函数项级数的基本概念ppt课件
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数学分析课件PPT之十三章函数列与函数项级数
审敛原理存在自然数N ，使得当 n N 时，对
于任意的自然数 p 都有
a a n1
n2
an p
.
2
由条件(1)，对任何 x I ，都有
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
un1 ( x) un2 ( x) un p ( x)
an1 an2
an p
例3 研究级数
x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s( x) 0，
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数
n,
取 xn
1 ，于是 n2
sn ( xn )
xn n
1, 2
但 s( xn ) 0,
一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
一. 一致收敛函数列的解析性质
1 函数及限与序列极限交换定理
fn
x
f
x
lim
x x0
fn
x
an
lim
n
an
(即nlim
lim
xx0
lim xx0
fn x
f
x 存在
lim
xx0
lim
n
fn
x)
讨论单侧极限是, 只要把以上定理中的
n 1
在 D 上一致收敛的一个必要条件是：
函数列un (x)在 D 上一致收敛于 0.
3．若已知和函数 S(x) 可用下面的判别法
定理 13-4 函数项级数 un (x)在 D 上一致收 n 1
敛于 S(x)
lim sup
n xD
Rn (x)
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
微积分第二版课件第一节数项级数的概念及性质
n
Tn
lim
n
kS
n
k
lim
n
S
n
kS
性质2 若 un 收敛, 其和为S ；vn 收敛, 其和为T
n1
n1
则 (un vn ) 必收敛, 其和为 S T .
n1
证 设 ，un ，vn (的un部 v分n )和为 ， 与 Sn Tn Rn
n1
n1 n1
Rn (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) Sn Tn
n1
k
0
，则级数
kun
也收敛,
且其和为k
S.
n1
证 设级数 与un
n1
的k部un分和分别为 与 Sn
n1
Tn
Tn ku1 ku2 kun kSn
由于 Tn kSn (k，于0)是极限 与 lnim同Tn时收lnim敛 S或n 同时发散， 从而级数 与 的敛散性u相n 同.且kun
lim
1, 4
, Sn
1 2
1 4
1 8
1 2n
,
这样就得到一个数列 S1, S2 , S3,, Sn ,
由数列极限概念，可知数列 {在Sn} 时n 的极 限，可
以看成（1）式的和.
由等比数列求和公式得
Sn
1 2
1
1 2
n
1 1
1
1 2n
于是
lim
n
Sn
lim 1 n
1 2n
1
2
1
所以
1 2
于图形中矩形面积之和
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n
1
k 1 k
Tn
lim
n
kS
n
k
lim
n
S
n
kS
性质2 若 un 收敛, 其和为S ；vn 收敛, 其和为T
n1
n1
则 (un vn ) 必收敛, 其和为 S T .
n1
证 设 ，un ，vn (的un部 v分n )和为 ， 与 Sn Tn Rn
n1
n1 n1
Rn (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) Sn Tn
n1
k
0
，则级数
kun
也收敛,
且其和为k
S.
n1
证 设级数 与un
n1
的k部un分和分别为 与 Sn
n1
Tn
Tn ku1 ku2 kun kSn
由于 Tn kSn (k，于0)是极限 与 lnim同Tn时收lnim敛 S或n 同时发散， 从而级数 与 的敛散性u相n 同.且kun
lim
1, 4
, Sn
1 2
1 4
1 8
1 2n
,
这样就得到一个数列 S1, S2 , S3,, Sn ,
由数列极限概念，可知数列 {在Sn} 时n 的极 限，可
以看成（1）式的和.
由等比数列求和公式得
Sn
1 2
1
1 2
n
1 1
1
1 2n
于是
lim
n
Sn
lim 1 n
1 2n
1
2
1
所以
1 2
于图形中矩形面积之和
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n
1
k 1 k
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
函数项级数
lim un ( y) lim un ( y) un ( x) 。
yx n 1 n 1 yx n 1
并且，若 un 在 I 上一致连续，则 S 在 I 上一致连续。
n 1
(3) 若 I 是有界闭区间 [a, b] ，并且 un R[a, b] ，则 S R[a, b]
xn an xn ，所以 一致收敛。记 n! n! n 0 n!
S ( x)
xn 。 n 0 n !
xn xn 都是连续函数，所以 S ( x) 也是连续函数，并且 n! n 0 n !
n xu un u n 1 x n 1 xn du du ， 0 0 n! n 0 n! n 0 n 0 (n 1)! 0 n 0 ( n 1)! n 1 n! x x
n n n n
第 3 页 / 共 13 页
在 [a, b] 上一致收敛， Sn (a) 收敛于 S (a) ，所以对任意 0 ，存在 因为 S n
正整数 N 使得对任意 n N 及任意 u [a, b] ，
Sn ( a ) S ( a ) , (u) S (u) ， Sn
| S N ( x) |
un ( x) sup un ( y) 。
n 1 n 1 y[ a ,b ]
N
N
对任何 x I ，
S ( x) S ( x) S N ( x) S N ( x) sup | S N (u) | sup un ( y) ，
(1)n x 2n 1 和 n 0 (2n 1)!
