《数学分析》第十二章数项级数2
第十二章数项级数
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 ,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-数项级数(圣才出品)
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第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
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也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
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（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
数学分析12-2(2)
∴ 0 ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x )dx
1 1
A
从而
∫1
A
f ( x )dx 有界， 即 有界，
∫1
+∞
f ( x)dx 收 ， 敛
综上所述 , 同理可证
∫1 ∫1
+∞
f ( x )dx 与 ∑ f ( n) 同时收敛， f ( x )dx 与 ∑ f ( n) 同时发散。 同时发散。
∃ s , 使 lim s2 n = lim s2 n−1 = s , ∴ lim sn = s . n→ ∞
n→ ∞ n→ ∞
即级数收敛于s. 即级数收敛于
证法二
Q un−1 − un ≥ 0,
Q s2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
n
f ( n − 1),
n = 2, 3, L .
f (n) ≤
故
∫n−1
2 3
n
f ( x )dx ≤ f ( n − 1),
n = 2, 3, L .
f ( 2) ≤ ∫ f ( 3) ≤ ∫ f ( 4) ≤ ∫
4
2 −1
f ( x )dx ≤ f ( 2 − 1), f ( x )dx ≤ f ( 3 − 1),
列 数 s2n是 调 加 , 单 增 的
又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n
≤ u1
n→ ∞
列 数 s2n是 界 , 有 的
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
数学分析数项级数
第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具； 2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的； 3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时§ 1级数的收敛性一.概念：1. 级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第K项）,前T项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为「2. 级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数、厂的敛散性.（这是一个重要例题！）H-0» 1 一胪1解，时，.•. 级数收敛；tS lp 1,一时，/, -■■■.级数发散；弋1时，I ■ —■,丨^ 一■亠.，级数发散；■J -时,■-...-;, 级数发散.w 1综上，几何级数当且仅当「I 一时收敛，且和为■（注意■•从0开to 1-?始）.® 1例2讨论级数％'的敛散性.E如门解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数的敛散性.x_i 2”k1 2 3 起-1 月解以^ ,■■■ ' ' I .= 二T ：,—：・•因此，该级数收敛.y 9« 例4 讨论级数 弋 ° 的敛散性. t?5»-3解 _ ' 一 「-一 > -'. ，_ 一- J ,/ ■ ■,.级数发散.-3 5 53. 级数与数列的关系：对应部分和数列｛ ；｝,收敛=｛ ：｝收敛；对每个数列｛门｝,对应级数匸；，.，—,对该级数,有二二“. 于是，数列｛ 6｝收敛H 级数»- '、；、-三】收敛.»-2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系： 地 u vM-tl对每个级数，定义函数/ ' ；： - ■ l ■■- ■ ■-'匕-：.「，…，易见有 工叭二“妙.即级数可化为无穷积分.J TZ I 1综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用 其中的一个研究另一个. 二.级数收敛的充要条件一一Cauchy 准则：把部分和数列｛二｝收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th （ Cauchy 准则）、一「收敛=■ ■■ ■-■ 和"：；N,= 由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不 会影响级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前：项的级 数表为或\‘"：.其中r .无穷积分可化为级数…十口十2汽，尸2412"相 _系（级数收敛的必要条件）收敛=•「...r 1 1曙1例5证明.级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令丿，-1 ,则当< 1 2时有, ,二 1 / 召 1 11」应用Cauchy准则时，应设法把式| |不失真地放大成只含巴而不含尹JU1的式子，令其小于三，确定巴.» 1例6 判断级数的敛散性.