第十二章数项级数31263

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江苏大数学分析-第十二章数项级数习题课

v n n
同的敛散性.
1n
1n 1
答：不能，例如
与
，前者收敛，后者发散，但却有
n
n n
1n 1

lim
n
n 1.
n
n
1
n
注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不
一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数
， cn n
， an 0 ，
n
an 收敛，
假如还有条件 bn 0 ，则 an 发散，这由比较原则得到.
8．设
un
为正项级数，且 un1 un
1 ，则级数
un 收敛吗？
1
答：不一定，例如
1 满足 un1 n 1 n 1 ，但
1
发散，因此一定要强调
第十二章数项级数习题课
一概念叙述

1． un 收敛于 S 部分和数列Sn 收敛于 S lim Sn S n n1
2． un 收敛的柯西准则 0, N 0, m, n N , 有 um1 um2 un ．
3． un 发散的柯西准则 0 N ， m0 ( N ) ， p0 ，有
2.级数 un ， vn ， un vn 的敛散性有何联系？
答：1）若 un 与 vn 都收敛，则 un vn 收敛，且 un vn un vn ；
2）若 un 与 vn 中有一个收敛有一个发散，则 un vn 发散；
3）若 un 与 vn 都发散，则 un vn 可能收敛可能发散．
例如，

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十二章

第十二章数项级数证明题1．证明下列级数的收敛性,并求其和:(1); ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61(2) ;+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+n n 22312131213121(3);∑++2)1)(n n(n 1(4) ;∑++-+)n 1n 22n ((5).∑-n 212n 2. 证明:若级数发散,则也发散(c ≠0).∑nu∑nCu3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数.a -a )a (a11n n=+∑+4．证明: 若数列{b n }有,则+∞=∞→n n b lim (1)级数发散;)b (bn 1n ∑-+(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b1b 1n 15. 证明级数收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数∑nuN,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6.　设为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有∑∑nnv、u n1n n 1n v v u u ++≤7. 设正项级数收敛,证明级数也收敛;试问反之是∑na∑2na否成立?8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数收敛.∑2n a 9. 设正项级数收敛,证明级数也收敛.∑nu∑+1n n u u 10. 证明下列极限:(1) ;0)(n!n lim 2nn =∞→(2) .1)0(a a )(2n!limn!n >=∞→11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数与同时∑∞=1n na∑∞=0m 2m ma 2收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b nb n+1,证明:1n na a +(1)若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数收敛;∑∞=1n na(2)若n>N 0时有C n ≤0,且,则级数∑=∞→+∞=n1k kn b 1lim发散.∑∞=1n na13. 设级数收敛,证明级数也收敛.∑2na∑>0)(an a nn14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数同时∑na收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) ;∑>+-0)(x ,x 1x n 1)(nnn(2);∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnxα(3) .∑-nncos 1)(2n16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且a n =0,证明级数∞→n lim ∑+++--na a a 1)(n211n 是收敛的.17. 设,证明:若条件收敛,则2u |u |g ,2u |u |p nn n n n n -=+=∑n u 级数与都是发散的.∑np∑nq二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2.设级数与都发散,试问一定发散∑nu∑nv)v (un n∑+吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1);∑+-+n)1)(a n (a 1(2);∑++-+1)n(n 12n 1)(1n (3).∑++++1]1)1)[(n (n 12n 224. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;∑n n2sin2∑+12n n (-1)221-n (3) ; (4) .∑n (-1)n∑+2nn 15. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1) ; (2) ;∑+22a n 1∑nn3πsin 2(3);∑+2n11(4);∑∞=2n n(lnn)1(5);∑⎪⎭⎫⎝⎛-n 1cos 1(6);∑nnn1(7);∑>⎪⎭⎫⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a (8).∑∞=2n lnn(lnn)16. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1); (2) ;∑+1n 12∑+1n n 2(3);∑∞=3n )nlnnln(lnn 1(4).∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)17. 判别下列级数的敛散性:(1) ;∑n n nn!3(2);∑++2n 2n n2(3);∑∞=2n lnn 1(4) ;∑≥-1)(a 1),a (n(5)∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ;(6).∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n!8. 求下列极限(其中P>1):(1) ;⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim (2) .⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) ;∑n!sinnx(2) ;∑+-1n n 1)(n (3);∑+-n1p n n1)((4);∑-n2sin1)(n (5) ;∑+-)n 1n1)((n (6) ;∑++-1n 1)(n l 1)(n n (7) ;∑++-nn )13n 1002n (1)((8);∑nn x(n!(9);∑∞=<<1n )2x (0lnn sinnxπ(10).∑-nn 11)(10. 写出下列级数的乘积:(1);()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1三、考研复习题1. 证明:若正项级数收敛,且数列{u n }单调,则.∑nu0u lim n n =∞→2. 若级数与都收敛,且成立不等式∑na∑nCa n ≤b n ≤C n (n=1,2,…)证明级数也收敛.若级数,都发散,试问∑nb∑na ∑nC一定发散吗?∑nb3. 若,且级数收敛,证明级数也收0k b a limnnn ≠=∞→∑n b ∑n a 敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?∑nb∑na4. (1) 设为正项级数,且<1,能否断定级数收∑n u n1n u u +∑n u 敛?(2) 对于级数有||≥1,能否断定级数不绝∑n u n1n u u +∑n u 对收敛,但可能条件收敛.(3) 设为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使∑nu得0C n 1u limε1nn >=+∞→5. 证明: 若级数收敛,绝对收敛,则级数∑na∑-+)b (bn 1n 也收敛.nnba ∑6. 证明级数是发散的.∑+bn a 17. 讨论级数,(p>0)∑∞=2n pn(lnn)1的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数与收敛,则级数和∑2na∑2nb∑nnba 也收敛,且∑+2n n)b (a()∑∑∑⋅≤+2n2n 2n n b a b a()()()()212n212n212n nb a b a∑∑∑+≤+10. 证明:(1)设为正项级数,若∑na0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数收敛,∑n u (2)若级数发散,且∑n a 1,0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数发散.∑n u。

