第十二章 数项级数
12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
级数最全版
第十二章 级数第一节 数项级数及其敛散性思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查n n s ∞→lim 是否存在.（2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=-+1)1(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n nn , （4）)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n .解：（1） nn n n ++=-+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=-+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3） nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=1e 1<-, ∴原级数收敛.（4） ∑∞=-+-11)1(1)1(n n n n=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin nn θθθθ对任何θ都收敛. 证明：221s i n n n n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数83.0 化为分数. 解： 83.0 = +⨯+⨯+⨯+---38.01038.01038.01038.0642=∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos n n α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.第二节 幂级数思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法.间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数n a 时)(0)(x fn 的复杂运算，而由基本展开式可直接求出n a ,（2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在0=x 处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数x ln 的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.答：能.习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!n nx n , （2）∑∞=1)!2(n nn x .解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数∑∞=1!n n x n 的收敛域为}0|{=x x .（2）1lim+∞→=n nn a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=∞+,∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞-∞. 2. 求幂级数∑∞=+-0)1()1(n n nx n 的和函数.解：设∑∞=+-=)1()1()(n n nx n x s ,两端关于x 求积分得：x x s x d )(0⎰=∑∞=+-01)1(n n n x =xx+1 )1,1(-∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=-∈+=+-02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x ,因为∑∞=+=-011)1(n n n xx )1,1(-∈x , 所以 ∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ， 即60<<x . 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f -=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +, （4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x --=∑∞=-∈-0)1,1(,)1(n nn x x .（2）211x + =∑∞=-02)(n n x =∑∞=-02)1(n nn x ,)1,1(-∈x .（3）)1ln(x +=⎰+xx x 0d 11=⎰∑∞=-x n n n x x 0d )1( =∑⎰∞=-0d )1(n x nnx x =∑∞=++-011)1(n n n x n , ]1,1(-∈x .(4) 211)(arctan x x +='=∑∞=-∈-02)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x arctan =⎰∑∞=-x n nnx x 02d )1(=()∑∞=++-012121n n nx n , ]1,1[-∈x .