 是什么结果？
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
将每天取下的长度“加”起来：
1 2
1 22
1 23
1 2n
1 2
1 22
1 23
1 2n
——无限个数相加！
直观上感觉结果（和）应该是1。
再如： 1 1 1 1 1 1 如果 （1 1）（ 1 1）（ 1 1） 结果是0。 如果 1（ 1 1（） 1 1（） 1 1 ） 结果是1。
？
看来无限个数相加与有限个数相加不一样！ 有必要研究无限个数相加的含义！
二、级数的概念
定义1(级数) 给定数列 {un } : u1, u2 , u3 ,
u1 u2 u3 un
通项
记着 un u1 u2 u3 un
n1
称为常数项级数或无穷级数，简称级数。
级数的前n项的和称为部分和，记着 n sn u1 u2 un ui
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35(2n 1) (来自n 1)1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
定理1:(Cauchy收敛准则)
un收敛 0,N ,m N ,p 0,有
n1
| um1 um2 um p | .
证
un收敛 {sn }收敛
n1
部分和sn构成一个数列，i称1 为部分和数列。
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,
sn u1 u2 un ,
定义2：( 级数的收敛与发散):
如果级数 un 的部分和数列{sn }有极限s, 即
n1
lim
n
sn
s,
则称无穷级数 un
n1
收敛,极限 s
0,N ,m N ,p 0,有 | sm p sm |
即 | um1 um2 um p | .
推论:(级数收敛的必要条件)
un收敛
n1
lim
n
un
0.
上述推论的逆命题不真.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
请记忆！
解
| um1 um2 umm |
再看一个有趣的例子： 1 2 3 4 5 6
1 (1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
1 1 (1 1) (2 1) (3 1) (4 1) (5
11 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
证
| um1 um2 um p |
(m
1
1)2
(m
1
2)2
(m
1
p)2
1
1
1
m(m 1) (m 1)(m 2)
(m p 1)(m p)
1 1 1 1 1 1
m m1 m1 m2
m p1 m p
1 1 m m
p
1 m
0,
(m )
故级数收敛。
三、基本性质
性质 1 设两个收敛级数s un , vn ,则对任
部分和奇偶子列收敛于不同的数，
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
请记忆!
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比 q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
例 3 判别无穷级数
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
当q 1时, lim qn 0 n
当q 1时, lim qn n
如果 q 1时
lim
n
sn
a 1q
lim
n
sn
收敛 发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明
un收敛 0,N ,m N ,p 0,有
n1
| um1 um2 um p | .
故级数收敛与否,与前面的有限项无关.
类似地可以证明在级数前面加上或改变有 限项不影响级数的敛散性.
性质 3 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.