§123一般项级数数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东

§123一般项级数数学分析课件（华师大四版）高教社ppt华东数学分析第十二章数项级数§12.3一般项级数一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法某点击以上标题可直接前往对应内容§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质交错级数(un0,n1,2,),阿贝尔判别法和狄利克雷判别法若级数的各项符号正负相间,即n1u1u2u3u4(1)un则称为交错级数.定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足:(ii)limun0,n后退前进(1)(i)数列{un}单调递减;则级数(1)收敛.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社目录退出§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为S2m1u1(u2u3)(u2m2u2m1),S2m(u1u2)(u3u4)(u2m1u2m).由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,而数列S2m是递增的.S2m1是递减的，从而数列又由条件(ii)知道0S2m1S2mu2m0(m),从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存在惟一的实数S,使得数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法mlimS2m1limS2mS.m所以数列{Sn}收敛,即级数(1)收敛.推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为Rnun1.对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法111n11(1);23n1(2)1111n11(1);(3)3!5!7!(2n1)!1234n1n234(1).(4) n1010101010数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.某证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.第一步设级数(5)是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.用mv1v2vm表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排,所以每一vk(1km)应等于某一uik(1km).记nma某{i1,i2,im},数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法则对于任何m,都存在n，使mSn.由于limSnS,所以对任何正整数m,都有mS,n即级数(7)收敛,且其和S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S,从而得到S.这就证明了对正项级数定理成立.第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论,可得vn收敛,即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令unununun.(8)pn,qn22当un0时,pnun0,qn0;当un0时,pn0,qnunun0.从而0pnun,0qnun,(9)pnqnun,pnqnun.(10)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知pn,qn都是收敛的正项级数.因此Sunpnqn.对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差qn,vnpn,qn分别是正项级数pn,qn的重排,显然pn其和不变,从而有vpqpqnnnnnS.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法注定理12.13只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后得到的新级数不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的和.更进一步,条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于n11条件收敛,任何事先指定的数.例如级数1nn1设其和为A,即11111111(1)n12345678A.1乘以常数后,有2n1数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法11111An11(1).2n24682将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:1111131A.325742我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习指导书下册).2.级数的乘积由定理12.2知道,若un为收敛级数,a为常数,则aunaun,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质由此可以立刻推广到收敛级数un与有限项和的乘n1阿贝尔判别法和狄利克雷判别法积,即(a1a2am)unakun,n1n1k1m那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质设有收敛级数unu1u2unA,v1v2vnB.(11)(12)vn将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u1vnu2v3u2vnu3v3u3vnunv3 unvn(13)这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序.依次相加后,有u1v1u1v2u2v2u2v1u1v3u2v3u3v3u3v2u3v1(14)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u2v3u3v3unv3u1vnu2vnu3vn unvn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社正方形顺序§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法u1v1u2v1u1v2u2v2u1v3u2v3u3v2u3v3对角线顺序u1v1u1v2u2v1u1v3u2v2u3v1.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社u3v1(15)§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法推论（阿贝尔引理）若(i)1,2,,n是单调数组,记ma某{k};k(ii)对任一正整数k(1kn)有kA,则有vk1nnkk3A.(19)证由(i)知12,23,,n1n都是同号的.于是由分部求和公式及条件(ii)推得k1kkv(12)1(23)2(n1n)n1nnA(12)(23)(n1n)AnA1nAnA(12n)3A.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法现在讨论形如anbna1b1a2b2anbn级数的收敛性的判别法.定理12.15（阿贝尔判别法）(20)若{an}为单调有界数列,且级数bn收敛,则级数(20)收敛.证由于数列{an}单调有界,故存在M0,使anM.数,存在又由于bn收敛,依柯西准则，对任意正正数N,使当n>N时,对任一正整数p,都有npknb数学分析第十二章数项级数高等教育出版社k.§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法(阿贝尔引理条件(ii)).应用(19)式得到npknab这就说明级数(20)收敛.kk3M.定理12.16（狄利克雷判别法）且liman0,又级数bn若数列{an}单调递减,n的部分和数列有界,则级数(20)收敛.证由于bn部分和数列Vnbn有界,故存在正k1n数M,使|Vn|M,因此当n,p为任何正整数时,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法|bn1bn2bnp||VnpVn|2M.又由于数列{an}单调递减,且liman0,对0,n19）式得到N,当nN时，有an.于是根据（|an1bn1anpbnp|2M(|an1|2|anp|)6M.有了阿贝尔判别法就知道:若级数un收敛,则un级数p(p0),n数学分析第十二章数项级数高等教育出版社un都收敛.n1§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利克雷判别法例3若数列{an}具有性质:a1a2an,liman0,n则级数aninn某和ancon某对任何某(0,2)都收敛.解因为n某1某3某2incok某inin某in22k1222111inn某inn某inn某,222数学分析第十二章数项级数高等教育出版社。

数项级数的概念和性质

q 1 时, 等比级数发散 .
2021/4/21
9
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln
2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3
2 g
1
2
1 2
(
1 2)2
(此式计算用到后面的例1)
2 1 2 2 1 2.63 ( s )
g
2021/4/21
5
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2021/4/21
13
么么么么方面
• Sds绝对是假的
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,
它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集.
2021/4/21
4
引例3. 小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s
1 2
g
t 2知