(5) 211)cot arc (x x +-='=∑∞=+-∈-021)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x cot arc =⎰∑∞=+-x n n n x x 0021d )1(=()∑∞=+++-0121121n n n x n ,]1,1[-∈x .第三节 傅里叶级数思考题：1. ()x f 是定义在[]b a ,上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以a b -为周期的傅里叶级数？答：可设)2()(a b x f x F ++=，则)(x F 在]2,2[ab a b ---上有定义，且满足收敛定理条件，故可展开为以a b -为周期的傅里叶级数.2. 函数)(x f 的傅里叶级数展开式是否惟一？设以2l 为周期的函数)(x f ，将其在],[l l -上展开和在[0，2l ]上展开的以2l 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？答：（1）)(x f 的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间[]b a ,上的展开式的系数可能不同.（2）当)(x f 的周期为l 2时，注意定积分恒等或⎰⎰+=x x f x x f al ald )(d )(220，其中)(x f 的周期为2l ，a 为任意常数，则可知将)(x f 在],[l l -展开和在[]l 2,0上展开的傅里叶级数相同.习作题：1. 将周期为1的函数21)(x x f -=)2121(≤≤-x 展成傅里叶级数.解：令π2tx =，则得()t F 在[]π,π-上的表达式为 22π41)(t t F -=， 611d π41π1d )(π122ππππ0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰--t t t t F a ， ()t nt t F a n d cos π1ππ⎰-==t nt t d cos π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰- =t nt t d cos π212π03⎰-=t nt t n d sin 2π21π03⎰=()()()212π1πcos π1n n n n +-=-， ()t nt t F n b n d sin 1ππ⎰-==t nt t d sin π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-=0 ()x f ∴的傅里叶展开式为()()()x n n x x f n n πc o s 1121111212⋅-+=-=∑∞=+π )2121(≤≤-x 2. 把x x f -=1)(()10≤≤x 展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将)(x f 延拓为奇函数⎩⎨⎧<≤---≤<-=,01,1,10,1)(1x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=,0π,π1,π0,π1)(1x tt t t F 由 t nt t F b n d sin )(π11ππ⎰-==t nt t d sin )π1(π2π0-⎰=π2)1(1n n ⋅-+，得 )(1t F =∑∞=+⋅-11sin π2)1(n n nt n , ππ≤≤-t 且0≠t . 令 x t π=, 得)(x f 的正弦级数展开式为⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=-∑∞=+.0,1,10,πsin )1(π2111x x x n n x n n(2) 先将)(x f 延拓为偶函数⎩⎨⎧<≤-+≤≤-=,01,1,10,1)(2x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=,0π,π1π,0,π1)(2x tt t t F 由 1d )π1(π2d )(π1π02ππ0=-==⎰⎰-t tt t F a ,t nt t F a n d cos )(π11ππ⎰-==t nt t d cos )π1(π2π0-⎰ =⎪⎩⎪⎨⎧,,0,,π422为偶数时为奇数时n n n得 )(2t F =)55cos 33cos (cos π421222 ++++tt t , ππ≤≤-t , 令 x t π=, 得)(x f 的余弦级数展开式为∑∞=++=-122πcos )12(1π4211n x n n x , 10≤≤x .。
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
第十二章数项级数
第十二章数项级数1级数问题的提出1. 证明：若微分方程xy " y ' xy0 有多项式解y a0a1 x a2 x2a n x n , 则必有 a i0 i n2．试确定系数a0 , a1 , , a n , , 使a n x n满足勒让德方程n 0(1 x2 ) y " 2 xy ' l (l 1)y0.2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和：(1)1 ;4)(5 nn 1 (5n 1)(2) 1 ;n 1 4n2 1( 1)n 1(3) n 1 ;n 1 22n 1(4) n ;n 1 2(5) r n sin nx,| r |1;n 1(6) r n cos nx,| r |1.n 12．