幺卷（验证•・：一'. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）2 1例7 （一一一但级数发散的例）证明调和级数发散.证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）三.收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质 1 ■■；：收敛，二一Const = 21.! ■''.收敛且有' ,•' * b= <工叭性质2 和收敛，=丄| 收敛，且有一'、二'二…性质3若级数二■- ’收敛,则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.§ 2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则：1. 正项级数：■',/;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1设飞''.则级数二、收敛= ■H - - r •且当' 发散时有二一‘，.•….1 •（证）3.正项级数判敛的比较原则：Th 2设二飞和\ 是两个正项级数,且H —先时有，.；、.,则I > V. 收敛，= 收敛；，> V「发散，=二，发散.（ii >是i >的逆否命题）3 1例1 考查级数的敛散性.幺宀沙1沪 1 2解有2 K1-K + l yr例2 设」■ —「..判断级数的敛散性•抵™-i a推论1 （比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且一，则i > 「：「•+：；时,二和工,共敛散；i > —时，工•：收敛，-二，收敛；iii > -时,工,发散,= 丄‘，发散•（证）二.正项级数判敛法：1 .检比法：亦称为D' alembert判别法•用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法•Th 3设二'为正项级数，且“：及 > ：'.'. '厂时i>若•，- 收敛；■以+1-：,-二'发散•证i >不妨设J：时就有.:成立，有依次相乘，，即\ •由一',得二/收敛，=收敛•ii > 可见卜.往后递增,=」..亍「，推论（检比法的极限形式）设. 为正项级数，且.贝U i >孑< 1,=二・\ 收敛；i > i > 1或一？二-：：，=二「•发散.（证）例4判断级数2^ 2_5 +2_5_8 +亠2 5鮎（2 + 辿—1［）丄1 I7? 15 9 …1'5'?-<1+_4^-1））…的敛散性.•,=卫u1和4科4收敛.例5讨论级数»严a > .的敛散性.解因此,当：二〕〔时，匸I -；「时,、-■；工=■-时，级数成为发散2. 检根法（Cauchy判别法）:也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4设二「.：为正项级数,且"：及：:,当匕•几时，i > 若 << ■'1,=收敛；i > 若 <.<,-1,=工叫发散.（证）推论（检根法的极限形式）设/耳为正项级数，且.则1< 1,='■收敛；「-,=发散. （证）⑹ 工以心二充分大时,有J ■.：.例5研究级数的敛散性•21，收敛.3.积分判别法：设在区间［.「.；上函数「：.'且\ .则正项级数二…与积证 对一 •】「，.- 一且■/⑹ i 应 < f(n-V ). n =2,3,■■-乞m ）空f 了（Q 乂 ＜工血=工＜（伺，・ K-2 沪 2H-1例6讨论下列级数的敛散性：一. 直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时乙〉0 ,抑 2 0 ,二一?— ■此+A a 对—.，有 i .：'■. | ■ ■:I-'-...;特别地,有..「时,有■. I ':Th 5,常用下列不等式: 1例1判断级数-一 的敛散性.令屮■+sffi a （3M a +5）乍一时，，（或■ 1）.设数列 有界•证明 刃； < 十8. 设• -.例4 设■,-且数列 -'■：有正下界.证明级数 [•理1.设「’.：；’「 ■- ■,—-…」. 例 5「'.若' ，则二；-'.；又 \「n 2 n—科一n-+co .设二■.,〔..若级数二和二.，收敛，则级数 工q 收敛.设*, ■. ■, ■.证明⑴ 二;；■,〈5,=二、• ；⑵和\?-： 之一或两者均发散时,•'*二仍可能收敛；⑶ 心!<宀，二；1 ■,- Zi\.⑴ 心充分大时，）■.,.解 解例3证证证例6 例7证例2判断级数二，1的敛散性,其中-:. 「时,_/a;- --■-发散.:」：时,有」； 收敛;⑵取「“7 -'.n⑶八十• I.二.利用同阶或等价无穷小判敛例8判断下列级数的敛散性⑴D';⑵y ⑶;⑷；⑸_ .JS-4 ~M-1例9判断下列级数的敛散性原理：常用判定级数收敛的方法证明I. 门或I' '.例10 证明例11证明辄岁+器+…+ l^-j-0 -例12设比\ | 「一；.若收敛,... .M—证对V^>0, 3K t Y k >K,由收敛，有「:：，.匕-| ■ .■< -:.£ --, 即：―工—二;（上十1加軌+■丈％\ +叽+―十肚汁十"第H即-「一' ■''.于是,；:匸时总有匚丄亠、—. 此即i .. .§ 3 一般项级数一.交错级数：交错级数,Leibniz型级数二.绝对收敛级数及其性质：1. 绝对收敛和条件收敛：以Leibniz级数为例，先说明收敛「：绝对收敛. Th 2 （绝对收敛与收敛的关系）二.，「，二收敛•证（用Cauchy准则）.利用级数判敛求极限：<1一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2. 绝对收敛级数可重排性：⑴ 同号项级数：对级数 \人，令” 2 I 0,如£0. H 2 [ 0, >0.则有i > 丄和工\均为正项级数,且有〉.