数学分析PPT电子课件教案-第十二章函数项级数

收敛性判定
柯西准则、狄利克雷定理、阿贝尔定理等。
03 函数项级数的应用
在数学中的应用
函数项级数在数学分析中有着广泛的应用，它可以帮助我们研究函数的性质和行为。例如，通过函数项级数，我们可以逼近复杂的函数，从而更容易地研究它们的性质。此外，函数项级数还在解决一些数学问题中发挥了关键作用，例如求解微分方程和积分方程。
函数项级数的性质
连续性
有界性
如果每个$a_n(x)$都是连续的，那么级数的和也是连续的。
如果每个$a_n(x)$都是有界的，那么级数的和也是有界的。
可微性
如果每个$a_n(x)$都是可微的，那么级数的和也是可微的。
函数项级数的收敛性
收敛性定义
如果对于任意给定的$varepsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得当$n geq N$时，对于所有的$x$ 都有$|S_n(x) - S(x)| < varepsilon$，则称级数收敛。
正项级数的比较判别法
比较判别法
如果对于所有的$ngeq 1$，都有 $frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，那么正项级数$sum a_n$收敛。
比较判别法的证明
由于$frac{a_{n+1}}{a_n}leq k<1$，所以当 $ngeq 1$时，有$frac{a_{n+1}}{a_n}-1leq k-1<0$。因此，$frac{a_{n+1}}{a_n}$是单调递减的。又因为$frac{a_{2}}{a_{1}}leq k<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1leq k1<0$。因此，$frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。由于$frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以$frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$是单调递减的。由于 $frac{a_{2}}{a_{1}}<1$，所以 $frac{a_{2}}{a_{1}}-1<0$。因此， $frac{a_{2}}{a_{1}}$也是单调递减的。因此， $sum a_n$是收敛的。

数项级数.ppt

lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
二、基本性质性质 1 如果级数 u 收敛,则 ku

n 1
n
n 1
n
亦收敛.
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s un , v n ,
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
un i i 1

例2
( 1) 判别无穷级数
n 1

n 1
的收敛性.
解 un (1)
n1
sn 1 (1) (1)n1
1 n为奇数 0 n为偶数 lim sn不存在
n
原级数发散 .
例3
判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 每项均大于 2
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散.
2. Cauchy 收敛准则
u n 收敛的充分必要条件是： 0
n 1