讨论下列级数的敛散性：(1)n ;n 1 2n 1(2)1 1( n n ); n 1 2 3(3) cos2n ;n 1 1(4) 1 ;2)(3nn 1 (3n 1)(5)1 .n(n 1)( n nn 1 1)3．证明定理 10.2.4．设级数u n 各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数U n , 即n 1 n 1U n 1 u k n 1 u k n 2 u k n 1 , n 0,1,2, ，其中 k0 0, k0 k1 k2 k n k n 1 .若U n收敛，证明原来的级数也收敛.n 13正项级数1．判别下列级数的收敛性：1 (1)n2 ;n 1 n(2)1;2 n 1 n 1 (2n 1)2(3) n n ;n 12n 1 (4) sin n;n 1 2(5)1(a 1);a n n 11(6)1;n 1n n n(7)( 1 )n ; n 1 2n 1(8)1;1)] nn 1[ln( n(9) 2 ( 1)n; n 12n (10)2nsin n ;n 13 (11)n n ;n 1n!(12)n ln nn;n 12(13)n!2n n ; n 1n(14)n!3n n; n 1 n(15)n 2;n 1(n1 )nn(16)x n( x 0);(1 x)(1 x 2 )n 1(1 x n )3 3 53 5 7 3579 (17)1 41 4 7;1 14710(18)1ln n ;n 1n(19)1;(20)ln n ;n 121(21)ln n;n 13 (22)13 n ;n 1(23)n.n 1 3n2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：(1)[ e (1 1 )n ] p ;n 1n(2)ln p cos;n 3n(3)( n 1n ) plnn1;n 1n 1(4)( n a4n 2n b ).n 13．已知两正项级数u n 和v n 发散，问max( u ,v ) ，min( u ,v ) 两级数的nnnnn 1n 1n 1n 1收敛性如何？4．若正项级数a n 收敛， a n 1a n (n 1,2, ) ，求证 lim na n 0 .n 1na n1 ,n k2 , k 1,2, , 5．设n 21a k 2 , k 1,2, ,k 2求证 :(1)a n 收敛 ;n 1(2)lim na n0.n6．讨论下列级数的收敛性:(1);n 2 n(ln n)p1 (2)n ln n ;n 2 ln ln n(3)10);n(ln n)1(n 2 ln ln n1(4).n 2 n(ln n)p(ln ln n)q7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性:(1) [ (2 n 1)!!] p ( p是实数 );n 1 (2 n)!!(2) ( 1) ( n 1) 1 (0, 0).n 1 n! n8．设a na n 1l ,求证 lim n a n l .反之是否成立? 0, 且 limn a n n9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) limn n0; ( n!) 2n(2) lim (2n)!0 ( a 1).n !n a10．设a n0 , 且数列{ na n}有界 , 证明级数a n 2收敛.n 111．设正项级数a n收敛,证明anan 1 也收敛 .n 1 n 1 12．设lim a n l ,求证:n(1) 当 l 1时, 1a 收敛 ;n 1 n n(2) 当 l 1时, 1 发散 .n1n a n问 l 1时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)( 1)nn n ;n 1100(2)ln n sin n ;n 1 n21 1 12n ;(3)( 1)n n 1n(4)( 1)nn ( 1)n;n 2(5)sin(n 21);n 1n( n 1)(6)( 1)2;3nn 1(7)( 1)n ( p0);n 1n p(8)1sin n;3n2n 1(9)( 1)n cos 2n ; n 1n(10)( 1)n sin 2 n ;n 1n(11)( 1)nsin x( x 0) ;n 1n( 1)n n(12)(n2;n 11)(13)1 1 1 1 1 12 12 1313 1n 1;n 1( 1)n 1an ( a 0);(14)n 1 a n 1sin(n1 ) (15)n n ;n 1(16)sin nsin n 2 .n 1n2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1)( 1)n;nxn 1(2)sin(2 n x)n!n 1(3)sin nx (0 x );n 1n(4)cosnxx);np(0 n 1(5)( 1)n0);( p n 1n p 1n(6)( 1)n( p0);[n ( n ] pn 21)n(7)( 1)1 ;n 1pnn(8) ( n 12n sin 2 n x 1) n ; n 1(9)( x)n , lim a na 0;n 1a nn(10)( 1)n r nn(r 0);n 1(11)n!( x)n ;(12)( 1)nln(1n p);n 1(13)( 1)np;nn 1] n 1[ ( 1)sinn(14)4.sinnn 1 np43．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性 :(1) a 0a 1 q a 2 q 2 a n q n,| q | 1,| a n | A (n 0,1,2, );(2)1 1 1 11 1 .2 3 45 64．