| J和'-f —；ii > 、|一「' ,心=匕.⑵同号项级数的性质：Th 3 i >若丄. ：十'：：,贝U *十⑺，工° fii >若条件收敛,则工飞——,工.证i > 由'. | I 和'-| . , i > 成立.ii > 反设不真,即；.《和—中至少有一个收敛,不妨设[/,：+“.由“=讥-叫，5 =入一“以及二.：+门和二、收敛,—二.：十匸.而7 -r ,= '丄: +,==,与二、条件收敛矛盾.三.级数乘积简介：1. 级数乘积：级数乘积,C auchy积.[1] P20—21.2 .级数乘积的Cauchy定理：四.型如的级数判敛法：Th （Abel判别法）设i >级数二一，收敛，ii > 数列单调有界. 则级数•八「宀收敛.证（用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项）设二",由二收敛,与对V J?）0?3N, N时，对悝已N ,有■..・•.■■- 「.于是当.X时对V有1立扛 “（|如|坨|% | ）＜ 3后.由Cauchy 收敛准则,= 二［收敛.2.Dirichlet 判别法：Th 8（ Dirichlet ）设i ＞级数 '二、的部分和有界，ii ＞数列二］单调趋于零.则级数二―收敛. 证 设厂、则 「.",二对「.，有iU \1：川.不妨设 0 ,= 对L :•.「•.此时就有5＞点£辺（|蘇+訂+2任+』|〕＜6沁.由Cauchy 收敛准则，二，.收敛.取一；、\0 ,二一,Ii",由Dirichlet 判别法，得交错级数 工卜〕'咯 收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法.事实上,由数列 单调有界, — ，［收敛，设、一；1 一「.考虑级数 ^2- - ：-■,1“\\ ,①-㊁单调趋于零，止有界，= 级数 I... - 收敛，又级数收敛,=级数二匕m “收敛.和匸_：r 对：r3 . xl L 2 2丿（菲 + _）工_亦［些一丄）k -sinf n 斗丄）k ,例4设4 \0.证明级数 收敛. 证1 , sinC^ + -^x.「二：|.丄： 时 ，：;::.一产 I, == ' ........... 、' '2 2仙 可见|:：时,级数、.；■：；.的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数\: 收敛.同理可得级数数:| --收敛.例3若J-.；： — '上一■:.交错级数是否必收敛M-1未必.考查交错级数 ,11111 12吩3 W片那这是交错级数，有〔.但该级数发散.因为否则应有级数,在Leibniz 判别法中,条件6单调是不可少的.判断级数 1111-- -------- ~~--- 十 ---- — ------ 1 -- +V2-1 75 + 1 ^3-1 石+1的敛散性.解 从首项开始，顺次把两项括在一起，注意到级数' =,= 所论级数发散.*_W判断级数的敛散性.,= 所论级数绝对收敛,故收敛.（用D-判法亦可）.O 〉0〕的绝对及条件收敛性.「.时为Leibniz 型级数, 时，绝对收敛.条件收敛；由该例可见■ t ■ ——I. — =―+ VII丽-1 丽+1注意到 收敛.而例5 设级数二-■...收敛.证明级数 % 收敛..■- -.由 Abel 或 Dirichlet 判法,.收敛.例6 .工=门,判断级数、'… 从的敛散性.、 =-,现证级数川攵敛：因一让时不1 | siti 7 | '又一 \ J,由Dirichlet 判法,—级数、一 收敛. 故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.卄r . t> r /口 「〃匸人,Isiii wxL sin 1 1 cos 2nx 解 由Dirichlet 判法,得级数收敛但占 |H2n2n仿例6讨论，知本题所论级数条件收敛.例8 设级数、「 J …绝对收敛，、飞收敛.证明级数 二si 收敛.证先证数列收敛.事实上, 工 I J ： 「•： 1 I r 收敛 J ；；.收敛.i-1令二、】：，则数列二.收敛，故有界.设 』丨・•」，于是由Abel 变换, 有冷」”Jt-i■: - 」/ : - f '；1八 、_. .\ . ■:., （或 _ !■: : .1■. ■. ■■.i-li-2i-L数列二.和 V 攵敛,= 数列收敛,三部分和数列匚「收敛.而 工| 二人■-.，：三 工」：-：一收敛.又址■丿1 - cos2>ix2w1 匚曲2竝工例9 设数列：收敛,级数三：二一…收敛M-F\ ...收敛•S科证 注意到:，—、-,,=it-im-；-S. ■■■ - ■- ■■: L- ― r 「收敛JUOJtU证法二 £(-1)叫£2 ,逊％厂…+耳\ 0,(烈例10设一匚\ 证明级数厂」M-1a 、++ ■ • ■ + 口证法一 由g \ :,\〔,此，所论级数是Leibniz 型级数,故收敛• -收敛•因Dirichlet 判法, 工收敛.证明级数f ：、：.由。
一般项级数
u3v3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
对L 角线顺序L
L
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1 L . (15)
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.14（柯西定理）
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若级数un,vn都绝对收敛，则对(13)中 uiv j
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
由此可以立刻推广到收敛级数 un 与有限项和的乘
n1
积,即
m
(a1 a2 L am ) un
akun ,
n1
n1 k 1
那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?
