数项级数基本概念资料
数项级数的基本概念及性质
称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
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依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,
q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
4.1数项级数
∑
∞
n=1
∑
∞
1 1 1 1 1 发散. =1+ + + L+ +L 发散. n 2 3 4 n
n→ ∞
lim S n = S ,
n→ ∞
lim S 2 n = S ,
于是
n→∞
lim ( S 2n − S n )= S − S = 0.
1 1 1 1 1 1 1 > + +L+ = , 但S 2 n − S n = + +L+ 2 n 2n 2n n+1 n+ 2 2n 1442443 2
a (1− q n ) （ 2） 当 q > 1 时 ， ∵ lim S n = lim =∞ ， n→∞ n→∞ 1− q
级数发散. ∴级数发散.
（3 ）当 q =1 时，
故级数发散. ① 当 q =1 时， lim S n = lim na = ∞ ，故级数发散.
n→∞ n→∞
② 当 q = −1 时， S n = a − a + a − a +L+ ( −1)n−1 a ，
等比级数
n −1 q < 1,收敛 ∑ aq q ≥ 1,发散 n =1 ∞
∞
级数
n=1
∑ un
n→ ∞
lim u n ≠ 0 ⇒ 发散
n→∞
lim un = 0, 不一定收敛 .
利用级数的基本性质 判定其敛散性
利用级数收敛和发散的 定义 判定其敛散性
n
1 n2 n ) ]
1 e
0
= 1 ≠ 0,
lim [(1 +
∞
级数理论-数项级数
若级数
∑ u n 与 ∑ vn 都收敛， c, d 是常数，则 ∑ (cun + dvn ) 收敛，且
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∑ (cu
n =1
∞
n
± dv n ) = c ∑ u n ± d ∑ v n ．
n =1 n =1
∞
∞
三
正项级数收敛性判别法
1 2 设 正项级数
∑u
n =1
∞
n
（2）若 5 设
∑ an 发散，则 ∑ bn 发散．
n =1 n =1
比式判别法（达朗贝尔判别法）
∑u
n =1
∞
n
是正项级数，若 ∃N 0 > 0 及常数 q > 0 ，有
（1）当 n > N 0 时， （2）当 n > N 0 时， 6 设
∞ a n +1 ≤ q < 1 ，则级数 ∑ u n 收敛； an n =1 ∞ a n +1 ≥ 1 ，则 ∑ u n 发散． an n =1
n =1
∞
+∞
1
f ( x )dx 同时收
敛或同时发散． 10 拉贝判别法 设
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，且存在某正整数 N 0 及常数 r ，
（1）若对一切 n > N 0 ，成立不等式 n⎜ ⎜1 −
⎛ ⎝
∞ u n+1 ⎞ ⎟ ≥ r > 1 ，则级数 u n 收敛； ∑ un ⎟ n = 1 ⎠ ∞ u n +1 ⎞ ⎟ ≤ 1 ，则级数 u n 发散． ∑ un ⎟ n =1 ⎠
n =1 n =1
数项级数
(3)若k=∞且级数 ∑bn 发散，则级数 ∑an 发散。
n=1 n=1
∞
∞
证
(1)设 ∑ bn 收敛，且
n =1
∞
an lim = k ≠ 0 n →∞ b n
由定义，存在N，当n>N时，有
∞
因 ∑bn ，⇒ ∑(k +1)bn 收敛， ⇒ ∑an 收敛。反之也 然。
n=1
n=1
an < k + 1, ⇒ an < (k + 1)bn , b ∞ n ∞
m →∞
k =n+1
∑a
∞
k
= s − sn .