求证 : 若级数a n (a n 0) 收敛 , 则级数a n 2 收敛 . 但反之不成立 , 请举出例子 .n1n 15．若级数a n 收敛 , 且 limb n 1, 问是否能断定b n 也收敛 ?研究例子n 1 na nn 1a n ( 1)na n 1, b n.nn6．证明 : 若级数a n (A) 及b n (B) 都收敛 , 且n1n 1a n c nb n ( n 1,2, )则级数c n (C ) 也收敛 , 若级数 ( A) 与 (B) 都发散 , 问级数 (C ) 的收敛性如何 ?n 17．证明 : 若a n收敛 , 则当 x x 0 时 ,a n 也收敛 . 若a n发散 , 则当 x x 0 时 ,n 1n x 0n 1 n x n 1 n x 0a n 也发散 . n 1 n x8．求证 : 若数列 { na n } 有极限 ,n(a n a n 1 ) 收敛 , 则a n 也收敛 .n 1n 19．求证 : 若(a n a n 1 ) 绝对收敛 ,b n 收敛 , 则a nb n 收敛 .n 1n 1n 110．求证 : 若级数a n 2 和b n 2 都收敛 , 则级数n 1 n 1| a bn |, （ anb )2 , a nn nnn 1 n 1 n 1也收敛 .11．设正项数列{ x n } 单调上升且有界, 求证 :(1 x n )n 1x n 1收敛 .n12．对数列{ a n},{ b n} , 定义S n a k , b k b k 1 b k,求证:k 1(1)如果{ S n}有界, | b n | 收敛,且 b n0(n ) ,则a n b n收敛,且有n 1 n 1a nb n S n b n ;n 1n 1(2)如果a n与| b n |都收敛,则a n b n收敛.n 1 n 1 n 113．设a n 收敛 , 且lim na n 0,求证:n 1 nn(a n a n 1 )n 1收敛,并且n(a n a n 1 ) a nn 1 n 114．下列是非题 , 对的请给予证明, 错的请举出反例 :(1) 若 a n 0 ,则 a1 a1 a2 a2 a3 a3 收敛 ;(2) 若 a n 0 ,则 a1 a1 a2 a2 a3 a3 收敛 ;(3) 若 a 收敛,则( 1)n a 收敛;n nn 1 n 1(4) 若a n 2收敛,则a n 3绝对收敛 ;n 1 n 1(5) 若a n发散,则 a n不趋于0;n 1(6) 若a n收敛, b n 1 ，则a n b n收敛;n 1 n 1(7) 若| a n |收敛, b n 1，则a n b n收敛;n 1 n 1 (8) 若a n收敛,则a n 2收敛;n 1 n 1(9) 若a n收敛, a n 0 ，则lim na n0.n 1 n15．求下列极限 ( 其中p1)(1) lim(1 1 1p ); (n 1)p(n 2)p(2 n)n(2) lim(1 1 1). p n 1 p n 2 p 2nn5无穷级数与代数运算1．不用柯西准则 , 求证 : 如果| a n |,则a n也收敛.n 1 n 12．设a n收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛, 且具有相同的和数.n 1精品文档3．求证 : 由级数 ( 1)n 1重排所得的级数n 1n1 1 1 1 1 125743发散 .4．证明 : 若 a n 条件收敛 , 则可把级数重排 , 使新级数部分和数列有一子数列趋向于n 1, 有一子数列趋向.5．已知 H n 111 c ln n r n , c 是欧拉常数 , lim r n0,求证:2nn(1)1 1 1 1ln m 1 c 1r m ;2 42m 2 2 2(2)若把级数 11 1 1的各项重排 , 而使依次p 个正项的一组与依次 q 个负234项的一组相交替 , 则新级数的和为 ln 21ln p .2q6．求证 : 级数( 1) n 1的平方 ( 柯西乘积 ) 是收敛的 .n 1n7．令 e xx n , 求证 e x y e x e y .n 0 n!8．证明 : 若级数的项加括号后所成的级数收敛, 并且在同一个括号内项的符号相同 , 那么去掉括号后 , 此级数亦收敛 ; 并由此考察级数( 1)[ n ]n 1n的收敛性 .精品文档。
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
华东师范大学数学分析第12章
,
sin 2n
由 Cauchy 收敛准则得 ,
收敛 .
n 1 2n
(2)
证法 1
因为 lim n
an
n2
lim
n
2n2
1
1 2
0 ,所以
lim
n
an
0 ,由级数收敛的必要条件
1 n 1 n2
知 ,级数
发散 .
n 1 2n2 1
证法 2 (用 Cauchy 收敛准则 ) 取 0
m0
un
n1
n0
un
n1
n
2n 1
(3) 因为
n 1 n2 1
2
n1 1
1 n 1 n2 1
1
1
2
,而数列
n1 1
收敛于零 ,
n2 1
2n 1
由 4 题知 ,
n 1 n2 1
2
n1 1
1
1
12
1
0
.
2
7.应用 Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性 :
sin 2n
1 n 1 n2
(1)
n1
2n
; (2) n 1 2n2
p1
1
1
np n
故 ,对
1
0, N
,当 n N 时 ,对任意的正整数 p ,都有
n1
1 n1
n2
1 n2
; (3)
1
n1
n
1
1
; (4)
.