N N ，，
使当 n N 时，对p N ，总有
n p k n1
u k u n1 u n2 u n p 。
1 n n n
n 1

§12.1 级数的收敛性数学分析课件(华师大四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件解析

有限个实数 u 1,u 2,…,u n 相加后还是一个实数， “无限个实数相加”会有什么结果呢？到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中, +++++231111,2222n 由于前 n 项相加的和是 112n -，个数相加”的结果应该是1. 相加”的表达式那么如在第二章提可以推测这“无限又如下面由“无限个数后退前进目录退出将每天截下那一部分的长度“加”起来是:中，-+-+-+=+++(11)(11)(11)000,结果肯定是0，1[(1)1][(1)1]1000,+-++-++=++++则结果是1.问题:“无限个数相加”是否存在“和”; “和”等于什么? 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新的理论.+-++-+1(1)1(1)如果将其写作而写作两个结果的不同向我们提出了两个基本如果存在, 由此可见,“无限个数相加”不能定义1称为常数项级数或数项级数(常简称级数),称为数项级数(1)的通项或一般项. ∞=∑1n n u .n u ∑常记为，在不致误解时可简记为数项级数(1)的前n 项之和记为===+++∑121,(2)nn k n k S u u u u 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.给定一个数列{u n }, 将其各项依次用“+”号连接起来的表达式++++12(1)n u u u 数项级数(1)也其中 u n定义2→∞=lim n n S S (即), 则称数项级数(1)收敛, 项级数(1)的和,记作例1 讨论等比级数(也称几何级数)+++++2(3)na aq aq aq 的收敛性(a ≠0).若是发散数列,则称数项级数(1)发散. {}n S 若数项级数(1)的部分和数列 {}n S 收敛于 S S 称为数 ,21 ++++=n u u u S 1.n n S u ∞==∑或解 q ≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为此时级数(3)收敛,其和为 ().1-a q (iii)1,,.n q S na ==当时级数发散1,q 当时=-=20,k S 1-+++=n n aq aq a S .11q q a n--⋅=q q a S q nn n n --⋅=<∞→∞→11lim lim 1)i (时，当.1qa-=,lim 1)ii (∞=>∞→n n S q 时，当.3）发散此时级数（21,0,1,2,,k S a k +==.级数发散+++++2(3)n a aq aq aq <1,(3);q 时级数收敛≥1,q 时综合起来得到:级数(3)发散.例2 讨论数项级数++++⋅⋅+111(4)1223(1)n n 的收敛性.解级数(4)的第n 个部分和为1111223(1)n S n n =+++⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112231n n =-+11.1n→∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭1lim lim 11,1n n n S n 由于因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数列 {}n S 来确定, 数列 {}n S 的另一种表现形式. {}n a , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数项级数就是因而也可把级数(1)作为反之, 任给一个数列定理12.1（级数收敛的柯西准则）∞-==+-+-++-+∑1213211()()().(5)nn n n ua a a a a a a {}n a 这时数列与级数 (5) 具有相同的敛散性, 收敛时,其极限值就是级数(5)的和.{}n a 基于级数与数列的这种关系,可得下面有关级数的定理.++++++<12.(6)m m m p u u u ε且当级数(1)收敛的充要条件是:任给正数 ,εN 总存在正整数，以及对任意使得当N m >p 的正整数都有推论（级数收敛的必要条件）任何正整数N ,总存在正整数 m 0(>N ) 和 p 0，使得++++++≥0000120.(7)m m m p u u u ε由定理12.1立即可得如下推论.若级数(1)收敛,则→∞=lim 0.n n u 注推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于零, 级数一定发散, 收敛. 写出级数(1)发散的充要条件是: 0,ε存在某正数对根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻但一般项趋于零, 则级数未必因此推论用来判断级数发散是很有效.+-++-+1(1)1(1)例3 讨论调和级数+++++111123n的敛散性.解这里一般项 ,10n u n =→因此不能利用推论判断它是发散级数.因为一般项u n =( )n -1不趋于零，所以发散.1-如级数下面利用柯西准则证明它是发散的.为此令 p = m , 则有+++++=+++++122111122m m mu u u m m m≥+++111222m mm 1,2==01,2ε故取对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m就有(7)式成立，因此调和级数发散. 