反之,若级数
k = n +1
∑
∞
a k 收敛，若记
k =n+1
∑a
∞
k
= rn ,
则有，原级数的部分和为
′ sm + n = sn + sm
故
m →∞
′ lim sn + m = sn + lim sm = sn + rn .
m →∞
所以，原级数收敛。
cn − bn ≤ cn − an , 因 ∑a ， c 是收敛的，⇒ ∑(c − a ) ∑
∞ ∞ n=1 n n=1 n n
是收敛的，所以
∑( c −b )
n=1 n n
∞
是收敛， ⇒ ∑bn 是收敛的。
n=1
∞
g
例3 讨论级数 ∑
∞
n =1
1 np
的收敛性。
解 当 p ≤ 1 时，因级数 的。先设 p>1，令
∞
n
i =1
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
数学分析数项级数
数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。
数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。
首先，我们来定义数项级数。
数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。
我们首先来讨论数项级数的部分和序列。
部分和序列是数项级数中非常重要的概念。
如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。
如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。
接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。
首先是数项级数的有界性。
如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。
这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。
其次，我们来看数项级数的比较判别法。
这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。
如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。
该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。
再次，我们来看数项级数的比值判别法。
如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。
最后，我们来看数项级数的积分判别法。
对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。
以上是数项级数的一些基本概念和性质。
数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
数学分析数项级数
傅里叶级数在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。通过傅里叶变换，可 以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
泰勒级数
01
泰勒级数的定义
泰勒级数是无穷级数，用于逼近一个 函数。泰勒级数展开式由多项式和无 穷小量组成，可以用来近似表示任意 函数。
02
泰勒级数的性质
数学分析数项级数
目录
• 数项级数的基本概念 • 数项级数的性质 • 数项级数的求和法 • 数项级数的应用 • 数项级数的扩展
01
数项级数的基本概念
级数的定义
定义
级数是无穷数列的和，表示为Σ，其 中每一项都是正项或负项。
特点
级数中的每一项都是无穷小量，但整 个级数的和可能是有限的或无限的。
级数的分类
泰勒级数具有收敛性、唯一性和可微 性等重要性质。这些性质使得泰勒级 数成为分析函数的有力工具。
03
泰勒级数的应用
泰勒级数在数学分析、物理和工程等 领域有着广泛的应用。通过泰勒展开 ，可以更好地理解和分析函数的性质 ，如求函数的极限、证明不等式等。
感谢您的观看
THANKS
有穷级数
所有项的和是有限的，例如1+2+3+...+100。
无穷级数
所有项的和是无限的，例如1+1/2+1/3+...。
级数的收敛与发散
收敛
级数的和是有限的，即级数 收敛。
发散
级数的和是无限的，即级数 发散。
判定方法
通过比较测试、柯西收敛准 则等判定级数的收敛与发散 。
02
数项级数的性质
收敛级数的性质
数项级数的扩展
幂级数
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级数收敛的柯西准则
级 数 an 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是: n1
0, 正 整 数 N ,当 m, n N , m n 时, 有 |an1 an2 am| .
级 数 an 发 散 的 充 分 必 要 条 件 是: n1
0, 正 整 数 N , m, n N , m n, 使 得 |an1 an2 am| .
13
常数项级数的概念
例
证明级数
n1
n 2n
收敛, 并求其和.
证
因为
sn
1 2
2 22
3 23
n 2n
2sn
1
2 2
3 22
n 2n1
后式减前式,得
sn
1
(2 2
1) 2
3 ( 22
2 22
)
n ( 2n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 2n1 )
n 2n
1
1 2
1 22
1 2n1
n 2n
1
1 2n
1 1
n 2n
2
|xm xn| .
n
级数 an 收敛 部分和数列{sn } { ak } 收敛
n1
k 1
部分和数列{sn } 为柯西数列
级数收敛的柯西准则
级 数 an 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是: n1
0, 正 整 数 N , m, n N , m n, 有
|an1 an2 am| .
收 发
敛 散
0, n 为偶数时, a, n 为奇数时.
10
常数项级数的概念
n0
aq
n
当 当
|q| |q|
1 1
时, 时,
收 发
敛 散
例 讨论级数 3 lnn a (a 0)的敛散性.
n1
解 因为 3lnn a 是以 ln a 为公比的等比级数,
n1
故
当1 a e时, |ln a| 1, 级数 收敛. e
17
级数 an 发散的充分必要条件是: 0, 正整数N ,
n1
m, n N , m n, 使得|an1 an2 am| .