n
n 1 n n2
证 (1) 对
0 1 ,因为
sin 2n 1 2n 1
sin 2n p
1
2n p
《数学分析》第十二章 数项级数
第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。
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第十二章 数项级数1 级数问题的提出1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解2012,n n y a a x a x a x =++++则必有0i a i n = ( =1,2,,) . 2．试确定系数01,,,,,n a a a 使0n n n a x ∞=∑满足勒让德方程2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和： (1)11;(54)(51)n n n ∞=-+∑ (2)211;41n n∞=-∑(3) 111(1);2n n n -∞-=-∑ (4)121;2n n n ∞=-∑(5)1sin ,nn rnx ∞=∑||1;r < (6)1cos ,nn rnx ∞=∑|| 1.r <2．讨论下列级数的敛散性：(1)1;21n n =-∑(2)111();23n nn ∞=+∑ (3)1cos;21n n π∞=+∑ (4)11;(32)(31)n n n ∞=-+∑(5)1n ∞=3．证明定理10.2. 4．设级数1nn u∞=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数1,nn U∞=∑即1112,n n n n k k k U u u u ++++=+++0,1,2,n =，其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<若1n n U ∞=∑收敛，证明原来的级数也收敛.3 正项级数1．判别下列级数的收敛性：(1)n ∞=(2)2111;(21)2n n n ∞-=-∑(3)1n ∞= (4)1sin ;2nn π∞=∑(5)11nn a=+∑ (1);a >(6)1n ∞=(7)11();21nn n ∞=+∑ (8)11;[ln(1)]nn n ∞=+∑ (9) 12(1);2nnn ∞=+-∑ (10)12sin;3n nn π∞=∑(11) 1;!nn n n ∞=∑(12)1ln ;2nn n n∞=∑ (13) 1!2;nn n n n ∞=∑(14) 1!3;nn n n n∞=∑(15) 21;1()nn n n n∞=+∑ (16) 21(1)(1)(1)nnn x x x x ∞=+++∑ (0);x ≥(17)3353573579;11414714710⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅(18)ln 11;nn n∞=∑(19)ln 11;(ln )nn n ∞=∑(20)ln 1;2nn =∑(21)ln 11;3n n ∞=∑(22)1n ∞=(23)1n ∞=2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)11[(1)];n pn e n ∞=-+∑(2)3ln cos ;p n n π∞=∑(3)11ln;1p n n n ∞=--+∑(4)1n ∞=∑3．已知两正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑发散，问1max(,)nnn u v ∞=∑，1min(,)nnn u v ∞=∑两级数的收敛性如何？4．若正项级数1nn a∞=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞=.5．设22221,,1,2,,1,1,2,,n ka n k k n a k k ⎧=≠=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩求证:(1)1nn a∞=∑收敛;(2) lim 0.n n na →∞≠6．讨论下列级数的收敛性:(1)2;(ln )pn n n =∑ (2)21;ln ln ln n n n n ∞=⋅⋅∑ (3)121(ln )ln ln n n n nσ∞+=∑(0);σ>(4)21.(ln )(ln ln )p qn n n n ∞=∑ 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)1(21)!!!pn n n ∞=-∑();p 是实数(2)1(1)(1)1!n n n n βααα∞=++-∑(0,0).αβ>>8．设0,n a >且1limn n na l a +→∞=,求证n l =.反之是否成立?9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) 2lim0;(!)nn n n →∞= (2) !(2)!lim0n n n a →∞=(1).a >10．设0n a ≥,且数列{}n na 有界,证明级数21nn a∞=∑收敛.11．设正项级数1nn a∞=∑收敛,证明1n ∞=也收敛.12．设lim n n a l →∞=,求证:(1) 当1l >时,11na n n +∞=∑收敛; (2) 当1l <时,11na n n ∞=∑发散. 