10.1数项级数的概念
数项级数的基本概念及性质
称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,
q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
高等数学第七版教材下册目录
高等数学第七版教材下册目录一、导言1.1 数学的起源和发展1.2 高等数学的地位和作用1.3 数学的基本概念二、极限与连续2.1 数列的极限2.1.1 数列极限的定义2.1.2 数列极限的性质2.2 函数的极限2.2.1 函数极限的定义2.2.2 函数极限的运算法则2.3 极限存在定理2.3.1 夹逼定理2.3.2 单调有界定理2.4 无穷大与无穷小2.4.1 无穷大的定义与性质2.4.2 无穷小的定义与性质2.5 连续与间断2.5.1 连续的定义与性质2.5.2 间断点的分类与性质三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的基本性质3.2 基本初等函数的导数3.2.1 幂函数的导数3.2.2 指数函数与对数函数的导数 3.2.3 三角函数与反三角函数的导数 3.3 高阶导数与高阶微分3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.5.1 罗尔中值定理3.5.2 拉格朗日中值定理3.5.3 柯西中值定理四、微分中值定理与舍误4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 单调性的判定4.1.2 极值的判定4.2 函数图形的描绘4.2.1 函数的对称性4.2.2 渐近线与拐点4.3 泰勒公式与泰勒展开4.4 函数的舍误与渐近展开五、定积分5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的基本性质 5.2 定积分的计算方法5.2.1 可积函数的性质 5.2.2 定积分的计算公式5.3 定积分的应用5.3.1 几何应用5.3.2 物理应用六、不定积分6.1 基本积分表6.1.1 基本积分公式6.1.2 常用积分公式6.2 分部积分法与换元积分法 6.3 有理函数的积分6.4 函数的不定积分6.5 定积分与不定积分的关系七、常微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的解与通解 7.2 一阶线性微分方程7.2.1 可分离变量的方程7.2.2 齐次方程7.2.3 一阶线性非齐次方程7.3 高阶线性微分方程7.3.1 含有常系数的方程7.3.2 欧拉方程7.4 常系数线性齐次微分方程的解法7.5 常系数线性非齐次微分方程的解法八、多元函数微分学8.1 多元函数的概念与性质8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.2.1 偏导数的定义与性质8.2.2 全微分的概念与计算8.3 多元复合函数的导数8.3.1 多元复合函数的链式法则8.3.2 隐函数的偏导数8.4 多元函数的极值8.4.1 多元函数的极值点与极值8.4.2 条件极值与拉格朗日乘子法九、多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.1.1 二重积分的定义9.1.2 二重积分的性质9.2 二重积分的计算方法9.2.1 二重积分的累次积分法9.2.2 二重积分的极坐标法9.3 三重积分的概念与性质9.3.1 三重积分的定义9.3.2 三重积分的性质9.4 三重积分的计算方法9.4.1 三重积分的累次积分法9.4.2 三重积分的柱面坐标法十、无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.1.1 数项级数的定义10.1.2 数项级数的审敛法10.2 收敛级数的运算10.2.1 收敛级数的四则运算10.2.2 收敛级数的基本性质10.3 幂级数与函数展开10.3.1 幂级数的收敛域10.3.2 幂级数展开与泰勒级数总结以上是高等数学第七版教材下册的目录，涵盖了多个重要的数学概念和学习内容。
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
数学分析数项级数_2022年学习资料
§2数项级数的收敛性及其基本性质-无穷项函数相加，对每一个固定的X,每一项便变成-一个数，因此，我们从无穷 数相加谈起，这种级-数称为数项级数，或简称为无穷级数。-定义-设有数列：山1，u2,3,L,un,L-用加 把这些数依次连接起来所得的式子-4+2+4+L+un+L-这仅是一种形-式上的相加。-称为无穷级数或数项级 ，简称级数。-记为：∑w或∑4-k=
1-31-2P-1-1-动1-六21--这里用到-2一<1当p>1这就证明了部分和-数列有上界，故-启p1 技数
比较判别法-定理10.6-比较判别法设有两个正项级数-∑4，=4+42+L,-n=l-∑=出+%+L,-n 1-若对充分大的n（即存在N,当n>N时有-un≤CVn-其中c>0与n无关，则-1当∑收敛时，∑4收敛； ∑“发散时，∑发散。
k可以取任意大，因而无上界。故卫=1时，级数-三发散（级教三}-也称为调和级数。-当p<1时，由于对任意正 数k,有≥-因此-会是因-右边的部分和数列无上界推出左边也无上界，-在p<1也发散。-当p>1时，设2≤n 2k+l-类似于前面的做法，有
n=1+水++儿+-=1+++++++L-+2加+2+L十女-<1+÷+京儿+六+品-=++儿+°j
问题：-1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？-2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算-规律与 有限和”有什么异同？-历史上：-很多是“形式运算”，后来由于应用的深入-和广泛，形式运算常出现矛盾：
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
数学分析数项级数
数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。
数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。
首先，我们来定义数项级数。
数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。
我们首先来讨论数项级数的部分和序列。
部分和序列是数项级数中非常重要的概念。
如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。
如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。
接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。
首先是数项级数的有界性。
如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。
这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。
其次，我们来看数项级数的比较判别法。
这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。
如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。
该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。
再次，我们来看数项级数的比值判别法。
如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。
最后，我们来看数项级数的积分判别法。
对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。
以上是数项级数的一些基本概念和性质。
1数项级数的概念和性质-27页精选文档
n ukl SknSk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为SSk.