11n n∞=∑例4 判断级数 111nn n nn n n∞+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解因为所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.n n nn n n nn n n n n n n n 111lim 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→nnn n nn 112211lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1=0≠例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑21n 收敛. 证由于++++++12m m m pu u u =++++++222111(1)(2)()m m m p <+++++++-+111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p 1111111121m m m m m p m p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+11m m p<1.m定理12.2当m>N 及任意正整数 p ,由上式可得 121,m m m p u u u mε++++++<<∑21n依级数收敛的柯西准则,知级数收敛.∑∑,n n u v 若级数与都收敛则对任意常数c , d ， +∑()n n cu dv 级数亦收敛，且().nn n n cudv c u d v +=+∑∑∑因此, ,0>ε对任意,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 可取注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.由定理12.3知, ∞=∑1,n n u 若级数收敛其和为S , ++++12(8)Ln n u u 第 n 个余项(简称余项), 时所产生的误差.去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的则级数也收敛，.n n S S R -=且其和的式称为级数∑n u )8(它表示以部分和 S n 代替S 敛散性.在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.∑,.n u S 为收敛级数其和为∑n u 下面证明加证设括号后的级数 -∞+=++∑111()k k n n k u u 收敛, 11,,k k k n n v u u 则-+=++11111().k k nn n k n k k u uu v -∞∞∞+====++=∑∑∑且其和也是.S ,111n u u v ++= 为此，记,2112n n u u v ++=+ ,注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是, 若为收敛级数 ∑n u 的部分和数列, {}n S 时也收敛. 例如 -+-++-+=+++=(11)(11)(11)0000,收敛, 但级数 1111-+-+却是发散的.则级数 {}{}.k k n n v S S ∑的部分和数列是的一个子列由于{}lim .n n n S S S →∞=收敛,且{}kn S 故由子列性质，也收敛，,lim S S kn k =∞→且∑.S v k 收敛，且它的和也等于即级数例6 判别下列级数的敛散性： 111111212131314141-+-+-+-+-+-+解考虑加括号的级数⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭111121213131⎛⎫+-+⎪-+⎝⎭114141其一般项112,111n u n n n =-=--+由定理12.2及例3知，级数发散，从而原级数发散.∑∑∞=∞=-=22112n n n n u ∑∞==112n n*例7 证明级数 1213n n n ∞=-∑收敛，并求其和. 1213n n k k k S =-=∑lim n n S →∞证令，若能求出 , 就能得到所要的结论. 11112121333n n n n k k k k k k S S +==---=-∑∑++=+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑111112121333n k k k k k －1111112121333n n k k k k k k ++==+-=+-∑∑－由于+--1213n n11111221333n k n k n ++=-=+-∑－12111121213333n k n k n -+=-=+⋅-∑－12121,333n n n +-=--所以 132121,2333n n n n S +-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭于是 132121lim 1.2333n n n n n S +→∞-⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这样就证明了级数 1213n n n ∞=-∑收敛, 并且其和为1.复习思考题1,()n n n n u v u v +∑∑∑讨论级数与.之间收敛性的关系.,,2.n n n n u v u v ∑∑∑设级数均收敛问是否一定收敛.,3.n k u v ∑∑若级数加括号后的级数发散级数是否一定发散？ n u ∑。