Cos( x)
Sin( x) Cos( x) ， Cos( x) Sin( x) ， Sin(0) 0 ， Cos(0) 1 所以 Sin( x) 和 Cos( x) 都是微分方程 y y 0 的解， 而我们知道这个微分方
yx n 1 n 1 yx n 1
并且，若 un 在 I 上一致连续，则 S 在 I 上一致连续。
n 1
(3) 若 I 是有界闭区间 [a, b] ，并且 un R[a, b] ，则 S R[a, b]
xn an xn ，所以 一致收敛。记 n! n! n 0 n!
S ( x)
xn 。 n 0 n !
xn xn 都是连续函数，所以 S ( x) 也是连续函数，并且 n! n 0 n !
n xu un u n 1 x n 1 xn du du ， 0 0 n! n 0 n! n 0 n 0 (n 1)! 0 n 0 ( n 1)! n 1 n! x x
n n n n
第 3 页 / 共 13 页
在 [a, b] 上一致收敛， Sn (a) 收敛于 S (a) ，所以对任意 0 ，存在 因为 S n
正整数 N 使得对任意 n N 及任意 u [a, b] ，
Sn ( a ) S ( a ) , (u) S (u) ， Sn
| S N ( x) |
un ( x) sup un ( y) 。
n 1 n 1 y[ a ,b ]
N
N
对任何 x I ，
S ( x) S ( x) S N ( x) S N ( x) sup | S N (u) | sup un ( y) ，
(1)n x 2n 1 和 n 0 (2n 1)!
Cos( x)
Sin( x) Cos( x) ， Cos( x) Sin( x) ， Sin(0) 0 ， Cos(0) 1 所以 Sin( x) 和 Cos( x) 都是微分方程 y y 0 的解， 而我们知道这个微分方
第十一章111函数项级数的一致收敛ppt
1 1 x
二、一致收敛的定义 引例
例1
u
n 1
n
( x) x ( x 2 x) ( x 3 x 2 )
它的每一项都在 0 x 1 上连续，其n 次部分和为
0,0 x 1时 lim sn ( x) s ( x) n ，x 1时 1 S ( x) 在x 1不连续，因此，它不是0,1 上的 级数的和 连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的 每一项 都在 0,1 上可导，但它的和函数S ( x) 在 x 1 不可导。
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
X
,因此 x
在
sup Sn ( x) S ( x) sup x n c n 当n 时 0 x c 0 x c x S n ( x) 同理可知 1 n 2 x 2 在任一区间 c,1 ( c 为小于1 的任一正数)一致收敛,但在 0,1 非一致收敛.这说明了
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x )
n 1 n 0 1 0 2 0 n 0
收敛，我们就说函数项级数在 x0点收敛，否则就说它 在 x0 点发散。如果对 X 中任何一点 x ，级数 u ( x) 收 敛，就说函数项级数 u ( x) 在 X 上收敛（即在每一点 都收敛）。这时，对每一点 x X 级数 u ( x) 有和， 记此和为 S ( x) ，即
级数概念与正项级数PPT课件
2
1 n
3
1 2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
第15页/共128页
例 判断敛散性
第16页/共128页
例:判断收敛与否
解(1)原式= (2)原式=
第17页/共128页
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五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
2.当lim n
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un , 可得如下结论 :
0 l
lim
n
n pun l
p1,0 l
un 发散 un 收敛
第27页/共128页
比如:
发散!
lim n n
发散!
3
lim n4 n
第28页/共128页
例3. 判别级数
sin 1 n1 n
的敛散性 .
解: lim n sin 1 lim n 1 1
n1
反过来由 un 收敛 Sn 有极限 Sn 有界 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列 有界 .
第20页/共128页
定理2 (比较审敛法)
设 un , vn 为正项级数 , 且 un vn , ( n 1, 2, 3, ),
n1
n1
则有 (1) 若大 收敛 , 则小
也收敛 ;
例 3 判定级数
1
（1） n1 n2 ln n
1
（2） n1 n(n2 1)
n 1
（3） n1 n2 1
1
（4） n1
3n2 n
1
（5） n1 ln n 1
高等数学第十一章第六节函数项级数的一致收敛性课件.ppt
1854年, 他解决了椭圆
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
以后还建立了椭圆函
数的新结构.