问1l =时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)1(1);100nn n ∞=-+∑(2)1ln sin ;2n n n nπ∞=∑(3)11112(1);nn nn∞=+++-∑ (4)n n ∞=(5)1sin(n π∞=∑(6)(1)21(1);3n n n n -∞=-∑(7) 1(1)npn n∞=-∑(0);p > (8)11sin ;23nn n π∞=∑ (9)1cos 2(1);nn nn∞=-∑ (10) 21sin (1);nn nn ∞=-∑ (11)1(1)sinn n xn∞=-∑(0)x ≠; (12) 21(1);(1)n n nn∞=-+∑11;11n n +-++-+-+(14) 11nn n a =+∑(0);a > (15) 11sin();n n n n ∞=+∑ (16) 21sin sin .n n n n ∞=∑ 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1) 1(1);n n n x ∞=-+∑ (2) 1sin(2)!n n x n ∞= ;∑ (3)1sin n nxn ∞=∑(0);x π<< (4)1cos pn nxn ∞=∑(0);x π<< (5) 1(1)1np n n n ∞=-+∑(0);p >(6) 2(1)[(1)]nn pn n ∞=-+-∑(0);p > (7)11(1);n p n nn∞+=-∑(8)2112sin (1);n n n n xn∞-=-∑ (9)1(),nn nx a ∞=∑lim 0;n n a a →∞=>(10)1(1)nn n r ∞=-∑(0);r >(11)1!();nn x n n ∞=∑(12) 1ln(1);p n n =+∑(13)1n n ∞=(14) 1sin 4.sin 4p n n n n ππ∞=+∑ 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:(1) 2012,||1,||n n n a a q a q a q q a A +++++<≤ (0,1,2,);n =(2) 111111.23456+-++-+4．求证:若级数1nn a∞=∑(0)n a ≥收敛,则级数21n n a ∞=∑收敛.但反之不成立,请举出例子.5．若级数1n n a ∞=∑收敛,且lim 1nn nb a →∞=,问是否能断定1n n b ∞=∑也收敛?研究例子1.nn n n a b a n ==+6．证明:若级数1()nn aA ∞=∑及1()n n b B ∞=∑都收敛,且n n n a c b ≤≤(1,2,)n =则级数1()n n c C ∞=∑也收敛,若级数()A 与()B 都发散,问级数()C 的收敛性如何?7．证明:若01n x n a n ∞=∑收敛,则当0x x >时,1n x n a n ∞=∑也收敛. 若01nx n a n ∞=∑发散,则当0x x <时,1nxn a n∞=∑也发散. 8．求证:若数列{}n na 有极限,11()nn n n aa ∞-=-∑收敛,则1n n a ∞=∑也收敛.9．求证:若11()nn n aa ∞-=-∑绝对收敛,1n n b ∞=∑收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.10．求证:若级数21nn a∞=∑和21nn b∞=∑都收敛,则级数2111||,),nn n n n n n n a a b a b n∞∞∞===+∑∑∑（ 也收敛.11．设正项数列{}n x 单调上升且有界,求证:11(1)nn n x x ∞=+-∑ 收敛.12．对数列{},{}n n a b ,定义11,nn k kk k k S a bb b +==∆=-∑,求证:(1) 如果{}n S 有界,1||nn b∞=∆∑收敛,且0()n b n →→∞,则1n n n a b ∞=∑收敛,且有11;n nn n n n a bS b ∞∞===-⋅∆∑∑(2) 如果1nn a∞=∑与1||nn b∞=∆∑都收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.13．设1nn a∞=∑收敛,且lim 0n n na →∞=,求证:11()nn n n aa ∞+=-∑收敛,并且111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若0n a >,则112233a a a a a a -+-+-+收敛; (2) 若0n a →,则112233a a a a a a -+-+-+收敛;(3) 若1nn a∞=∑收敛,则1(1)nn n a ∞=-∑收敛;(4) 若21nn a∞=∑收敛,则31nn a∞=∑绝对收敛;(5) 若1nn a∞=∑发散,则n a 不趋于0;(6) 若1nn a∞=∑收敛,1n b →，则1n nn a b∞=∑收敛;(7) 若1||nn a∞=∑收敛, 1n b →，则1n n n a b ∞=∑收敛;(8) 若1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑收敛;(9) 若1nn a∞=∑收敛,0n a >，则lim 0n n na →∞=.15．求下列极限(其中1p >) (1)111lim();(1)(2)(2)p ppn n n n →∞+++++ (2)122111lim().n n nn p p p ++→∞+++5 无穷级数与代数运算1．不用柯西准则,求证:如果1||nn a∞=∑,则1n n a ∞=∑也收敛.2．设1nn a∞=∑收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.3．求证:由级数11n n -∞=1+-++-+发散.4．证明:若1n n a∞=∑条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于+∞,有一子数列趋向-∞.5．已知111ln 2n n H c n r n=+++=++,c 是欧拉常数,lim 0n n r →∞=,求证: (1) 111111ln 242222m m c r m +++=++; (2) 若把级数1111234-+-+的各项重排,而使依次p 个正项的一组与依次q 个负项的一组相交替,则新级数的和为1ln 2ln 2p q+. 6．求证:级数11(1)n n n +∞=-∑的平方(柯西乘积)是收敛的. 7．令0!nx n x e n ∞==∑,求证x y x y ee e +=⋅. 8．证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数1(1)n n ∞=-∑的收敛性.。