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un ,
5
常数项级数的概念
部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.
定义 当n 无限增大时, 如果级数 un 的部分和
n1
数列
sn
有极限
s,
即
lim
n
sn
s,
则称无穷级数
un 收敛, 这时极限 s 叫做级数 un 的和.
当|q| 1 时, lim qn n
如果|q| 1,
sn
a 1
q
aqn 1q
lim
n
sn
a 1
q
收敛
lim n
sn
发散
当q 1 时, sn na 发散
当q 1 时, 级数变为 a a a a
综上,
lim
n
sn不
存
在
发散
sn
n0
aq
n
当 当
|q| |q|
1 1
时, 时,
无穷级数
infinite series
R
1
(常)数项级数的概念和性质
constant term infinite series
2
常数项级数的概念
为什么要研究无穷级数
无穷级数是数和函数的一种表现形式. 是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、 造函数值表）.
因无穷级数中包含有许多非初等函数, 故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现 出它的威力.
n1
n1
并写成
s u1 u2 un
如果 sn 没有极限, 则称无穷级数 un 发散.
n1
即
lim
n
sn存在
(不存在)
数项级数收敛
(发散).
6
常数项级数的概念
un u1 u2 u3 un (1)
n1
级数的敛散性它与部分和数列是否有
极限是等价的.
对收敛级数 (1), 称差
在自然科学和工程技术中,也常用无穷 级数来分析问题,如谐波分析等.
3
常数项级数的概念
一、常数项级数的概念
1. 级数的定义
一般项
un u1 u2 u3 un
(1)
n1
(常)数项级数
如
3 10
3 100
3 10n
;
1 1 1 1 (1)n1 1 ;
234
n
1 1 1 1 (1)n1 .
14
常数项级数的概念
sn
1
1 2n
1 1
n 2n
2
1 2n1
n 2n
2
故
s
lim
n
sn
lim(2 n
1 2n1
n 2n )
2
所以, 此级数收敛,且其和为 2.
n
n1 2n
15
数列的柯西准则
数列{ xn } 收敛的充分必要条件是数列{ xn } 是柯西数列:
0, 正整数 N ,当 m, n N 时, 有
以上均为(常)数项级数.
4
常数项级数的概念
2. 级数的收敛与发散概念 无穷级数定义式 (1) 的含义是什么? 按通常的加法运算一项一项的加下去, 永远
也算不完, 那么如何计算? 称无穷级数 (1) 的前 n 项和
n
sn u1 u2 un ui 为级数 (1) 的部分和.
i 1
这样, 级数 (1) 对应一个部分和数列:
rn s sn un1 un2 uni
i 1
为级数 (1) 的余项或余和.显然有
lim
n
rn
0.
当 n 充分大时, sn s, 误差为 |rn|.
7
常数项级数的概念
例 级数 1 2 3 n 的部分和
sn
1
2
3
n
n(n 1) 2
而
lim
n
sn
lim n(n 1) n 2
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
12
常数项级数的概念
1
1
sn
(1 2
2n
) 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1 2
级数收敛, 和 为 1 . 2
注 余项 rn s sn
即 s1
2
1 1 1 1 1 1 2 2 2n 1 2 2n 1
所以, 级数发散.
8
常数项级数的概念
例 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性. (重要)
解 如果q 1 时 sn a aq aq2 aqn1 a aqn a aqn 1q 1q 1q
9
常数项级数的概念
当|q| 1 时, lim qn 0 n
当0 a 1 或a e时, |ln a| 1, 级数发散. e
11
常数项级数的概念
例 判定级数
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
的收敛性.
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
sn
1 1 3
1 35
(2n
1 1) (2n
1)
1 (1 1 ) 1 ( 1 1) 1 ( 1 1 )