第12章数项级数学习资料

第12章数项级数
§1 级数的收敛性
定义1 给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n,将各项依
次用“+” 号连接起来的表达式
u 1 u 2 u 3 u n ( 1 )
称为数项级数或无穷级数, 记为 u n , 简记为 un. n1
其中第 n 项u n 叫做级数的通项或一般项.
|u m 1 u m 2 u m p| (m n12 1 1 )2 (m 1 2 )2 (m 1 p )2
1 1 1 m (m 1 ) (m 1 )m ( 2 ) (m p 1 )m ( p )
1 1 1
m mp m
即证。
定理12.2 若级数un,vn 都收敛，则对任意常数c，d
mN以及对任意的正整数 p，都有：
|u m 1 u m 2 u m p|
级数 un 发散的充要条件是：存在正数 0 ,
对任意存在正整数 N，总存在正整数 m0(mN)
和 p 0 有： |u m 0 1 u m 0 2 u m 0 p |0
例3 讨论调和级数 1111 的敛散性。
23 n
解：令 pm 时，有
|u m 1 u m 2 u 2 m | |m 1 1 m 1 2 2 1 m | | 111|1 2m 2m 2m 2
因此，取
0
1 2
，即得调和级数发散。
例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛。
证：0,N[1],使得当 mN及对任意正整数
p，有：
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
级数的前 n 项和
n
Sn uk u 1 u 2 u 3 u n (2 )
k 1
称为级数的第n个部分和.