设有收敛级数
un u1 u2 L un L A,
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) L (u2m1 u2m ). 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
u1 u2 L un L
(6)
收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.
定理12.12
绝对收敛的级数是收敛的.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
第十二章 数项级数82页
2n
n12n;
n1
( 1 )n 11 1 1 1( 1 )n 1;
n 1
co n sco 1sco 2 sco n s.
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1xn 1 1 x x2 ( 1 )n 1xn 1 , xR.
n 1
anxna0a 1xa2x2anxn ,| x |1.
1
1 2n1
而 ln i m Snln i m 1 212n111 2
故
1
n1(2n1)(2n1)
12，即该级数收敛.
1
例5. 证明调和级数 n 1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S21
1 1， 2
S 4 S 2 2 1 1 2 1 31 4 1 1 2 1 2 1 2 2 ，
n 1
n 1
且 cun cun.
n1
n1
n
证 u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1
cu n 的部分和为
n 1
n
n
Sn cuk c uk cSn,
k1
k1
故 ln i m Sn ln i m cn Scln i m Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
3. 收敛级数的余项
收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
称为收敛级数的余项，记为
Rn SSn um mn1
显然
lim
n
Rn
0.
二、级数收敛的柯西准则
定理12.1：级数 u n 收敛的充分必要条件是
n1
0 , N 0 , 当 m > N , 对 于 任 意 的 正 整 数 p 都 有
数学分析之数项级数
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
性质4 （级数收敛的必要条件）
当 n无限,它 增的 大u 一 时 n趋般 于 ,即 项 零
级数收敛 ln im un 0.
证 s un 则 u nsn sn 1, n1 ln i u m nln i s m nln i s m n 1 ss0.
当q1时, ln i m qnln i m sn
如果q 1时
收敛 发散
当q1时, snn a 级数发散 当q1时,级a 数 a a a 变 为
ln im sn不存在 级数发散
综上 aqn
当q 1 时,收敛;
n0
当q 1 时,发散.
例2 讨论数项级数
11 1
(* )
1223 n (n 1 )
1 1 1 . m mp m
因此, 对 任 意 0,可 取 N1, 当m>N及任意正
整数 p,由上式可得 u m 1u m 2 u m pm 1,
依 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则 , 知 级 数 n 1 2收敛.
1
注 级数 n 1 n ( n 1 ) 的收敛性已由例2的证明过程所
( c u n d v n ) cu n dv n . 根据级数收敛的柯西准则, 级数 un 的收敛与否与
级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
Chapt 12 数项级数
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行近 似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要 内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.
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且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn
不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推论: 若 un 收敛(发散)
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
2 dx
n dx
1 1 x p x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim
n
un 2 un
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.
1 n1
例如：
n1
n
2
收敛,
1 n1 n 发散.
练习题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
二、用 比较 审 敛 法或 极 限审 敛法 判别 下列 级 数的 收 敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
§2 正项级数
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
2 vn
2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
例 3 判定下列级数的敛散性:
例
级数
Байду номын сангаас
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
uN m r m1uN 1,
而级数 r m1uN1收敛,
m1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,