类似可证前面加上有限项的情况 .
19.11.2019
宁波大学教师教育学院
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
分的总长和剩下部分的总长各是多少？
丢弃的各开区间长依次为
1 3
,
2 32
,
2 3
2 3
,
23 34
,
,
2n1 3n
,
故丢弃部分总长
01 2 1
l丢 1 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 4 3 2 3 n n 1 9 9 3
27 8 1
39 9
1 3 1 3 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 3 ( 3 2 ) n 1 131132 1
limSn
n
1aq
因此级数发散 .
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从而 nl im Sn,
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2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
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则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
2.2 数项级数的基本概念
一、数项级数的定义及敛散性定义：设给定一数列：，则称表达式为数项级数，简称级数．记为，即，其中第项称为级数的通项，也称为一般项．注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子． 例如：是级数，不是级数；是级数，不是级数．由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得，可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数． 而对于级数，从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等于任何数． 接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行？定义：记级数的前项和为，显然 ．如果（常数），则称级数收敛，并称S 为级数的和，记作．如果不存在，则称级数发散．典型例题例 2.2.1讨论等比级数（又称为几何级数）的敛散性．其中，叫做级数的公比．解(1)如果，级数的前项和当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为．当，由于，从而，这时级数发散．(2)如果，则当时，级数的前项和，因此级数发散；当时，级数成为，，显然随着的增大，总是在或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数也是发散的．综上所述，我们得到：等比级数的公比为，则当时，级数收敛，且收敛于；如果，则级数发散．简记为发散，可记忆为发散，由此公式，我们可以很快地得出：，级数收敛．，级数收敛．发散．例 2.2.2判定下列级数的敛散性：(1) ；(2) ．解(1)∵，∴，从而，故级数发散．(2)由于，所以．从而，故级数收敛，它的和是1．例 2.2.3判定级数的敛散性．解级数的前项和，因为，所以级数发散．也可以这样化简：备注：这里用到初等数学中的公式：，．二、级数的基本性质和收敛的必要条件性质1 若为非零常数，则与同时收敛或同时发散，且在收敛时，有．此性质说明：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．性质2 设级数与都收敛，则也收敛，且．此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．性质3 在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值，不会改变级数的敛散性．性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则它的一般项趋于零，即．此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件．推论：若，则级数发散．注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的．将在后面学习的调和级数就是这样的例子．典型例题例 2.2.4判断级数的敛散性．解，而级数收敛，所以由性质1知收敛．例 2.2.5判定级数的敛散性，若收敛求此级数的和．解因为级数收敛，且，又级数也收敛，且；所以由性质2，．例 2.2.6判定级数的敛散性．解级数的一般项为，因为，所以级数发散．三、正项级数的敛散性判别定义：设数项级数中的每一项都是非负的，即（），则称该级数是正项级数．定理（比较判别法）：设，是两个正项级数，若，则(1) 当收敛时，收敛；(2) 当发散时，发散．有了这个定理，在判断一个正项级数的敛散性时，可以利用另一个收敛性为已知的正项级数来比较．形如的级数称为－级数，可以证明－级数当时收敛，当时发散．其中时的级数也称为调和级数．典型例题例 2.2.7判定下列级数的敛散性：(1) ； (2) ； (3)解(1)因为，是调和级数，所以级数发散．(2)因为，所以级数收敛．(3)因为，所以级数发散．例 2.2.8判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)．解(1) ∵，∴，，而收敛，故收敛．(2) ∵，∴，而发散，所以发散．(3) ∵，∴，而发散，所以发散．小结(1)数项级数及其收敛与发散的概念；(2)数项级数敛散性的常用判别法：①等比级数的敛散性判定及收敛时的求和．要求掌握有关的结论和公式．②－级数的敛散性．要求掌握有关的结论．③对于正项级数，在利用比较判别法时，常以－级数作为参照．④当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判别．⑤利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛．重点题型：判断级数的敛散性．。
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《高等数学》第四次网络课导学
学习内容：数项级数的概念
重点内容：数项级数的敛散性定义；数项级数的敛散性判定。
课程要求：了解数项级数的概念；理解数项级数敛散性的定义；掌握常见的数项级数的敛散性判别的方法。
学习步骤：签到——阅读《高等数学》教材10.1节数项级数——观看视频3.2.1常数项级数的概念与性质（两个视频）——完成测验——讨论问题——完成课后作业，共6个步骤
课后作业：
1.判定级数∑∞
=+
1
)1 (
1
n
n
n
的敛散性.（提示：运用裂项相消法找到部分和）
2.判定级数∑∞
=
--
1
1
)1
(
n
n的敛散性.（提示：讨论部分和在奇数项和与偶数项和的不同）
3.研究级数∑∞
=
+ +
11 1
n
n
n
的敛散性.（提示：将各项有理化，消项）
4.讨论等比级数的敛散性.(可不做在作业本上)
5.判断题
（1）在级数前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性.（）
（2）将收敛级数的某些项加括号之后，所成新级数仍收敛于原来的和.（）（3）加括号后发散，则级数发散.（）
（4）加括号后收敛，原级数不一定收敛.（）
（5）级数∑∞
=1
n
n
u收敛则一定有0
lim=
∞
→
n
n
u.（）。