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第十二章数项级数1 级数问题的提出1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解2012,n n y a a x a x a x =++++则必有0i a i n = ( =1,2,,) . 2．试确定系数01,,,,,n a a a 使0n n n a x ∞=∑满足勒让德方程2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和： (1)11;(54)(51)n n n ∞=-+∑ (2)211;41n n∞=-∑(3) 111(1);2n n n -∞-=-∑ (4)121;2n n n ∞=-∑(5)1sin ,nn rnx ∞=∑||1;r < (6)1cos ,nn rnx ∞=∑|| 1.r <2．讨论下列级数的敛散性：(1)1;21n n =-∑(2)111();23n nn ∞=+∑ (3)1cos ;21n n π∞=+∑(4)11;(32)(31)n n n ∞=-+∑(5)1n ∞=3．证明定理10.2. 4．设级数1nn u∞=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数1,nn U∞=∑即1112,n n n n k k k U u u u ++++=+++0,1,2,n =，其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<若1n n U ∞=∑收敛，证明原来的级数也收敛.3 正项级数1．判别下列级数的收敛性：(1)n ∞=(2)2111;(21)2n n n ∞-=-∑(3)1n ∞= (4)1sin ;2nn π∞=∑(5)11nn a=+∑ (1);a >(6)1n ∞=(7)11();21nn n ∞=+∑(8)11;[ln(1)]nn n ∞=+∑ (9) 12(1);2nnn ∞=+-∑ (10)12sin;3n nn π∞=∑(11) 1;!nn n n ∞=∑(12)1ln ;2nn n n∞=∑ (13) 1!2;nn n n n ∞=∑(14) 1!3;nn n n n∞=∑(15) 21;1()nn n n n∞=+∑ (16) 21(1)(1)(1)nnn x x x x ∞=+++∑ (0);x ≥(17)3353573579;11414714710⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅(18)ln 11;nn n∞=∑(19)ln 11;(ln )nn n ∞=∑(20)ln 1;2nn =∑(21)ln 11;3n n ∞=∑(22)1n ∞=(23)1n ∞=2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)11[(1)];n pn e n ∞=-+∑(2)3ln cos ;p n n π∞=∑(3)11ln;1p n n n ∞=--+∑(4)1n ∞=∑3．已知两正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑发散，问1max(,)nnn u v ∞=∑，1min(,)nnn u v ∞=∑两级数的收敛性如何？4．若正项级数1nn a∞=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞=.5．设22221,,1,2,,1,1,2,,n ka n k k n a k k ⎧=≠=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩求证:(1)1nn a∞=∑收敛;(2) lim 0.n n na →∞≠6．讨论下列级数的收敛性:(1)2;(ln )pn n n =∑ (2)21;ln ln ln n n n n ∞=⋅⋅∑ (3)121(ln )ln ln n n n nσ∞+=∑(0);σ>(4)21.(ln )(ln ln )p qn n n n ∞=∑ 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)1(21)!![](2)!!pn n n ∞=-∑();p 是实数(2)1(1)(1)1!n n n n βααα∞=++-∑(0,0).αβ>>8．设0,n a >且1limn n na l a +→∞=,求证n l =.反之是否成立?9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) 2lim0;(!)nn n n →∞= (2) !(2)!lim0n n n a →∞=(1).a >10．设0n a ≥,且数列{}n na 有界,证明级数21nn a∞=∑收敛.11．设正项级数1nn a∞=∑收敛,证明1n ∞=也收敛.12．设lim n n a l →∞=,求证:(1) 当1l >时,11na n n +∞=∑收敛; (2) 当1l <时,11na n n∞=∑发散.