他在分析学中建立了实数
理论,引进了极限的 – 定义,
定义及性质,
还构造了一个处处不可微的连续函数:
积分的逆转问题,
给出了连续函数的严格
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
定理2.
若级数
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分,
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
证: 因为
所以只需证明对任意
一致有
根据级数的一致收敛性,
使当
n > N 时, 有
于是, 当 n > N 时, 对一切
有
因此定理结论正确.
证毕
说明:
若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
解:
显然所给级数对任意 x 都收敛 ,
且每项都有连续
导数,
而逐项求导后的级数
故级数②在 (－∞,+∞)
上一致收敛,
故由定理3可知
②
再由定理1可知
定理4 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续,
且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分,
运算前后收敛半径相同,即
证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯
由条件2), 根据柯西审敛原理,
当
n > N 时,
对任意正整数 p , 都有
由条件1), 对 x ∈I , 有
故函数项级数
在区间 I 上一致收敛 .
证毕
推论.
若幂级数
的收敛半径 R > 0 ,
则此级
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
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函数项级数的基本概念
1
函数列和函数项级数
1.定义
定义1 设 u 1 (x )u ,2 (x ) ,u n (x ) 为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x )
n1
称为定义在(a, b)内的函数项级数.
如 级数 xn 1xx2
注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
例 求函数项级数的 (1)n1 x3n 收敛域.
n1
n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x 3n3
lim u n 1 lim
u n n
n
n1 x 3n
limn x3 x 3
nn1
n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
( 函余数项, 1)项一 r n 级般( (1 x 数,考) 的虑)s 部函(但,x 分数) 只 和1有s 1n s( 在nxx (时) xD),, 它ln ( 的 i 1定m ,s1n )义上 (x域,)它 是才s(是x)
显x然n
n0
ln 1 i m xrn(xx)20的(x和在函收数敛.域上)
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
(1)n1 x3n
(3) 当x 1 即x1,x1时， n1
n
x 1时 ，级数为 (1)n1 1 , 条件收敛
n1
n
x 1时， 级数为
1 ,Biblioteka 发散n1 n总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (1,1].
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
n1
的前n项和序列, 若极限 lim s(x)s(x),x(a,b)
n
存在, 则s(x)称为函数项级数 un( x)的和函数.
n1
如, 等比级数 xn1xx2
n0
它的收敛域为 | x|1, 发散域为 | x|1.
在收敛域内和函数是 1 , 即有
1 x
xn
1
, x(1,1).
n1
1 x
4
s(x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) 定义域
n0
2
2.收敛点与收敛域
定义2 设 x0(a,b),若数项级数 un (x 0 )
n1
收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un ( x )
n1
的收敛点(或发散点). 函数项级数 un( x)的
n1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发
散域).
3
3.和函数
定义3 设{sn(x)}为函数项级数 un ( x )
7
幂级数
作业
8
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1
函数列和函数项级数
1.定义
定义1 设 u 1 (x )u ,2 (x ) ,u n (x ) 为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x )
n1
称为定义在(a, b)内的函数项级数.
如 级数 xn 1xx2
注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
例 求函数项级数的 (1)n1 x3n 收敛域.
n1
n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x 3n3
lim u n 1 lim
u n n
n
n1 x 3n
limn x3 x 3
nn1
n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
( 函余数项, 1)项一 r n 级般( (1 x 数,考) 的虑)s 部函(但,x 分数) 只 和1有s 1n s( 在nxx (时) xD),, 它ln ( 的 i 1定m ,s1n )义上 (x域,)它 是才s(是x)
显x然n
n0
ln 1 i m xrn(xx)20的(x和在函收数敛.域上)
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
(1)n1 x3n
(3) 当x 1 即x1,x1时， n1
n
x 1时 ，级数为 (1)n1 1 , 条件收敛
n1
n
x 1时， 级数为
1 ,Biblioteka 发散n1 n总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (1,1].
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
n1
的前n项和序列, 若极限 lim s(x)s(x),x(a,b)
n
存在, 则s(x)称为函数项级数 un( x)的和函数.
n1
如, 等比级数 xn1xx2
n0
它的收敛域为 | x|1, 发散域为 | x|1.
在收敛域内和函数是 1 , 即有
1 x
xn
1
, x(1,1).
n1
1 x
4
s(x) u 1 ( x ) u 2 ( x ) u n ( x ) 定义域
n0
2
2.收敛点与收敛域
定义2 设 x0(a,b),若数项级数 un (x 0 )
n1
收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un ( x )
n1
的收敛点(或发散点). 函数项级数 un( x)的
n1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发
散域).
3
3.和函数
定义3 设{sn(x)}为函数项级数 un ( x )
7
幂级数
作业
8
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