问1l =时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)1(1);100nn n ∞=-+∑(2)1ln sin ;2n n n nπ∞=∑(3)11112(1);nn nn∞=+++-∑ (4)n n ∞=(5)1sin(n π∞=∑(6)(1)21(1);3n n n n -∞=-∑(7) 1(1)npn n∞=-∑(0);p > (8)11sin ;23nn n π∞=∑ (9)1cos 2(1);nn nn∞=-∑ (10) 21sin (1);nn nn ∞=-∑ (11)1(1)sinn n xn∞=-∑(0)x ≠; (12) 21(1);(1)n n nn∞=-+∑;11n n +-++-+-+(14) 11nn n a =+∑(0);a > (15) 11sin();n n n n ∞=+∑ (16) 21sin sin .n n n n ∞=∑ 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1) 1(1);n n n x ∞=-+∑ (2) 1sin(2)!n n x n ∞= ;∑ (3)1sin n nxn ∞=∑(0);x π<< (4)1cos pn nxn ∞=∑(0);x π<< (5) 1(1)1np n n n ∞=-+∑(0);p >(6) 2(1)[(1)]nn pn n ∞=-+-∑(0);p > (7)11(1);n p n nn∞+=-∑(8)2112sin (1);n n n n xn∞-=-∑ (9)1(),nn nx a ∞=∑lim 0;n n a a →∞=>(10)1(1)nn n r ∞=-∑(0);r >(11)1!();nn x n n ∞=∑(12) 1ln(1);p n n =+∑(13)1n n ∞=(14) 1sin 4.sin 4p n n n n ππ∞=+∑ 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:(1) 2012,||1,||n n n a a q a q a q q a A +++++<≤ (0,1,2,);n =(2) 111111.23456+-++-+4．求证:若级数1nn a∞=∑(0)n a ≥收敛,则级数21n n a ∞=∑收敛.但反之不成立,请举出例子.5．若级数1n n a ∞=∑收敛,且lim 1nn nb a →∞=,问是否能断定1n n b ∞=∑也收敛?研究例子1.nn n n a b a n ==+6．证明:若级数1()nn aA ∞=∑及1()n n b B ∞=∑都收敛,且n n n a c b ≤≤(1,2,)n =则级数1()n n c C ∞=∑也收敛,若级数()A 与()B 都发散,问级数()C 的收敛性如何?7．证明:若01n x n a n ∞=∑收敛,则当0x x >时,1n x n a n ∞=∑也收敛. 若01nx n a n ∞=∑发散,则当0x x <时,1nxn a n∞=∑也发散. 8．求证:若数列{}n na 有极限,11()nn n n aa ∞-=-∑收敛,则1n n a ∞=∑也收敛.9．求证:若11()nn n aa ∞-=-∑绝对收敛,1n n b ∞=∑收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.10．求证:若级数21nn a∞=∑和21nn b∞=∑都收敛,则级数2111||,),nn n n n n n n a a b a b n∞∞∞===+∑∑∑（也收敛.11．设正项数列{}n x 单调上升且有界,求证:11(1)nn n x x ∞=+-∑ 收敛.12．对数列{},{}n n a b ,定义11,nn k kk k k S a bb b +==∆=-∑,求证:(1) 如果{}n S 有界,1||nn b∞=∆∑收敛,且0()n b n →→∞,则1n n n a b ∞=∑收敛,且有11;n nn n n n a bS b ∞∞===-⋅∆∑∑(2) 如果1nn a∞=∑与1||nn b∞=∆∑都收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.13．设1nn a∞=∑收敛,且lim 0n n na →∞=,求证:11()nn n n aa ∞+=-∑收敛,并且111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若0n a >,则112233a a a a a a -+-+-+收敛; (2) 若0n a →,则112233a a a a a a -+-+-+收敛;(3) 若1nn a∞=∑收敛,则1(1)nn n a ∞=-∑收敛;(4) 若21nn a∞=∑收敛,则31nn a∞=∑绝对收敛;(5) 若1nn a∞=∑发散,则n a 不趋于0;(6) 若1nn a∞=∑收敛,1n b →，则1n nn a b∞=∑收敛;(7) 若1||nn a∞=∑收敛, 1n b →，则1n n n a b ∞=∑收敛;(8) 若1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑收敛;(9) 若1nn a∞=∑收敛,0n a >，则lim 0n n na →∞=.15．求下列极限(其中1p >) (1)111lim();(1)(2)(2)p p pn n n n →∞+++++ (2)122111lim().n n nn p p p ++→∞+++5 无穷级数与代数运算1．不用柯西准则,求证:如果1||nn a∞=∑,则1n n a ∞=∑也收敛.2．设1nn a∞=∑收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.3．求证:由级数11n n -∞=1+-++-+发散.4．证明:若1n n a∞=∑条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于+∞,有一子数列趋向-∞.5．已知111ln 2n n H c n r n=+++=++,c 是欧拉常数,lim 0n n r →∞=,求证: (1) 111111ln 242222m m c r m +++=++; (2) 若把级数1111234-+-+的各项重排,而使依次p 个正项的一组与依次q 个负项的一组相交替,则新级数的和为1ln 2ln 2p q+. 6．求证:级数11(1)n n n +∞=-∑的平方(柯西乘积)是收敛的. 7．令0!nx n x e n ∞==∑,求证x y x y ee e +=⋅. 8．证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数1(1)n n ∞=-∑的收敛性.。